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天津市河北区2015届高三数学第二次模拟考试试题 理


河北区 2014-2015 学年度高三年级总复习质量检测(二) 数 学(理工类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分 钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位 置粘贴考试

用条形码。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: · 如果事件 A,B 互斥,那么 · 球的表面积公式 S= 4?R 2 P(A∪B)=P(A)+P(B) 4 球的体积公式 V= ?R3 · 如果事件 A,B 相互独立,那么 3 P(AB)=P(A) ? P(B) 其中 R 表示球的半径

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知 a,b ? R ,i 是虚数单位,若 (a +i)(1+i)=bi ,则 a +bi= (A) ?1 + 2i (B) 1+ 2i (C) 1 ? 2i (D) 1 ? i

? (2)函数 f ( x) ? tan(2 x ? ) 的单调递增区间是 3 ? k ? ? k ? ?? ? ? k ? ? k ? ?? ? (A) ? ? , ? ?(k ? Z). (B) ? ? , ? ?(k ? Z). ? 2 12 2 12 ? ? 2 12 2 12 ?

(C) ?k ? ?

? ?

? 12

, k? ?

?? ? (k ? Z). 12 ? ?

? ?? ? ? (D) ? k ? ? , k? ? ?(k ? Z). 6 3 ? ?

? x ? 0, ? (3)已知变量 x,y 满足的不等式组 ? y ? 2 x, 表示的是一个直角三角形围成的 ?kx ? y ? 1 ? 0 ?
平面区域,则实数 k 的值为 (A) ?2 (B)0 或 ?2 (C) ?
1 2

(D)0 或 ?

1 2

(4)下列说法中错误的是 (A)命题“若 x2 ? 5x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题是“若 x ? 2 ,则 x2 ? 5x ? 6 ? 0 ”
?x? y? (B)若 x,y ? R, 则“ x ? y ”是“ xy ? ? ? ”的充要条件 ? 2 ? (C)已知命题 p 和 q,若 p ? q 为假命题,则 p 与 q 中必一真一假
-12

(D)若命题 p: ?x0 ? R,x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R,x2 ? x ? 1 ? 0

(5)已知双曲线

a2 x2 y 2 x ? 的右焦点为 ,直线 与一条渐近线 F ( c , 0 ) ? ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) c a 2 b2

交于点 A,若 ?OAF 的面积为 (A) x ? ?1
n

a2 4a 2 x 的准线方程为 (O 为原点),则抛物线 y ? 2 b
(C) y ? ?1 (D) y ? ?2

(B) x ? ?2

2? ? (6)若 ? x ? ? 的展开式中第 2 项与第 4 项的二项式系数相等,则直线 y ? nx 与曲线 x? ?
y ? x 围成的封闭区域的面积为
2

22

32

(A) 3

(B)12

(C) 3

(D)36

(7)如图,在边长为 1 的正三角形 ABC 中, E,F 分别为边 AB,AC 上的动点,且满足

AE ? m AB , AF ? n AC ,其中 m,n ? ?0, 1?,m ? n ? 1 , M,N 分别是 EF,BC 的
中点,则 MN 的最小值为

(A)

2 4

(B)

3 3

(C)

3 4

(D)

5 3

(8)若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: 对任意的 x1 ? x2 ,都有 x1 f ( x1 ) + x2 f ( x2 ) > x1 f ( x2 ) + x2 f ( x1 ),则 函数 f ( x) 为 “ H 函 数 ” . 给 出 下 列 函 数 : ① f ( x) ? ? x3 ? x ? 1 ; ② 称

f ( x) ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ;
?ln x , x ? 0, ? ③ f ( x ) ? e x ? 1 ; ④ f ( x) ? ? 其中函数 f ( x) 是“H 函数”的个数是 x ? 0, ? ?0,

(A)1

(B)2

(C)3

(D)4

河北区 2014-2015 学年度高三年级总复习质量检测(二) 数 学(理工类) 第Ⅱ卷 注意事项: 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2. 用钢笔或圆珠笔答在答题纸 上。 ... 3. 本卷共 12 小题,共 110 分。

题 号





总 分
-2-

(15) 分 数

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

得 分

评卷人

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填 在题中横线上.

(9)以下茎叶图记录了某赛季甲、乙两名篮球运动员参加 11 场比赛的得分(单位:分) 若甲运动员的中位数为 a ,乙运动员的众数为 b ,则 a ? b 的值是______________.

(第 9 题图) (第 10 题图)

(10)某程序框图如图所示,则输出 ______________.



S







(11)如图,已知 PA 是圆 O 的切线, A 是切点,直线 PO 交圆 O 于 B,C 两点, D 是 OC 的中点,连接 AD 并延长交圆 O 于点 E ,若 PA ? 2 3,?APB ? 30? , 则 AE ? .

(第 11 题图)

(第 12 题图)
-3-

(12)如图是一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为



? x ? 2 cos θ, (13) 在以 O 为极点的极坐标系中,直线 ρ cos θ ? 3 ρ sin θ ? 4 3 与圆 ? ? y ? 2 ? 2 sin θ
( θ 为参数) 交于 M,N 两点,则线段 MN 的长度为_____________.
x ? ?2 ? 1, 0 ? x ? 2, 2 ? , ?x2 ? ? ?2, 2? , (14)已知函数 g(x) ? ax ? 1, f ( x) ? ? 2 对 ?x1 ? ? ?2, ? ?- x , ? 2 ? x ? 0,

使 g( x1 ) = f ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是______________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人

(15) (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? ( 3 sin ωx ? cos ωx ) cos ωx ? 最小正周期为 4? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间;

1 ( x ? R) ,其中 ω ? 0 ,若 f ( x) 的 2

(Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,且满足

(2a ? c) cos B ? b cos C ,求函数 f ( A) 的取值范围.
请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(16) (本小题满分 13 分)

现有 4 个学生去参加某高校的面试,面试要求用汉语或英语中的一种回答问题,每个 1 学生被要求用英语回答问题的概率均为 . 3 (Ⅰ)求这 4 个学生中恰有 2 人用英语回答问题的概率; (Ⅱ) 若 m,n 分别表示用汉语, 英语回答问题的人数, 记X ? m?n , 求随机变量 X 的 概率分布和数学期望 E ( X ) .

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(17) (本小题满分 13 分)

-4-

如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是菱形, ?BAD ? 60? , Q 是 AD 的 中点. (Ⅰ)若 PA ? PD ,求证:平面 PQB ⊥平面 PAD ; (Ⅱ)设点 M 在线段 PC 上,若
PM 1 ? ,求证: PA ∥平面 MQB ; MC 2

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若平面 PAD ⊥平面 ABCD ,且 PA ? PD ? AD ? 2 , 求二面角 M ? BQ ? C 的大小.

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(18) (本小题满分 13 分)

已知椭圆

2 x2 y 2 ,以椭圆上任一点与左,右焦点 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

F1, F2 为顶点的三角形的周长为 4( 2 ? 1) .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若直线 l1 过原点 O ,直线 l 2 与直线 l1 相交于点 Q , OQ ? 1 ,且 l 2 ⊥ l1 , 直线 l 2 与椭圆交于 A,B 两点,问是否存在这样的直线 l 2 ,使 AQ ? BQ ? ?1 成立. 若存在,求出直线 l 2 的方程;若不存在,请说明理由.

-5-

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人 (19) (本小题满分 14 分)

已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和, Sn ? nan ? 3n ( n ? 1) (n∈N ),且 a2 ? 11 .
*

(Ⅰ)求 a1 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (Ⅲ)设数列 {bn } 满足 bn ?

n Sn

,求证: b1 ? b2 ? ? ? bn ?

2 3

3n ? 2 .

请将答案写在答题纸上

-6-

得 分

评卷人

(20) (本小题满分 14 分)

设函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? a ln x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f ( x) 有两个零点,求满足条件的最小正整数 a 的值; (Ⅲ)若方程 f ( x ) ? c 有两个不相等的实数根 x1,x2 ,求证: f ?(
x1 +x2 ) ? 0. 2

请将答案写在答题纸上 河北区 2014-2015 学年度高三年级总复习质量检测(二) 数 学 答 案(理) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 B 2 B 3 D 4 C 5 A 6 C 7 C 8 B

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

-7-

(9)8 ; (12) 9? ;

(10)

25 ; 12

(13)2 ;

10 7 ; 7 (14) ? ?1, 1? .
(11)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)? f ( x ) ?
?
3 sin ? x cos ? x ? cos ? x ?
2

1 2
?? 3 分

3 2

sin 2? x ?

1

? cos 2? x ? sin(2? x ? ) . 2 6

?T ?

2π 2?

? 4 π ,? ? ?

1 4



?? 4 分 ?? 6 分 ?? 7 分 ?? 8 分

? x ? ? ? ? ? 2k? ? ,k ? Z , 2 2 6 2 4π 2π ? x ? 4kπ ? ,k ? Z . 得 4kπ ? 3 3
由 2k? ? ∴ f ( x) 的单增区间为 ?4k ? ?

?? ? (k ? Z). 3 3? ? (Ⅱ)由正弦定理得, (2sinA ? sinC ) cos B ? sinB cos C , ?? , 4k ? ?

? ?

∴ 2sinA cos B ? sin(B ? C ) . ∵ sin(B ? C ) ? sinA ? 0 , 又0? B? ?, ?B ?
?0 ? A ? ? ? ? A ? 2? 3 ?

∴ cos B ?

1 . 2

?

3

.

?? 10 分


? ?

?? 11 分 .

6 2 6 2 (16) (本小题满分 13 分)

1 ? f ( A) ? ( , 1) . 2

?? 13 分

解: (Ⅰ)设“4 个学生中恰有 2 人用英语回答问题”为事件 A , 1 8 2 1 2 则 P( A) ? C4 . ?? 4 分 ( ) (1 ? )2 ? 3 3 27 (Ⅱ)随机变量 X 的所有取值为 0,2,4. ??5 分 1 2 1 2 8 , P( X ? 0) ? C2 4 ( ) (1 ? ) ? 3 3 27 11 1 3 1 1 40 3 1 3 , P( X ? 2) ? C1 4 ( ) (1 ? ) ? C4 ( ) (1 ? ) ? 3 3 3 3 81 1 0 1 4 1 0 17 4 1 4 , P( X ? 4) ? C0 4 ( ) (1 ? ) ? C4 ( ) (1 ? ) ? 3 3 3 3 81 ∴随机变量 X 的分布列为:

X

0

2

4

-8-

P

8 27

40 81

17 81

?? 11 分 ∴ E( X ) ? 0 ?
8 27 ? 2? 40 81 ? 4? 17 81 ? 148 . 81

?? 13 分

(17) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵四边形 ABCD为菱形, ?BAD ? 60? , ∴ ?ABD 为正三角形. 又 Q 为 AD 中点,∴ AD ⊥ BQ . ?? 1 分 ∵ PA ? PD , Q 为 AD 的中点, ∴ AD ⊥ PQ . ???? 2 分

又 BQ ? PQ ? Q ,∴ AD ⊥平面 PQB . .?? 3 分 ∵ AD ? 平面 PAD , ∴平面 PQB ⊥平面 PAD . .?? 4 分

(Ⅱ)连接 AC 交 BQ 于点 N ,连接 MN , 由 AQ ∥ BC ,可得 ?ANQ ∽ ?BNC ,∴ 又

AQ AN 1 ? ? . BC NC 2
.?? 6 分

∵ MN ? 平面 MQB , PA ? 平面 MQB , ∴ PA ∥平面 MQB . .?? 8 分 (Ⅲ)∵ PA ? PD , Q 为 AD 的中点, ∴ PQ ⊥ AD .

PM 1 PM AN ? ,∴ ? . ∴ PA ∥ MN . MC 2 MC NC

又平面 PAD ⊥平面 ABCD,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , ∴ PQ ⊥平面 ABCD. .??9 分 以 Q 为坐标原点,分别以 QA,QB,QP 所在的直线为 x 轴,y 轴, z 轴,

, 0, 0),B(0,3, 0),P(0, 0,3) . 建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(1
设平面 MQB 的法向量 n ? ( x,y,z ) ,

0), QM ? ( ? , , ), 又 QB ? (0, 3, 3 3 3
??? ? ?n ? QB ? 0, ? ? ? ???? ? ? ?n ? QM ? 0,

???

????

2 1

2

? 3 y ? 0, ? ∴ ? 2x 3 y 2 3z ? ? ? 0. ?? 3 3 ? 3

-9-

0, 1) . ∴取 z ? 1 ,得 n ? ( 3, .??11 分 0, 1) , 又平面 BQC 的法向量 m ? (0,
cos m ,n ? m?n 1 ? , mn 2
.??13 分

∴二面角 M ? BQ ? C 的大小为 60? . (18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意,得 2a ? 2c ? 4( 2 ? 1) , ∴ a ? 2 2,c ? 2,b ? 2 . ∴椭圆的标准方程为

c 2 ? , a 2

?? 2 分

x2 y 2 ? ?1. 8 4

??4 分

(Ⅱ)法 1:假设存在直线 l 2 ,使 AQ ? BQ ? ?1 成立.
2 2 设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),Q(m,n) ,且 m ? n ? 1 ,

则直线 l1 的方程为 nx ? my ? 0 ,直线 l 2 的方程为 mx ? ny ? 1 .

(1)当 n ? 0 时,此时直线 l 2 的方程为 x ? ?1,可得 A(1, 或 A(?1,

14 14 ? ), ) , B(1, 2 2

14 14 ? ), 代入 AQ ? BQ ? ?1 ,不符题意; ?? 5 分 ) , B(?1, 2 2

(2)当 n ? 0 时,将直线 l 2 的方程 mx ? ny ? 1 与椭圆方程
2 2 2 2 2 又 m ? n ? 1 ,得 (1 ? m ) x ? 4mx ? 2 ? 8n ? 0 .

x2 y 2 ? ? 1 联立, 8 4

?? 6 分

∴ x1 ? x2 ?

4m 2 ? 8n 2 x x ? , . 1 2 1 ? m2 1 ? m2

?? 7 分

又∵ AQ ? BQ ? ?1 , ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ? m( x1 ? x2 ) ? n( y1 ? y2 ) . 又 mx1 ? ny1 ? 1,mx2 ? ny2 ? 1, ∴ m( x1 ? x2 ) ? n( y1 ? y2 ) ? 2 . ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 又∵ y1y2= ?? 9 分 ?? 10 分

1 ? mx1 1 ? mx2 1 ? m 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? ? , n n n2
?? 11 分

2 2 ∴ n x1 x2 ? 1 ? m x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? 0 .

∴ x1 x2 ? 1 ? m( x1 ? x2 ) ? 0 .
2 ∴ ? 5n ? 0 .

- 10 -

∴ n ? 0, 这与 n ? 0 矛盾.

?? 12 分 ?? 13 分

综上可知,不存在这样的直线 l 2 ,使 AQ ? BQ ? ?1 成立. 法 2 :假设存在直线 l 2 ,使 AQ ? BQ ? ?1 成立.

(1)当直线 l 2 的斜率不存在时,此时直线 l 2 的方程为 x ? ?1 ,可得 A(1,
B(1, ? 14 14 14 ),或 A(?1, ) , B ( ?1, ? ), 代入 AQ ? BQ ? ?1 , 2 2 2

14 ), 2

不符题意; ??5 分 (2)当直线 l 2 的斜率存在时,设直线 l 2 方程为 y ? kx ? m .
? y ? kx ? m, ? 联立 ? x2 y 2 ?1 ? ? 4 ?8

得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 8 ? 0 .

??6 分

设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),
? x1 ? x2 ?
2 ? 4km , x x ? 2m ? 8 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

( ? ) ??7 分
2

? AQ ? BQ ? (OQ ? OA) ? (OQ ? OB) ? OQ ? OA ? OQ ? OB ? OQ ? OA ? OB ? ?1 ,
? OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

??9 分

即 x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 . 将( ? )代入,化简可得 3m 2 ? 8k 2 ? 8 . ??10 分 m ? 1 ,即 m 2 ? k 2 ? 1 , 又d ? ?? 11 分 2 k ?1

? k ? ?1 不成立.
2

??12 分 ?? 13 分

综上可知,不存在这样的直线 l 2 ,使 AQ ? BQ ? ?1 成立. (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由 S 2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 3 ? 2(2 ? 1) 和 a2 ? 11 ,可得 a1 ? 5 . (Ⅱ)法 1:当 n ? 2 时,由 an ? S n ? S n ?1 , 得 an ? nan ? 3n(n ? 1) ? ?(n ? 1)an?1 ? 3(n ? 1)(n ? 2)? , 即 (n ? 1)an ? (n ? 1)an ?1 ? 6(n ? 1) .

?? 2 分

an ? an?1 ? 6(n ? N?,n ? 2)

?? 6 分 ?? 8 分

∴数列 {an } 是首项 a1 ? 5 ,公差为 6 的等差数列. ∴ an ? a1 ? 6(n ? 1) ? 6n ? 1 . ?? 9 分

- 11 -

∴ Sn ?

n(a1 ? an ) ? 3n 2 ? 2n . 2

?? 10 分

法 2:当 n ? 2 时,由 S n ? nan ? 3n(n ? 1) ? n( S n ? S n ?1 ) ? 3n(n ? 1) (n ? 2) 可得 (n ? 1) S n ? nS n ?1 ? 3n(n ? 1) ∴数列 ?
? S n S n ?1 ? ? 3 (n ? 2) . n n ?1

????8 分

? Sn ? S ? 是首项 1 ? 5 ,公差为 3 的等差数列. 1 ?n?

???? 9 分

?

Sn 2 ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 ,即 S n ? 3n ? 2n . n

???? 10 分

证明: (Ⅲ)? bn ?

n 1 2 2 ? ? ? Sn 3n ? 2 2 3n ? 2 3n ? 1 ? 3n ? 2

???? 12 分

( 2 3n ? 2 ? 3n ? 1) 2 ? = ( 3n ? 2 ? 3n ? 1) , ( 3n ? 2+ 3n ? 1)( 3n ? 2 ? 3n ? 1) 3

???? 13 分

2 ∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? [( 5 ? 2) ? ( 8 ? 5) ? ? ? ( 3n ? 2 ? 3n ? 1)] 3
? 2 2 ( 3n ? 2 ? 2) ? 3n ? 2 . 3 3

∴ 命题得证. ???? 14 分

(20) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)定义域为 (0, +?) .

?? 1 分

由已知得, f ?( x) ? 2x ? (a ? 2) ?
?

(2 x ? a)( x ? 1) ?? 3 分 ( x ? 0) . x 当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, +?) 上单调递增, +?) ; ? 函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, a a 当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 ,得 x ? ;由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? , ?? 4 分 2 2 a a +?) . ?? 6 分 ? 函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) ,单调递增区间为 ( , 2 2

a 2x2 ? (a ? 2) x ? a ? x x

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,若函数有两个零点, a 则 a ? 0 ,且 f ( x) 的最小值 f ( ) ? 0 , 2 a 即 ?a 2 ? 4a ? 4a ln ? 0. 2 a ? a ? 0 ? a ? 4 ? 4 ln ? 0. 2

??7 分

- 12 -

a ,显然 h(a) 在 (0, +?) 上为增函数, 2 3 81 且 h(2) ? ?2 ? 0,h(3) ? 4ln ? 1=ln ? 1 ? 0, 2 16 3? ,且 h(a0 ) ? 0 . ∴存在 a0 ? ?2, ??9 分

令 h(a) ? a ? 4 ? 4ln

当0 < a < a0时,h(a) < 0 ; 当a > a0时,h(a) > 0.

? 满足条件的最小正整数 a ? 3.

又当 a ? 3 时, f (3) ? 3(2 ? ln 3) ? 0,f (1) ? 0, 综上所述,满足条件的最小正整数 a ? 3. ??10 分

(Ⅲ)证明:? x1,x2 是方程 f ( x ) ? c 的两个不相等的实数根,由(Ⅰ)知 a ? 0 , 不妨设 0 ? x1 ? x2 ,
2 2 则 x1 ? (a ? 2) x1 ? a ln x1 ? c,x2 ? (a ? 2) x2 ? a ln x2 ? c .

两式相减得 [ x12 ? (a ? 2) x1 ? a ln x1 ] ? [ x22 ? (a ? 2) x2 ? a ln x2 ] ? 0 , 即 x12 +2x1 ? x22 ? 2x2 =ax1 +a ln x1 ? ax2 ? a ln x2

=a( x1 + ln x1 ? x2 ? ln x2 ) ,

x +2 x1 ? x2 ? 2 x2 . x1 +ln x1 ? x2 ? ln x2 a a a +?) 时, f ?( x ) ? 0 , ? f ?( ) ? 0 , 又当 (0, ) 时, f ?( x ) ? 0 ; 当 ( , 2 2 2 x 2 +2 x1 ? x2 2 ? 2 x2 x ? x2 a 故只要证 1 . ?? 12 分 ? 即可,即证明 x1 ? x2 ? 1 x1 + ln x1 ? x2 ? ln x2 2 2 ?a ?
2 1 2

2 2 2 2 即证明 x1 ? x2 +( x1 +x2 ) ? (ln x1 ? ln x2 ) ? x1 +2 x1 ? x2 ? 2 x2 , x 2 x ? 2 x2 . 即证明 ln 1 ? 1 x2 x1 ? x2 x 2t ? 2 设 t ? 1 (0 ? t ? 1) ,令 g (t ) ? ln t ? , t ?1 x2
2 1 4 (t ? 1 ) 则 g ?(t ) ? ? = . 2 2 t (t ? 1 ) ( t t ?1 ) ?t ? 0 , ? g ?(t ) ? 0 . ??13 分 +?) 上是增函数. ? g (t ) 在 (0, 又 g (1) ? 0 ,? 当 0 ? t ? 1时, g (t ) <0 总成立. ?? 14 分 ? 原命题成立.

- 13 -

- 14 -


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