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高考数学理科二轮复习课件:专题3三角函数、解三角形与平面向量3.2


1 主干梳理· 体验高考 1.正弦定理 a b c = = sinA sinB sinC=2R,其中 2R 为△ABC 外接圆的直径. a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC. a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. 1 1 1 S△ABC=2absinC=2bcsinA=2acsinB. 2.余弦定理 a2=b2+c2-2bc· cosA,b2=a2+c2-2ac· cosB, 2 2 2 b + c - a c2=a2+b2-2ab· cosC,cosA= , 2bc a2+c2-b2 a2+b2-c2 cosB= 2ac ,cosC= 2ab . 3.用正弦定理、余弦定理解三角形时的常用关系式 (1) 三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三 边. (2)三角形中大边对大角,小边对小角. (3)勾股定理及其逆定理. (4)在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=π. sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC, A+B C tan(A+B)=-tanC,sin =cos , 2 2 A+B C cos =sin . 2 2 tanA+tanB+tanC=tanA· tanB· tanC. 1 1.钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= 2,则 AC=( 2 A.5 B. 5 C.2 D.1 ) 1 1 解析:由题意可得2AB· BC· sinB=2, 又 AB=1,BC= 2, 2 所以 sinB= 2 ,所以 B=45° 或 B=135° . 当 B=45° 时,由余弦定理可得 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cosB=1, 此时 AC=AB=1,BC= 2,易得 A=90° , 与“钝角三角形”条件矛盾,舍去.所以 B=135° . 由余弦定理可得 AC= AB2+BC2-2AB· BC· cosB= 5. 答案:B 2.(2015· 广东卷)设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b, 1 π c.若 a= 3,sinB= ,C= ,则 b=__________. 2 6 1 π 5π π 5π 解析:由 sinB=2得 B=6或 6 ,因为 C=6,所以 B≠ 6 ,所以 B π 2π 3 b =6,于是 A= 3 .由正弦定理,得 2π=1,所以 b=1. sin 3 2 答案:1 sin2A 3 . (2015· 北京卷 ) 在△ABC 中, a = 4 , b = 5 , c =6 ,则 = sinC __________. 解析:由正弦定理得 sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c=4∶5∶6,又 b2+c2-a2 25+36-16 3 sin2A 由 余 弦 定 理 知 cosA = = = 4 , 所 以 sinC = 2bc 2×5×6 2sinAcosA sinA 4 3 = 2 × × cos A = 2 × sinC sinC 6×4=1. 答案:1 4. (2015· 课标Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中, ∠A=∠B=∠C=75° , BC=2,则 AB 的取值范围是__________. 解析:如图,作△PBC,使∠B=∠C=75° ,BC=2,作直线 AD 分别交线段 PB、PC 于 A、D 两点(不与端点重合),且使∠BAD=75° , 则四边形 ABCD 就是符合题意的四边形.过 C 作 AD 的平行线交 PB 于点 Q,在△PBC 中,可求得 BP= 6+ 2,在△QBC 中,可求得 BQ= 6-

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