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2.1.5 点到直线的距离公式(王爱华)


教学设计:点到直线的距离公式
淮北一中 王爱华 一、教材分析 点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之 一,它是解决点与直线 、直线与直线位置关系的基础,也是研究直线与圆、圆与 圆的位置关系的重要工具,同时为后面学习圆锥曲线做准备。教材试图让学生通 过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程,深刻领会蕴涵于其中的数学思想 和方法;逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法来解决数学 问题;充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。 二、学情分析 我上课的班级是淮北一中的实验班,从总体上看,本班学生的数学基础比较 好,平时肯思考问题,钻研精神强,有较好的自主学习和探究学习能力,同时, 学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式,具备了探讨新问题的一定的 基础知识。但学生大容量的自主探究,对课堂教学过程的控制带来一定的难度。 三、教学目标 (1)经历点到直线的距离公式探索过程,抽象出求点到直线距离的步骤;理解 用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法; (2)会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离。 (3)通过自主探究、合作交流等方式,培养学生勇于探索、自主探究和发散思 维能力和合作互助的团队精神。 (4)通过解题方法的多样性,展现数学思维的灵活性和开阔性,使学生体会 解析几何的魅力。 四、教学重点 点到直线的距离公式的探究过程及公式的简单应用。 五、教学难点 点到直线的距离公式的探究。 六、教学方法 以“学生为主体,教师为主导,问题解决为主线,能力发展为目标”的教学 思想为指导,采用“问题探究”的教学方法。通过创设问题情景,引导学生在自 主探究与合作交流中构建新知识。 课堂实录: 师:同学们!我们知道,数学像文学作品一样,来源于生活,高于生活,并 指导生活。那么,在你的生活中,听说过以下问题吗?它们又是怎样的数学问题? (多媒体演示) 如图,在铁路的附近,有一座仓库,现要修建一条公路使之 连接起来,那么怎样设计能使公路最短? 最短路程又是多少? 生 1:我们可以从仓库向铁路做垂线,沿垂线段铺设公路可使 其最短。 师:很好!将来你肯定是一个合格的工程师。再来看下一个: (多媒体演示)

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报道: 9 月 15 号 13 号台风“珊珊”从太平洋出发以近 直线型路线运动,如图,台风波及区域约直径 100 海里,请 预测台北人民是否需要做台风来临前的相关工作? (左图, 黑色线代表台风路线, 右上角紫色区域代表台北市) (设计意图:苏联著名数学家 A.R 辛钦说过; “我想尽力做 到引进新概念、新理论时,学生先有准备,能尽可能地看到 这些新概念、 新理论的引进是很自然的, 甚至是不可避免的。 我认为只有利用这种方法, 在学生方面才能非形式化地理解 并掌握所学到的东西”因此,通过实际问题,创设情境,呼应数学来源于生活, 激发学生学习的兴趣和探讨问题的欲望。) 生 2:如果可以把台北市看作一个点,那么,需要计算台北市到台风路线所在 直线的距离,比较这个值和 50 海里的大小,若该值较大,则台北人民可以高枕无 忧,否则,需做准备工作。 师:回答的很好!以上两个生活情景和怎样的数学问题有关? 生齐答:点到直线的距离。 师:什么是点到直线的距离,你能给它下个定义吗? (设计意图:从感性认识上升到理性认识,用数学语言表述需准确、精炼、 具有高度概括性。此处,为了训练学生的表达能力而设计,同时为用定义法求点 到直线的距离埋下伏笔。) 生 3:经过点做已知直线的垂线,垂线的长即点到直线的距离。 生 4:不对。怎能是垂线的长,应该是垂线段的长。 师:学生 4 订正的很好!“垂线段的长”再具体些是不是“点和垂足间的距 离”? (多媒体演示) 点到直线的距离:经过点做已知直线的垂线,点和垂足之间的距离。 师:明确了点到直线的距离的概念后,我们回头看看台风问题: (多媒体演示) 若在某给定的坐标系下,在一定的比例尺下,台风的路线所在的直线方程为 3x ? y ?1 ? 0 台北市所在点的坐标为(3,4),此时台风波及区域的直径为 10,你 能解决上述问题吗? (思考,片刻) (设计意图:呼应数学高于生活,增强学生的建模意识,能抽象出数学模型, 为解决问题做准备工作) 3x ? y ?1 ? 0 求点 生 5:这个问题相当于已知点 P(3,4),直线的方程为 P 到直线 L 的距离. 我们可以先利用点斜式求直线 L 的垂线 L’的方程,然后,直 线方程和垂线的方程联立,可解出垂足坐标,再利用两点间距离公式即可求出点 到直线的距离。 (学生 5 表述时,师在黑板上画出点和直线) 师:回答的好极了!学生 5 不仅抽象出了数学模型,而且给出了解题方法。 3x ? y ?1 ? 0 求点 P 到直 L 的 (屏幕显示:已知点 P(3,4),直线的方程为 距离?)他的方法,实质上是把定义演绎了一遍。你们看“点到直线的距离”的 定义,不正是这样叙述的吗?下面让我们共同来看看用定义的方法解题的步骤。 (数学概念是学生能顺利分析问题、转化问题的必要条件,用上述方法求解 点到直线的距离,思路最自然的原因,就是学生对其概念已经认知)
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(多媒体演示)

(设计意图:新教材引入算法的目的——让程序化思想成为我们思考问题的习惯。 此环节是为了训练学生有条理的分析问题,渗透算法思想) 师:学生 5 已经率先找到解决问题的方法了。你也是这样想的吗?你还有其 它方法吗?师在黑板左侧板书:求点到直线的距离的方法(1)利用定义;) (设计意图:对于不同的学生,他们有不同的认知结构,即使在相同的外部 刺激下都会有不同的同化和顺应,因而,要相信会有不同的解题方法,否则需改 变或增加外部刺激。)(关于“同化和顺应”见后注)(预案 1) (很多学生举起了手) 生 6:老师,我有一个新方法:过点 P 分别作 X 轴,Y 轴的平行线,交直线 L 于 A,B 两点,再过点 P 作 L 的垂线,垂足为 H。根据点的 P 坐标和直线 L 的方程 可求点 A 的坐标,从而∣PA∣易求,∣PB∣ 易求,通过两点间 距离公式可求∣AB∣。然后利用 Rt ? PBA 的面积即可表示为 P 1 1 PA PB ,也可表示为 AB PH ,则可求点 P 到直线 L 的 A 2 2 距离∣PH∣。 (师边听边按照学生 6 的叙述作图。如图 并板书:(2)构 H 1 1 B 造 Rt ?PAB ,利用面积相等,即 PA PB = AB PH ) O 2 2 师:学生 6 另辟蹊径,打开了构造之门。你们看,他构造 了一个 Rt ? PBA , 而我们所需求的线段恰好转化为△PAB 斜边上 的高。很好!从无三角形到有三角形——“无中生有”有创意! (设计意图:及时总结,升华。也许学生意识不到自己正在构造,创新,老师 的点拨可以使他们意识到自己的行为,从而,实现正迁移,进而解决其它问题。) (掌声响起) PH PA ? 生 7:不用面积关系,用△PAH 和△BAP 相似 可知 即可求出∣PH∣。 PB AB (生齐答:对!) PH PA ? (师板书:(3)通过三角形△PAH 和△BAP 相似 ) PB AB

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生 8:(面带犹豫)我想,学生 6 作两条平行线构造出直角△PAB,如果只作 一条平行线比如说 PB 也可构造出直角三角形,在直角三角形 PBH 中应该也能求出 ∣PH∣,但我还没有想出该怎样求? (师擦去直线 PA,如图) 师:(坚定)学生 8 有较强的简化意识,这可是数学家应 P 具有的品质,但他遇到了困难,我们能帮帮他吗? (发现有横在面前的难题,大家都积极思考。片刻) H (设计意图:数学追求过程的简洁,结果的简洁。鼓励学 B 生不断地改进方法,策略,可促使学生思维深刻。同时发挥学 生的主动性,通过让学生自主探索,培养学生研究问题及解决 问题的能力.) 生 9:(边站起,边大声高兴地叫道)我解决这个问题了! 师:(笑)恭喜你!那快把你的方案说给我们听听。 生 9:首先,作为斜边的∣PB∣易求,欲求∣PH∣可考虑边边关系

PH ?

PB ? BH

2

2

但∣BH∣不好求,所以排除从边边关系入手的方案。现

考虑边角关系,已知一边还需一个角,我们知道直线有倾斜角,于是我想△PBH 中 哪个角和倾斜角 ? 有关?果然, 我发现∠P 和直线的倾斜角 ? 互补! 只要在图中延 长 PB 便知。 现在∣PH∣=∣PB∣COS( ? ? ? ),因而,只需求|COSθ ∣即可。 因为 tan ? ? ?
A 1 1 ( B ? 0) , 所以 COS? ? ? 。这样,问题就解 B A 2 1 ? tan 2 ? 1 ? (? ) B

决了。 (热烈的掌声响起。师生共同鼓掌) 师:真是太棒了!充分利用直线方程中的已知资源。仅通过直线方程的系数便 把∣COSθ ∣求出,进而解决问题。即简化了构造的图形,又减少了运算量,真是 一箭双雕!妙! (忍不住再次鼓掌) (设计意图:及时鼓励是使学生保持较高的积极性,较强烈的参与性的重要手 段) 生 10:(突然小声地说)如果直线的倾斜角是锐角呢? P (冷不妨学生 10 提出这样的问题,大家稍愣了一下。马上 意识到有必要研究这个问题。片刻) ( 还是)生 9:没问题!如果倾斜角是锐角,则∠P 和它相 H 等!如图 B 其他同学都如有所思地齐说:对,对。 师:这是我们探讨出的第四种方法,它利用了三角函数 的相关知识,既用形又用数,把数和形完美的结合起来! 简化了问题。 (板书:(4)构造三角形,利用三角函数,通过∣PH∣=∣PB∣∣COSθ ∣) (设计意图:数形结合思想是中学数学重要的思想方法。老师应该适时地强调。) 生 11:老师,我没有用形仅用数也可以求解!你看,如果在直线上任选一点 M(x,y),则因为点 M 在直线上,
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所以 y ? ?

A C x ? ? ? 3 x ? 1, B B

则∣PM∣= ( x ? 3) 2 ? (? 3 x ? 1 ? 4) 2 ,然后,求这个函数的最小值就行了。 师:噢!原来转化为函数求最小值的问题了。那函数的定义域是什么? (设计意图:解数学应用题时,从中抽象出数学模型,如果是函数问题时,学 生很易忽视定义域,即自变量的取值限制。因而,虽然此处函数的定义域是全体 实数,所以仍作了强调。) 生 11(愣了一下):全体实数,因为被开方数是恒大于等于零的。 师(稍激动):点到直线的距离,实质上是点到直线上所有点中距离最小的点 所对应的值!学生 11 恰好利用了这个最小值的性质。好样的! (板书:(5)构造函数,利用函数最小值) (掌声又响起) (设计意图:数学的抽象性可通过函数窥见一斑,能把定点和垂足间的距离与 定点和直线上其它点的距离联系起来,可见学生的思维开始深刻起来。老师应该 及时地诠释给其他同学听并给与生 11 鼓励和肯定。) 生 12:我受学生 11 的启发,又有一种方法:因为给一个距离所在的值就会有 直线上的两个点和这个值相对应,当且仅当这个值是最小的时候仅有一个点和其 对应。所以可以利用这种唯一性解题。令∣PM∣=d= ( x ? 3) 2 ? (? 3 x ? 1 ? 4) 2 ,则 d2= ( x ? 3)2 ? ( 3x ? 5)2 ? 4x2 ? (6 ?10 3) x ? 34 即 4x2 ? (6 ?10 3) x ? 34 ? d 2 ? 0 然后利用该方程的判别式△=0 即可求解 d 值。 师(很激动):太棒了!把函数问题转化为方程问题。在全体实数上的二次 方程有两等根即一解时,正好是它的判别式为零时。学生 12 在学生 11 的方法的 基础上,再接再厉,进行了更深层次的思考,展示了函数和方程之间的联系。学 生 12 向我们展示了数学思维的深刻性。他的继续探求的行为和习惯值得我们学 习。他的探究能力也让我们佩服! (板书:(6)构造方程,利用方程的判别式为零) (热烈的掌声响起) (设计意图: 教师应该抓住一切适当的机会对学 生进行学习习惯的培养,良好品质的培养,同时, 通过对学生的表扬, 调动其他学生的主动性和积极 性。) 生 13:我还有一种方法,和前面的都不一样! 我使用了向量的相关知识。 我们知道, 向量的数量 ??? ? ? ? 积的几何意义: 如图,b ?e ? b cos ? =d (θ 为 b,e 的夹角)
???? ? 因而,欲求点到直线的距离,只需在直线上任选一点 M,得到 PM , 再选取直线

? ???? ? ? 的法向量 n ,利用 PM 在 n 上的投影的绝对值,即
5

????? ?? ????? ?? PM ?n ???? ? ???? ? ? ???? ? PM ?n d ? PM COS PM , n ? PM ???? ? ? ? ? PM n n

便可求解

(又响起一阵热烈的掌声) 师:(很激动)我发现咱们班藏龙卧虎啊!比较前面的各种方法,此种方法 最抽象,但计算最简单。好,我们就按照学生 13 的方法去求点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0(A≠0 且 B≠0)的距离。我请一位同学在黑板上展示推导过程。其它 同学自己动手也来推导一下。 (预案 2 ) (设计意图:数学具有很强的逻辑性,动脑动手必须相结合。在黑板上一步 一步展示知识产生的过程是必要的。同时,也给学生留有思考理解的空间。) (板书:(7)构造向量,利用向量) C (学生板书:首先,在直线上任取一点,不妨取直线和 Y 轴的交点 M( 0, ? ) B ???? ? ? C B 则 PM ? ? x0 , y0 ? (? )) , 又直线的法向量 n (1, ) B A ????? ?? ????? ?? PM ?n ???? ? ???? ? ? ???? ? PM ?n ∴ d ? PM COS PM , n ? PM ???? ? ? ? ? PM n n

=

x0 ?

B C ( y0 ? ) Ax ? By ? C 0 0 A B = ) 2 2 2 A ? B B ? ? 1? ? ? ? A?

师:我们得到一个具有一般性的结论。但由于推导公式的过程中 A≠0 且 B≠ 0,那么,如果,A=0 或 B=0 时,我们推导出的公式还能用吗? (设计意图:对于一般性的结论,我们总是希望它的适用范围越广越好。这也 正是数学高度概括性的体现。同时,对 A=0 或 B=0 情况的补充体现了数学思维的 严密性。) C 生 14:我们可以来验证一下。如果 A=0,则直线方程为 y= ? x ,点 P(x0,y0) B C C C 到直线 y= ? x 的距离 d=︱y0 ? x ︱;如代入公式也得到 d=︱y0 ? x ︱。所以当 B B B A=0 时公式适用;同理,当 B=0 时,公式仍然适用。 师:回答得非常正确!到此,我们使用学生 12 的方法推导出 d=

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

的公式,学生 14 对其进行了完善。好,现在,让我们来观察这个千呼万唤使出来 的公式,它有什么特点? (设计意图:把知识进行必要的形式化是必不可少的,使知识便与存储记忆。但 要适可而止。因为,过度的形式化会加重学生的负担。) 生 15:公式的分子是点 P 的坐标代入直线方程左侧的绝对值;分母是直线方 程中 x,y 前的系数的平方和的算术根。

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师:好,现在让我们来享受一下我们的劳动成果。大家动手来解决台风问题, 看谁最先告诉台北人民答案,台北人民快等急了。 (设计意图:用探讨出来的知识解决问题,呼应数学指导生活,感受数学的作 用) (片刻) 生 16:我计算出台北市到台风路线所在直线的距离约为 4,台风波及区域的 半径为 5,因而台北人民需要做台风来临前的准备工作! 师:回答正确!我替台北人民谢谢你。请同学们完成以下练习,一二两组同 学做前三题,三四两组做后三题,赛赛看,看哪一组计算得又快又准确。 (设计意图:通过适当的练习及时巩固新知识,深化对知识的理解。分组比赛 可使课堂效果活跃。) (多媒体显示) 例:求下列点到直线的距离 P(-1,2)到直线 2x+y-10=0 的距离。 P(2,-3)到直线 x+2y+4= 0 的距离。 P(-1,1)到直线 3x= 2 的距离。 P(-2,3)到 3x+4y+3=0 的距离。 P(3,3)到 5x+12y+1=0 的距离。 P(-2,3)到 2x+y-10=0 的距离。 (师 巡视) 每个小组选一名代表报答案。 (设计意图:及时点评,修正。便于发现问题,解决问题) (预案 3) 师:现在哪位同学来总结一下我们本节课的内容? 生 17:本节课,我们明确了点到直线的距离的定义,重点探讨了点到直线的 距离的求解方法,共 7 种方法。并用向量法推导出点到直线的距离公式。 师:你的总结具有高度概括性,简明扼要。我想,关于 7 种方法,大家可以 再回忆一下,有和平面几何有关的,有和函数有关的,有和三角函数有关的,有 和向量有关的,有和方程有关的。这一个简单的问题能把这么多知识联系在一起, 这恰好体现了解析几何学的魅力。用代数的方法研究几何,把数和形联系起来, 从而使我们的思维豁然开朗。同学们的各抒己见正是数学思维的开阔性,多角度, 多方位性的展现。数学美,作为四大美学之一,美在数学带给人们的思维艺术。 这节课,同学们的共同努力淋漓尽致地演绎了数学体现在思维艺术上的美。另外, 也许你只能想出一种或两种解决问题的方法,但我们相互交流,共同探讨,却找 到这么多种方法,这充分体现交流的益处——取他人之长,补自己之短。开拓视 野,点燃思维碰撞的火花。本节课我们就学习到这儿,下面是我们的作业和大家 需提前思考的问题。下课! (多媒体显示) 一. 复习巩固 求下列点到直线的距离 P(-1,2)到直线2x+y—10=0的距离 P(2,-3)到直线x+2y+4= 0的距离 P(-1,1)到直线3x= 2的距离 二. 动手动脑 挑战自我
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(1)求平行直线 2x-7y+8=0 和 2x-7y-6=0 的距离。 (2)两平行直线分别过 A(1,0)与 B(0,5).如两直线的距离为 5,求两直线的方程. (3)求过(3,1)的直线中,与原点距离最远的直线方程. (4)解析法证明:等腰三角形底边延长线上一点到两腰的距离差等于一腰的高 。 (5)已知点 P(a.0)到直线3x+4y-6=0 的距离大于3,求实数 a 的取值范围. (6)求两直线 x+y-2=0,7x-y+4=0 所形成的角平分线的方程. (设计意图:作业起到巩固作用;第二题是下节课需 探讨的 问题,提前给出是想给学生充分的时间思考)

注:同化是指把外部环境中的有关信息吸收进来并结合到已有的认知结构中,即 个体把外界刺激所提供的信息整合到自己原有认知结构内的过程;顺应是指外部 环境发生变化,而原有认知结构无法同化新环境提供的信息时所引起的认知结构 发生重组与改造的过程,即个体的认知结构因外部刺激的影响而发生改变的过程。

预案 1: 如果学生想不到作平行线,则师可提供左图: 如果点在原点,直线如图所示,你可以怎样求点到直 线的距离?(这个图,可以启发学生去构造三角形, 或者启发学生去平移点和直线。) 预案 2: 如果学生联想不到向量,便带领学生用三角函数∣PH ∣=∣PB∣|COSθ ∣推导公式。 预案 3: 如果时间充裕,可把以下铺路问题作为例题补充,也可第二节课在做讲解。 如果仓库和铁路之间存在图中数据关系,请你求 出仓库到铁路的公路长。(单位:千米) 15 解:如图,建立坐标系,设仓库所在位置为点 P,铁路所 在直线为 12 则易知 P(0,12), 直线经过点(10,0)和(15,12) 直线方程为 12x-5y-120=0 根据点到直线的距离公式得

10

d?

12 ? 0 ? 12 ? 5 ? 120 122 ? 52

180 ? 13

(15, 12) 12 10

(此例是为了让学生用熟悉解析的方法解决问题的步骤)

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