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导数题型归纳总结


导数题型归纳总结

导数的定义和几何意义 函 数

f ( x)



x

0

处 的 导 数 :

f ?( x0 )

= lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x)

? f ( x0 ) ?y = lim ? x ?x ?0 ?x

函数 y=f(x)在点 x 0 处的导数的几何意义是在该点处的切线的斜率即 k ? f ?( x0 ) 求切线方程:先用导数求斜率,再用点斜式求出切线方程;切点既在直线上又在曲线上 注 : 若 过 曲 线 外 一 点 ( x1 , y1 ) 向 曲 线 作 切 线 , 要 先 设 切 点 ( x0 , f ( x0 )) , 用

k=f ?(x 0 ) ?

y1 ? f ( x0 ) x1 ? x0
2

1、若曲线 y ? x ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则 a ?

b?

2 3 2、若存在过点 (1,0) 的直线与曲线 y ? x 和 y ? ax ?

15 x ? 9 都相切,则 a = 4

3、已知 y ? x ? 2 x ,则过原点 (0,0 ) 的切线方程是
3 2

3 4、★ 已知 f ( x) ? x ? 3x ,过点 A(1, m) (m ? ?2) 可作 y ? f ( x) 的三条切线,则 m 的范围是

, ? 1) 的切线方程 5、(曲线上一点)求过曲线 y ? x3 ? 2 x 上的点 (1

注:过曲线上一点的切线,该点未必是切点 6、 【2012· 辽宁】已知 P,Q 为抛物线 x2=2y 上两点,点 P,Q 的横坐标分别为 4, ? 2,过 P,Q 分 别作抛物线的切线,两切线交于点 A,则点 A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C)

?4

(D)

?8
-1-

导数和单调性

y ? ? 0 单调递增; y ? ? 0 单调递减
极值问题:左升右降有极大值;左降右升有极小值;极值点的左右两侧 f ?( x ) 的符号相反;

f ?( x ) = 0 的点不一定是极值点,但极值点一定满足 f ?( x ) = 0 ;
求函数极值的步骤:①确定函数的定义域;②求导数,令 f ?( x ) = 0 ,找出所有的驻点;③ 检 查驻点左右的符号,左正右负有极大值,左负右正有极小值; 函数 f ( x ) 在 ?a, b? 上连续,则 f ( x ) 在极值点或端点处取得最值 单调性问题 1、函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是
x

(

)

A. (??,2)

B.(0,3)

C.(1,4)

D. (2,??)

2、要使函数 f ( x) ? x 2 ? 3(a ? 1) x ? 2 在区间 (??,3] 上是减函数,求实数 a 的取值范围。

3、 【2011· 广东】设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) x 的单调性
2

4、 【2012· 辽宁】函数 y= A.( ? 1,1]

1 2 x ? ㏑ x 的单调递减区间为 2
B.(0,1] C.[1,+∞)



) D.(0,+∞)

-2-

最值及其相关问题 基础题:1、求 f ? x ? ?

1 3 x ? 4 x ? 4 在 ? 0 , 3? 的最大值与最小值 3

王新敞
奎屯

新疆

综合题 1、设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? m (a ? 0) (I)若 a ? 1 时函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点,求 m 的范围; (II)若函数 f ( x ) 在 ??1,1? 内没有极值点,求 a 的范围; 围. (III)若对任意的 a ? ?3,6? ,不等式 f ( x) ? 1 在 x ?? ?2, 2? 上恒成立,求实数 m 的取值范

2、设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? 2ax 2 ? 3a 2 x ? b , (0 ? a ? 1, b ? R) 3

4 若当 x ? ?a ? 1, a ? 2? 时,恒有 f ?( x ) ? a ,试确定 a 的取值范围( ≤a<1) 5

3、 【2009· 浙江】已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) . (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调 ,求 a 的取值范围. ... 4、已知函数 f ( x ) = ax ?
3

3 2 x ? 1( x ? R ) ,其中 a ? 0 . 2

若在区间 ? ?

? 1 1? , 上, f ( x ) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.( a 的取值范围为 0<a<5) ? 2 2? ?

5、 【2011· 湖北】设函数 f , gx ,其中 x ? R ,a、b () x? x? 2 a x? b x ? a ( )? x? 3 x ? 2
3 2 2

为常数,已知曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l 。 (I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程; (II)若方程 f( 有三个互不相同的实根 0、 x 1 、 x 2 ,其中 x 1 ? x 2 ,且对任意的 x ) ? gx ( )? m x

x??x 恒成立,求实数 m 的取值范围。 () x ? g () x ? m ( x ? 1 ) 1, x 2 ?, f

-3-

6、已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? 1 , a ? R .设函数 f ( x ) 在区间 ? ? , ? ? 内是减函数, 求 a 的取值范围. (a≥

? 2 ? 3

1? 3?

7 ) 4

构造新函数 1、当 x ? 0 ,求证: e ? 1 ? x ( (e x )? ? e x )
x

2、设函数 f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ( x ? ?1). (Ⅰ )求 f ( x) 的单调区间;(Ⅱ )证明:当 n ? m ? 0 时, (1 ? n)m ? (1 ? m)n
本类问题主要是命题人经常考查的一类如
n a m ? b( m ? n) ,一般两边同时取自然对数,

mlna ? nlnb ,再利用函数单调性,可能还需要构造函数

函数图像 1、 【2012· 重庆】设函数 f ( x ) 在 R 上可导,其导函数 f ?( x ) ,且函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处取得极小 值,则函数 y ? xf ?( x) 的图象可能是

2、 设函数 f ? x ? ? x sin x ? cos x 的图像在点 t, f ? t ? 处切线的斜率为 k , 则函数 k ? g ? t ? 的 部分图像为( )

?

?

3、 y? f ?(x )是 f ( x ) 的导函数, y? f ?(x )的图象如下图所示,则 y? f (x )的图象为(


-4-

y

y

y

y

O

1

2

x

O

1

2

x

2

O

1

x

O
1 2

x

4、已知二次函数 f ( x ) 的图象如下图所示,则其导函数 f ′ ( x) 的图象的大致形状是(



5、 【2011· 安徽】函数 f ( x) ? axm g (?? x) n 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 m,n 的值可 能是 (A) m ? 1, n ? 1 (C) m ? 2, n ? 1 ( ) (B) m ? 1, n ? 2 (D) m ? 3, n ? 1 0.5 综合问题 1、 【 2012· 黄冈中学高二期中】设函数
2 f (x ? ) ? ( 1 x ? ) . 2 ? x ln ( 1 )

y

x O 0.5 1

(I)求 f ( x ) 的单调区间;

3] 上的最小值. (II)当 0<a<2 时,求函数 g 在区间 [0, ( x ) ? fxxa ( ) ? ? x ? 1
2

2、 【2011· 北京】已知点 A? 0,2? , B ? 2,0? ,若点 C 在函数 y ? x 的图象上,则使得 ?ABC 的面
2

积为 2 的点 C 的个数为 A. 4 B. 3

( ) C. 2 D. 1
-5-

3、 【2012· 福建】已知 f ( x) ? x3 ? 6x2 ? 9x ? abc, a ? b ? c ,且 f (a) ? f (b) ? f (c) ? 0 .现给 出如下结论:① f (0) f (1) ? 0 ;② f (0) f (1) ? 0 ;③ f (0) f (3) ? 0 ;④ f (0) f (3) ? 0 . 其中正确结论的序号是 A.① ③ B.① ④ ( C.② ③ D.② ④ )

4、 【2012· 湖北】 设函数 f ( x) ? axn (1 ? x) ? b( x ? 0) , n 为正整数, a , b 为常数,曲线 y ? f ( x) 在

(1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 .
(1)求 a , b 的值; (2)求函数 f ( x ) 的最大值; (3)证明: f ( x ) ?

1 . ne

5 、【 2012·江 西 】 已 知 函 数 f ( x) ? (ax2 ? bx ? c)e x 在 ?0,1? 上 单 调 递 减 且 满 足

f (0) ? 1, f (0) ? 0 .
(1)求 a 的取值范围; (2)设 g ( x) ? f (? x) ? f ?( x) ,求 g ( x) 在 ?0,1? 上的最大值和最小值. 6、设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

已知函数 f ( x) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 ,若对任意的

1 3 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围(m 的取值范围是 ( , ) ) 2 3
1 7、已知函数 f(x)=ln(1+x)-ax 在 x=- 处的切线的斜率为 1. 2 (Ⅰ )求 a 的值及 f(x)的最大值; 1 1 1 (Ⅱ )证明:1+ + +…+ >ln(n+1)(n∈ N*) 2 3 n 8、 【2013· 浙江教科院】设函数 f (x)=x3-4x+a,0<a<2.若 f (x)的三个零点为 x1,x2,x3, 且 x1<x2<x3,则 A.x1>-1 B.x2<0 C.x2>0 ( )

D.x3>2

9、 已知 m ? R,函数 f(x)= mx ?

m ?1 1 ? ln x , g ( x) ? ? ln x x 2

(I)求 g(x)的极小值; (II)若 y=f (x)一 g(x)在[1,+ ? )上为单调增函数,求实数 m 的取值范围.u.c.o.m

-6-


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