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2000年全国高中数学联赛平面几何题的三种证法


2001 年第 2 ,4 期               数学通讯

89

2000 年全国高中数学联赛平面几何题的三种证法
叶迎东
( 孝感高级中学 , 湖北   孝感   432100)

中图分类号 :O12 - 44      文献标识码 :A      文章编号 :0488 - 7395 ( 2001) 2 , 4 - 0089 - 01

  2000 年全国高中数学联合竞赛加试的 第一题是一道平面几何题 : 如图 , 有锐角三角形 A B C 的 B C 边上有 两点 E , F , 满足 ∠B A E = ∠CA F , 作 FM ⊥ A B , FN ⊥A C ( M , N 是垂足 ) , 延长 A E 交 三角形 A B C 的外接圆于 D 点 , 证明 : 四边形 A M DN 与三角形 A B C 的面积相等 . 下面介绍它的几种证明方法 . 证明 1  如图 1 , 设 A G 为圆的直径 , 连 接 B G , CG , M G ,
N G , EG , FG , D G , MN , 则 B G ⊥ AB , CG ⊥A C , D G ⊥A D . 又 ∵ FM ⊥A B , FN ⊥ A C , ∴ B G ∥ 图1  证明 1 用图 FM , CG ∥FN , ∴ S △B M F = S △GM F , S △CFN = S △GFN , ∴ S △AB C = S 四边形A M FN + S △B M F + S △CN F = S 四边形A M FN + S △GM F + S △GFN = S 四边形A M GN .

∵ ∠C = A DB , ∠B A E = ∠FA C , ∴ △A B D ∽ △A FC.
AB AD = ,即 AF AC AB? A C = A D? A F, ∴ 2 S △A B C = A B ?A C sinα = A D ?A F sinα = A D ? A Fsin (β + γ ) = AD ? [ ( A Fcosγ ) sinβ + 图2  证明 2 用图 ( A Fcos β ) sinγ] = A D ? [ A M sinβ + A N sinγ] = 2 S △A DM + 2 S △A DN = 2 S 四边形A M DN . 证明 3   如图3 , 过 A 作 A P ⊥B C 于 P , 连 接 B D , CD , M P, N P, MN , ∵ FM ⊥ A M , FN ⊥ A N , FP ⊥ A P, ∴ A , M , F, 图3  证明 3 用图 P , N 都在以 A F 为 直径的圆上 . ∴ ∠M PF = ∠M A F = ∠B A E + ∠EA F = ∠CA F + ∠EA F = ∠DA C = ∠DB C , ∴ M P ∥B D , ∴ S △B DM = S △B D P . 又 ∵ ∠CPN = ∠FA N = ∠B A D = ∠B CD , ∴ N P ∥CD , ∴ S △CDN = S △CD P , ∴ S △A B C = S 四边形A BDC - S △BD P S △CD P = S 四边形A BDC - S △B DM - S △CDN =



而由 A B ⊥ FM , A C ⊥ FN 得 A , M , F , N 四点共圆 , ∴ ∠FM N = ∠FA N = ∠B A E. 又 ∵ FM ⊥A B , ∴ M N ⊥A D , 而 D G ⊥A D , ∴ D G ∥M N , ∴ S △GM N = S △DM N , ∴ S 四边形A M GN = S 四边形A M DN , 从而 S △A B C = S △四边形 A M DN . 证明 2  如图 2 , 连 BD , 设 ∠BA C = α, ∠BA E = ∠CA F = β, ∠EA C = γ, 则 ∠FAB = γ. 在 Rt △A FM 和 Rt △A FN 中 , 有 A M = A Fcosγ, A N = A Fcosβ.

S 四边形A M DN .

收稿日期 :2000 - 12 - 10 作者简介 :叶迎东 ( 1969 - ) , 男 , 湖北云梦人 , 湖北孝感 , 高中一级教师 , 学士 .


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