当前位置:首页 >> 数学 >>

2015高考数学(文)一轮总复习课件:3.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像


第三章 §3.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像

§2.2 函数的单调性与最值

最新考纲

1. 了解函数y=Asin(ω x+φ )的物理意义,能画出函数y=Asin(ω x+φ )的图像, 了解参数A、ω 、φ 对函数图像变化的影响.

2. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要模型,会

用三角函数解决一些简
单问题.

最新考纲 基础梳理

第 五 节

自主测评 典例研析 特色栏目 备课优选

基础梳理
1. 用“五点法”画 y=Asin(ω x+φ )在一个周期内的简图时,要找 五个特征点.如下表所示:

0-φ
x

π -φ 2 ω

π-φ ω

3π -φ 2 2π-φ ω
ω

ω

ω x+φ Asin (ω x+ φ)

0

π 2

π

3π 2



0

A

0

-A

0

2. 函数 y=sinx 的图像经变换得到 y=Asin(ω x+φ )的图像的步骤如下:

3. 当函数y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0,x∈[0,+∞))表示一个振
动时,A叫做 振幅 相位 ,φ 叫做 ,T=叫做 . 周期 , f=叫做 频率 ,ω x+φ 叫做

初相

y=Asin(ω x+φ )+k图像变换
1.A决定振幅,K决定上下位置 2.W影响图像周期 3. Φ影响图像的水平位移

拓展延伸
1. 确定 y=Asin(ω x+φ )+k(A>0,ω >0,|φ |<π)中的参数的方法 M -m M+m 在由图像求解析式时, 若最大值为 M, 最小值为 m, 则 A= , k= , 2 2 2π ω 由周期 T 确定,即由 =T 求出,φ 由特殊点确定. ω 2. 平移变换中的平移量 从 y=sin |φ | ωx (ω >0) 到 y=sin (ω x+φ ) (ω >0) 的变换中平移量为 (φ >0 ω

时,向左;φ <0 时,向右)而不是|φ |.平移的距离是针对 x 的变化量而言的.

自主测评
1.
判断下列命题是否正确. 2π .( ω )

(1)函数 y=Asin(ω x+φ )的最小正周期为 T=

? ? π? 5π ? π ? ? ? ? (2)把 y=2sin?2x+ ?的图像向左平移 个单位,得到 y=2sin?2x+ ?的图像.( 4? 12 ? 6 ? ? 1



(3)把 y=sin x 的图像的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) ,变为 y=sin 2x.( ) 2 (4)函数 y=tan ω x 的最小正周期为?
?.( ?ω ? ? ?





? π? π ? ? (5)x= 是函数 y=sin?2x+ ?的图像的一条对称轴.( ) 6? 6 ?

(1)错误.y=Asin(ω x+φ )最小正周期为 T=

2π |ω |

. ? ? ? π? ? ? ? π? ?2?x+ 6 ?+ 4 ? ? ? ? ?

? π? π ? ? (2)错误.y=2sin?2x+ ?图像向左平移 个单位,应为 y=2sin 4? 6 ? ? 7π? ? ? =2sin?2x+ . 12 ? ? ?

1 (3)正确. 函数 y=sin x 的图像的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)得到函数 ω y=sin ω x 的图像. (4)错误.函数 y=tan ω x 的最小正周期为 π |ω | .

? π? π π π π ? ? (5)正确. 2× + = ,故 x= 是函数 y=sin?2x+ ?的一条对称轴. 6? 6 6 2 6 ?

2.

函数 y=sin

x 2

的图像的一条对称轴的方程是( C ) π 2

A. x=0

B. x=

C. x=π

D. x=2π

解析:
π x 由 = +kπ 得 x=π+2kπ(k∈Z).故 x=π 是函数 y=sin 的一条对称轴. 2 2 2 选择 C x

3.

?π ?? π? ? ?? ? 已知简谐运动 f(x)=2sin? x+φ ??|φ |< ?的图像经过点(0,1) ,则 3 2 ? ?? ? π

该简谐运动的最小正周期 T 为

6

,初相 φ 为

6

.

解析:
2π 最小正周期 T= =6;由 2sin π 3 π π φ = ,∵|φ |< ,∴φ = . 2 2 6 1

φ =1,得 sin

4.

(2014·苏州调研改编)将函数 y=sin 2x 的图像向左平移
π 6

个单位, 12

π

? π? ? ? 得到函数 y=sin(2x+φ )?0<φ < ?的图像,则φ = 2? ?

.

解析:
? π? ? ? 将函数 y=sin2x 的图像向左平移 个单位, 得到函数 y=sin 2?x+ ?= 12? 12 ? π ? π? π π π ? ? sin ?2x+ ?的图像,故 φ =2kπ+ (k∈Z) ,又 0<φ < ,∴φ = . 6 6 2 6 ? ?

5.

(2013·烟台模拟)函数 y=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,

A>0,ω >0)在闭区间[-π,0]上的图像如图所示,则 ω =

3

.

解析: 观察函数图像可得周期 T=
2π 2π 则 T= = ,∴ω =3. 3 ω

2π ,又 ω >0, 3

题型分类 ·典例研析
题型1 ·函数y=Asin(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的图像及其变换
? π? ? ? 例 1:已知函数 y=2sin?2x+ ?. 3? ? (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图像; ? π? ? ? (3)说明 y=2sin?2x+ ?的图像可由 y=sin 3? ? x 的图像经过怎样的变换而得到.

思路点拨: (1)由振幅、周期、初相的定义即可解决.(2)五点法作图,关键是找出与

x相对应的五个点. (3)按照图像的平移变化规律求解.
规范解答:

? π? 2π π ? ? (1) y=2sin?2x+ ?的振幅 A=2,周期 T= =π,初相 φ = .(2 分) 3? 2 3 ? ? π? π ? ? (2)令 X=2x+ ,则 y=2sin?2x+ ?=2sin 3? 3 ? X.列表,并描点画出图像.

x



π 6

π 12 π 2 1

π 3 π

7π 12 3π 2 -1

5π 6 2π

X y=sin X y= 2sin ? π? ? ? 2x + ? ? 3 ? ? (6 分)

0

0

0

0

0

2

0

-2

0

(3)把 y=sin

? π? π ? ? x 图像上所有点向左平移 个单位,得到 y=sin?x+ ?的图 3? 3 ?

? π? 1 ? ? 像,再把 y=sin?x+ ?的图像上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不 3? 2 ? ? π? ? ? 变) ,得到 y=sin?2x+ ?的图像, 3? ?

? π? ? ? 最后把 y=sin?2x+ ?的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变) , 3 ? ? ? π? ? ? 即可得到 y=2sin?2x+ ?的图像.(12 分) 3? ?

规律总结:

1. 作三角函数图像的基本方法就是五点法, 此法注意在作出一个 周期上的简图后,应向两端伸展一下,就是整个定义域上的图像 .用 “五点法”作图应抓住四点: (1)将原函数化为 y=Asin(ω x +φ ) (A>0,ω >0)或 y= Acos(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的形式;

2π (2)求出周期 T= ; ω (3)求出振幅 A; (4)列出一个周期内的五个特殊点,当画出某指定区间上的图像时,应列出该 区间内的特殊点. 2. 变换法作图像的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移,对于后 ? φ? ? ? 者可利用 ω x+φ =ω ?x+ ?来确定平移单位. ? ω?

迁移发散1 已知函数 f(x)=sin

? π? ? ? 2x + ? ?. 3 ? ?

(1)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (2)画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图像.

规范解答:
π π π 5π π (1) 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z) 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z) . 2 3 2 12 12 (4 分) ? 5π π? ? ? ∴所求单调递增区间为?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z).(5 分) 12 12? ?

π π 7π (2)∵0≤x≤π,∴ ≤2x+ ≤ .列表,并描点画出图像. 3 3 3

x π 2x+ 3 y= sin(2x π + 2 (8 分)

0 π 3

π 12 π 2

π 3 π

7π 12 3π 2

5π 6 2π

π 7π 3

3 2

1

0

-1

0

3 2

(10 分)

题型2 · 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
例 2: ( 1 ) ( 2013· 哈 尔 滨 模 拟 ) 已 知 函 数 f ( x ) = Asin ( ω x + φ ) ? π? ? ? x ∈ R , A > 0 , ω > 0 , | φ | < ? ? 的图像(部分)如图所示,则 f ( x )的解析式 2 ? ? ? ? π ? ? 是 f(x)=2sin . ?πx+ ?(x∈R). 6? ?

( 2 )( 2013· 宝 鸡 模 拟 ) 已 知 函 数 f ( x ) = Asin2 ( ω x + φ ) ? π? ? ? A > 0 , ω > 0 , 0 < φ < ? ?,且 y=f(x)的最大值为 2,其图像相邻两对称轴 2 ? ? π 间的距离为 2,并过点(1,2) ,则 f(x)的解析式为 f(x)=1+sin 2 x ; f (1)+f(2)+…+f(2 013)= 2014
思路点拨:
(1)先确定 A 和 T,从而得到 ω 的值,再利用特殊点确定 φ .(2)①将 A 函数化为 f(x)= - cos(2ω x+2φ ) ,根据条件逐一确定 A,ω ,φ 的值即 2 2 可.②利用函数 y=f(x)的周期性求值. A

.

规范解答:

1 5 1 1 2π (1)由图像可知 A=2, T= - = ,∴T=2,∴ω = =π(ω >0).∴f(x) 4 6 3 2 2 ?1 ? ?π ? ?π ? π ? ? ? ? ? ? =2sin(πx+φ ).由图像可知过点? ,2?,∴2=2sin? +φ ?,∴sin? +φ ?=1,∴ + 3 ?3 ? ?3 ? ?3 ? ? π? π π π π ? ? φ = +2kπ(k∈Z) ,即 φ = +2kπ(k∈Z) .∵|φ |< ,∴φ = .∴f(x)=2sin?πx+ ? 6? 2 6 2 6 ? (x∈R).

(2)①y=Asin2(ω x+φ )=

A

A - cos(2ω x+2φ ) ,∵y=f(x)的最大 2 2

A A 值为 2,A>0,∴ + =2,A=2.又其图像相邻两对称轴间的距离为 2, 2 2 ?π ? ?π ? 1 2π π 2 2 ? ? ? ? ω >0 , ∴ × =2, ω = .∴f (x) = - cos? x+2φ ?=1-cos? x+2φ ?. 2 2ω 4 2 2 ?2 ? ?2 ? ?π ? π ? ? ∵y=f(x)过点(1,2) , ∴cos? +2φ ?=-1.∴ +2φ =2kπ+π,k∈Z, 2 ?2 ? π π π ∴φ =kπ+ , k∈Z.又 0<φ < ,∴φ = . 4 2 4

?π π? π ? ? ∴f(x)=1-cos? x+ ?=1+sin x.②由①知函数 y=f(x)的周期为 4, 2? 2 ?2 π 3π 又 f(1)=1+sin =2, f(2)=1+sin π=1,f(3)=1+sin =0, 2 2 f(4)=1+sin 2π=1.∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4,∴f(1)+ f(2)+…+f(2 013)=503×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(2 013) =503×4+f(1)=2 014.

规律总结:
确定 y=Asin(ω x+φ )+k(A>0,ω >0)的步骤和方法. M-m (1) 求 A, k, 确定函数的最大值 M 和最小值 m, 则 A= , 2 M+m k= . 2 2π (2)求 ω ,确定函数的周期 T,则可得 ω = . T (3)求 φ ,常用的方法有: ①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时 A,ω ,k 已知) 或代入图像与直线 y=k 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上 还是在下降区间上).

②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破 口.具体如下: “第一点”(即图像上升时与 x 轴的交点)时 ω x+φ =0;“第二点” π (即图像的“峰点”)时 ω x+φ = ;“第三点”(即图像下降时与 x 轴 2 3π 的交点) 时 ω x+φ =π; “第四点” (即图像的“谷点”) 时 ω x+φ = ; 2 “第五点”时 ω x+φ =2π.

迁移发散2:
函数 f(x)=Asin(ω x+φ ) (A,ω ,φ 为常数,A>0,ω >0,0<φ < π )的部分图像如图所示,则 f(0)的值是 2

6 2
.

规范解答:
由图可知:A= 2, = - = ,∴T=π,ω = =2(ω >0) ,又 4 12 3 4 T T 7π π π 2π

?π ? π π ? ? 函数图像经过点? ,0?, ∴2× +φ =π+2kπ (k∈Z) , ∴φ = +2kπ (k∈Z) , 3 3 3 ? ? π π 又 0<φ < ,∴φ = .故函数的解析式为 f(x)= 2 3 π 6 2sin = . 3 2 ? π? ? ? 2sin?2x+ ?,∴f(0)= 3? ?

题型3 ·三角函数性质的应用
? π? ? ? 例 3. 已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )?A>0,ω >0,|φ |< ?的图像与 y 轴的 2? ? 交点为 ( 0, 1) , 它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 (x0, 2) 和(x0+2π,-2). (1)求 f(x)的解析式及 x0 的值; (2)求 f(x)的增区间; (3)若 x∈[-π,π],求 f(x)的值域.

思路点拨:
根据已知条件结合图像先求出解析式,再根据解析式求出单调区间和值域. 规范解答:
(1)由图像知 A=2,由 =2π 得 T=4π, 2 ?1 ? ? ? ∴ω = (ω >0).∴f(x)=2sin? x+φ ?, (2 分) 2 2 ? ? 1 π π ∴f(0)=2sin φ =1,又|φ |< ,∴φ = , 2 6 ?1 π? ? ? ∴f(x)=2sin? x+ ?, (4 分) 2 6 ? ? T

?1 π? ? ? ∵f(x0)=2sin? x0+ ?=2, 6? ?2 1 π π 2π ∴ x0+ = +2kπ,k∈Z,即 x0=4kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 3 2π 又(x0,2)是 y 轴右侧的第一个最高点,∴x0= .(6 分) 3 π 1 π π (2)∵2kπ- ≤ x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, (7 分) 2 2 6 2 4π 2π ∴4kπ- ≤x≤4kπ+ ,k∈Z, 3 3

? 4π 2π ? ? ? ∴f(x)的增区间为?4kπ- ,4kπ+ ?,k∈Z.(9 分) 3 3? ? (3)∵x∈[-π,π], ? 1 π ? ? π 2π ? ∴ x+ ∈?- , ?. 2 6 ? 3 3? ∴f(x)∈[- 3,2].(12 分)

规律总结: 求三角函数y=Asin(ω x+φ )的性质,不论是周期性、单调性、对称 性还是求三角函数的最值,都要以三角函数y=sin x的性质为基础.另外

在求解时要注意所给的范围和φ 的取值.

迁移发散:
? π? ? ? 函数 f(x)=Asin?ω x- ?+1(A>0,ω >0)的最大值为 3,其图像 6? ? π 相邻两条对称轴之间的距离为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式; ? ?α ? π? ? ? ? ? (2)设 α ∈?0, ?,则 f? ?=2,求 α 的值. 2? ? ?2 ?

(1)∵A+1=3,∴A=2.又函数图像相邻对称轴之间的距离为半个周期, ? π? π 2π ? ? ∴ = ,∴T=π,∴ω = =2(ω >0) ,∴f(x)=2sin?2x- ?+1.(5 分) 6? 2 2 T ? T ?α ? ? ? π? π? ? ? ? ? ? ? 1 (2)∵f? ?=2sin?α - ?+1=2,∴sin?α - ?= .(7 分) 6? 6? 2 ?2 ? ? ? π π π π π π π ∵0<α < ,∴- <α - < ,∴α - = ,∴α = .(10 分) 2 6 6 3 6 6 3

常见错误剖析
对性质应用不熟致误
已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) ,x∈R,其中 ω >0,-π<φ ≤π.若 f(x) π 的最小正周期为 6π,且当 x= 时,f(x)取得最大值,则( A ) 2 A. f(x)在区间[-2π,0]上是增函数 B. f(x)在区间[-3π,-π]上是增函数 C. f(x)在区间[3π,5π]上是减函数 D. f(x)在区间[4π,6π]上是减函数

思路点拨: 求出函数f(x)的解析式,再根据三角函数的性质判断.

规范解答:

?1 π? π ? ? ? ? ?=2sin x+ x 由题意可得 ω = ,φ = ,f? ? ? ?3 ?, 3 3 3 ? ? 1 π 1 π π 2kπ- ≤ x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 3 3 2 5π π 即 6kπ- ≤x≤ +6kπ,k∈Z. 2 2 ? ? 5π π ? ? ∴f(x)的增区间为?6kπ- , +6kπ?,k∈Z. 2 2 ? ? 批注 2 批注 1

π 1 π 3 +2kπ≤ x+ ≤ π+2kπ,k∈Z, 2 3 3 2 π 7 即 +6kπ≤x≤ π+6kπ,k∈Z, 2 2 ?π ? 7 ? ? ∴f(x)的减区间为? +6kπ, π+6kπ?,k∈Z. 2 ?2 ? ∴f(x)在[-2π,0]上是增函数,故选 A.,

批注 1:此处应注意熟记三角函数的图像性质,避免出现 解题失误. 批注 2:不能忘记 k∈Z 这一条件.

错因分析:
此类题经常出现因对三角函数的图像及性质记忆不准确出现错解. 规律总结: 熟练掌握三角函数的图像特征及性质是解决此类题的关键所在.

迁移发散: 函数y =cos(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π)为奇函数,该函数的部分图像
如图所示,A、B 分别为最高点、最低点,且AB =2 一条对称轴为( D ) 2则该函数图像的

A. x =2/π C.x =2

B.x =

π 2

Dx =1

规范解答:
π 由y =cos(ω x+φ )为奇函数知φ =kπ+ ,其中k∈Z.又0<φ <π 2 π π ∴ φ = ,则y =cos( ω x+ )= -sin ω x. 2 2 由AB = 2 2知 π 2

∴ T =4=2π/ ω ,即ω = ∴ y =-sin( πx/2).

π 结合选项知当x =1 时,y =-sin =-1 2 此时函数y =-sin x =1,选择D π x取得最小值,因此该函数图像的一条对称轴为 2

备课优选
题型4 · 三角函数模型的应用
例 4:如图,某市准备在道路 EF 的一侧修建一条运动比赛道,赛道的前一部分 ? 2π ? ? ? 为曲线段 FBC,该曲线段是函数 y=Asin?ω x+ ?(A>0,ω >0) ,x∈[-4,0] 3 ? ? 时的图像,且图像的最高点为 B(-1,2).赛道的中间部分为长 3 km 的直线跑

道 CD,且 CD∥EF,赛道的后一部分是以 O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求 ω 的值和∠DOE 的大小; (2)若要在圆弧赛道所对应的扇形 ODE 区域内建一个“矩形草坪”,矩形的 一边在道路 EF 上, 一个顶点在半径 OD 上, 另外一个顶点 P 在圆弧 DE 上, 且∠POE =θ ,求当“矩形草坪”的面积取最大值时 θ 的值.

思路点拨:
(1) 根据图像确定参数的值( . 2) 将实际问题转化为 y=Asin (ω x+φ ) 的模型问题.

规范解答:
1)由条件,得 A=2, =3,∴T=12.(2 分) 4 2π π ∵T= ,∴ω = , ω 6 ?π 2π ? ? ? ∴曲线段 FBC 的解析式为 y=2sin? x+ ?.(4 分) 3? ?6 当 x=0 时,OC= 3.又 CD= 3,CD∥EF, T

π π ∴∠COD= ,∴∠DOE= .(6 分) 4 4

(2)由(1)弧可知 OD= 在 上,故 OP= 则 S= 6sin θ (

6.又易知,当“矩形草坪”的面积最大时,点 P

6.设“矩形草坪”的面积为 S, 6cos θ - 6sin θ )=6(sin θ cos θ -sin2θ )

?1 ? 1 1 ? ? =6? sin 2θ - + cos 2θ ? 2 2 ?2 ? =3 ? π? ? ? 2sin?2θ + ?-3.(10 分) 4? ?

π ∵0<θ < , 4 π π π ∴要使 S 取得最大值,则 2θ + = ,即 θ = .(12 分) 4 2 8

点评: 利用三角函数研究实际问题的关键在于建立数学模型,因此要认真审 题,分析各个量的关系,求出函数y=f(x),然后利用弦的有界性 求函数f(x)的最值. 规律总结: 用三角函数模型解决实际问题主要有两种:一种是用已知的模型去分

析解决实际问题,另一种是需要建立精确的或数据拟合的模型去解决
问题,尤其是利用数据建立拟合函数解决实际问题充分体现了“数学 建模”的本质.

题型5 ·三角函数与导数
例5
已知关于 x 的方程 sin x x =k(k∈(0,1) )在(-3π,0)∪(0,3π)内

有且仅有 4 个根,从小到大依次为 x1,x2,x3,x4. (1)求证:x4=tan x4; (2)是否存在常数 k,使得 x2,x3,x4 成等差数列?若存在,求出 k 的值; 若不存在,请说明理由.

思路点拨: 将方程变形为sin x=kx(x≠0),两边分别取函数,画出图像,利用 数形结合可解决问题.

(1)由原方程得 sin x=kx(x≠0) , 设函数 f(x)=sin x,g(x)=kx(x≠0) ,它们的图像如图所示:

方程 sin x=kx(x≠0)在(-3π,0)∪(0,3π)内有且仅有 4 个根, ? 5π ? ? ? x4 必是函数 g(x)=kx 与 f(x)=sin x 在?2π, ?内相切时切点的横坐标,即 2? ? 切点为(x4,sin x4) ,g(x)=kx 是 f(x)=sin x 的切线.

由 f ′(x)=cos x,∴k=cos x4, 又 sin x4=kx4, ∴x4=tan x4.(4 分) (2)由题设知 x2=-x3,又 x2,x3,x4 成等差数列, 得 2x3=x2+x4, ∴x3= x4.(6 分) 3 由 sin x3=kx3,得 sin 1 3 1 3 x4= kx4, 3 1 1

即 sin x4=3sin

x4.(8 分)

? ? 5π? x4 ? ? ? ?2π 5π? 由题设 x4∈?2π, ?,得 ∈? , ?, 2? 6? 3 ?3 ? ? x4 ? x4 ? 3? ?1 ? ?3 3 3? ∴sin ∈? , ,则 3sin ∈? , , ? ? 3 ?2 3 ?2 2 ? 2 ? ?3 3 3? ? ? 即 sin x4∈? , ?,与 sin x4<1 矛盾. 2 2 ? ? 故不存在常数 k 使得 x2,x3,x4 成等差数列.(12 分)

点评:
本题根据课本的一个习题求曲线 y=

sin x x

在点 M(π,0)处的切线方程改

编而来, 在试题的结构、 内涵及所涉及的思想方法上都作深层变形与深入挖掘, 这也是高考命题的一种常用手法.在课本例题和习题的结构、内涵及思想方法上 下功夫,才是钻研教材、从容应考之本.

规律总结: 涉及三角函数与导数的问题,通常考查三角函数切线有关的问题,需要注意, 由于三角函数的周期性,与三角函数相切的直线通常与三角函数有多个交点.

在解决问题时,最好能运用数形结合的思想,画出简图,可事半功倍.

精选习题
1、
(2013·哈尔滨模拟) 定义行列式运算 =a1a4-a2a3.将函数 f (x)



的图像向左平移 n(n>0)个单位,所得图像对应的函数为偶函数,

则 n 的最小值为(C) A. π 6 B. π 3 C. 5π 6 D. 2π 3

解析:
? π? ? ? 3cos x-sin x=2 cos?x+ ?,图 6? ?

依题意可得 f(x)=



? π? ? ? 像向左平移 n(n>0)个单位得 f(x+n)=2cos?x+n+ ?,要使平移后的 6? ? 5π 函数为偶函数,则 n 的最小值为 ,选择 C. 6

2、 Asin(ω x+φ )+B(0≤φ <2π) ,则温度变化曲线的函数解析式
?π 3π? ? ? x + y = 10sin 为 ?8 ?+20,x∈[6,14] 4 ? ?
.

如图,某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 y=

解析:
题图中从 6 时到 14 时的图像是函数 y=Asin(ω x+φ )+B 的 半个周期的图像, 1 2π π ∴ · =14-6,ω = . 2 ω 8 又由图可得 A= 30-10 2 =10,B= 30+10 2 =20.

?π ? ? ? ∴y=10sin? x+φ ?+20. ?8 ?

?3 ? ? ? 将 x=6,y=10 代入上式,得 sin? π+φ ?=-1. ?4 ? 又 0≤φ <2π, 3 3 3π ∴ π+φ = π,φ = . 4 2 4 ?π 3π? ? ? 故所求曲线的解析式为 y=10sin? x+ ?+20,x∈[6,14] 4? ?8

3、

函数 y=sin x+cos x 的图像可以看做是由函数 y=sin x-cos x 的图像

π 2
.

向左平移得到的,则平移的最小长度为

解析:
y=sin x+cos x= ? π π? ? ? 2?sin xcos +cos xsin ?= 4 4? ? ? π? ? ? 2sin?x- ?, 4? ? ? π? ? ? 2sin?x- ?, 4? ? ? π? ? ? 2sin?x+ ?, 4? ?

同理可得 y=sin x-cos x=

令 f(x)=sin x-cos x=

设 y=f(x)的图像向左平移 φ (φ >0)个单位,得到 y=sin x+cos x 的 图像, 则 f(x+φ )= ? π? ? ? 2sin?x+φ - ?= 4? ? ? π? ? ? 2sin?x+ ?, 4? ?

π π π ∴φ - = +2kπ(k∈Z) ,取 k=0,得 φ 的最小正值为 , 4 4 2 π 即平移的最小长度为 . 2

4、 (2014·沈阳模拟)已知函数 f(x)=Asin(3x+φ ) (A>0,0<φ <π)
在 x= 时取得最大值 4. 12 π

(1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式.

解析: (1)∵f(x)=Asin(3x+φ ) ,
2π 2π ∴T= ,即 f(x)的最小正周期为 .(4 分) 3 3

(2)∵当 x=

π 12

时,f(x)有最大值 4,

? ? ?π ? π ? ? ? ? ∴A=4.∴4=4sin?3× +φ ?,∴sin? +φ ?=1.(6 分) ? 12 ? ?4 ? π π π 即 +φ =2kπ+ (k∈Z) ,得 φ =2kπ+ (k∈Z).(8 分) 4 2 4 π ∵0<φ <π,∴φ = . 4 ? π? ? ? ∴f(x)=4sin?3x+ ?.(12 分) 4? ?

5、
(2013·北京模拟)设函数 f(x)=sin(2x+φ ) (-π<φ <0) ,y=f(x) π 的图像的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ 的值; (2)求函数 y=f(x)的单调递增区间; (3)画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图像.

π 解析: (1)∵x= 是函数 y=f(x)的图像的对称轴, 8 ? π ? ? ? ∴sin?2× +φ ?=±1, ? 8 ? π π ∴ +φ =kπ+ ,k∈Z. 4 2 3π ∵-π<φ <0,∴φ =- .(4 分) 4

? 3π ? 3π ? ? (2)由(1)知 φ =- ,因此 y=sin?2x- ?. 4? 4 ? π 3π π 由题意得 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z. 2 4 2 π 5π 解得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 8 8 ? ? 3π ? π 5π? ? ? ? ? ∴函数 y=sin?2x- ?的单调递增区间为?kπ+ ,kπ+ ?, k∈Z. 4 8 8 ? ? ? ? (8 分)

? 3π? ? ? (3)由 y=sin?2x- ?列表如下: 4? ?

x

0 2 2

π 8 -1

3π 8 0

5π 8 1

7π 8 0

π 2 2

y -



故函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图像如下图所示:

(12 分)


相关文章:
【锁定高考】2015高考数学(文)一轮总复习训练手册:3.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像]
【锁定高考】2015高考数学(文)一轮总复习训练手册:3.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图像]_高中教育_教育专区。【锁定高考】2015高考数学(文)一轮总复习训练手册:3.5 ...
函数y=Asin(ωx+φ)的图像的复习
函数y=Asin(ωx+φ)的图像的复习_数学_高中教育_教育专区。本文档是函数y=Asin(ωx+φ)的图像的复习,适用于高一期末复习或高三第一轮复习函数...
一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师版
一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教师版_数学_高中教育_教育专区。函数...π D.4π π 2.(2015· 济南模拟)将函数 y=cos 2x+1 的图象向右平移 ...
2015高考数学(人教a版,文)一轮开卷速查:5-4函数y=asin(ωx+φ)的图像及应用
搜 试试 7 帮助 全部 DOC PPT TXT PDF XLS 百度文库 教育专区 高中教育 数学2015高考数学(人教a版,文)一轮开卷速查:5-4函数y=asin(ωx+φ)的图像及应用...
【复习参考】2015年高考数学(理)提升演练:函数y=Asin(ωx+φ)的图象]
复习参考】2015高考数学(理)提升演练:函数y=Asin(ωx+φ)的图象]_高中教育_教育专区。【复习参考】2015高考数学(理)提升演练:函数y=Asin(ωx+φ)的图...
2015· 全国卷1(文数)精校完整解析版
2015· 全国卷1(文数)精校完整解析版_数学_高中...cos(ωx+φ)的部分图像如图 12 所示,则 f(x)...ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B =2sin Asin C...
【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮备考训练:5-4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用]
【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮备考训练:5-4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用]_高中教育_教育专区。【状元之路】2015高考数学(人教A版,文)一轮备...
2017届高考数学一轮复习 必考部分 第三篇 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用应用能力提升 文
2017届高考数学一轮复习 必考部分 第三篇 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用应用能力提升 文_数学_高中教育_教育专区。第4节 函数 y=Asin(ω x+ ? ...
【名师堂】2015-2016学年高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案
【名师堂】2015-2016学年高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象学案_数学_高中教育_教育专区。1.5《函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象》导学案【学习...
2016高三数学一轮复习 第3章 第5课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课时训练 文
2016高三数学一轮复习 第3章 第5课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课时训练 文_数学_高中教育_教育专区。【高考领航】2016 高三数学一轮...
更多相关标签: