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2015全国高中数学联赛预赛模拟题6


2015 全国高中数学联赛预赛模拟题 6
x x 1.方程 9 ? 1 ? 3 ? 5 的实数解为

. .

解:x<0 无解; 当 x ? 0 时,原方程变形为 32x+3x-6=0,解得 3x=2,x=log32. 2.函数 y ? sin x ? cos x ( x ? R ) 的单调减区间是 解:与 f(x)=y2=1+

|sin2x|的单调减区间相同, [

k? ? k? ? ? , ? ], k ? Z. 2 4 2 2
.

3. 在△ ABC 中, 已知 AB ? AC ? 4 ,AB ? BC ? ?12 , 则 AB = 解: AB ? AC ? AB ? BC ? AB ? 16 ,得 AB ? 4 . 4.函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ?? x ? 1? 在区间 ? 0, 2? 上的最大值是
2

2

,最小值是



解:极小值-4,端点函数值 f(2)=0,f(0)=-2,最小值-4,最大值 0. 5.在直角坐标系 xOy 中,已知圆心在原点 O 、半径为 R 的圆与△ ABC 的边有公共点, 其中 A ? ? 4,0? 、 则 R 的取值范围为 B ? ? 6,8? 、 C ? ? 2, 4? , 8 5 解:画图观察,R 最小时圆与直线段 AC 相切,R 最大时圆过点 B.[ ,10]. 5 .

6.设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若 f ? x ? 1? 与 f ? x ?1? 都是关于 x 的奇函数,则函数

y ? f ? x ? 在区间 ?0,100? 上至少有

个零点.

解:f(2k-1)=0,k∈Z. 又可作一个函数 f ? x ? 满足问题中的条件,且 f ? x ? 的 一个零点恰为 x ? 2k ? 1 ,k∈Z. 所以至少有 50 个零点. 7.从正方体的 12 条棱和 12 条面对角线中选出 n 条,使得其中任意 两条线段所在的直线都是异面直线,则 n 的最大值为 . 解:不能有公共端点,最多 4 条,图上知 4 条可以.

8.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各 一盘,已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互 独立。用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 解: ? 取的可能结果为 0,1,2,3,则

? 0) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 =0.1; ? 1) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 + 0.4 ? 0.5 ? 0.5 + 0.4 ? 0.5 ? 0.5 =0.35; ? 2) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 2 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 =0.4; ? 3) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 =0.15. 所以 ? 的分布列为 1 2 3 ? 0
P 0.1 0.35 0.4 0.15 数学期望 E? =0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.
1

P(? P(? P(? P(?

9. 在三棱锥 A ? BCD 中, ?ACB ? ?CBD , ?ACD ? ?ADC ? ?BCD ? ?BDC ? ? , 且 cos ? ?

10 .已知棱 AB 的长为 6 2 ,则此棱锥的体积为 10



解:4 面为全等的等腰三角形,由体积公式可求得三棱锥的体积为 144 . 10.设复数列 ?xn ? 满足 xn ? a ?1 , 0 ,且 xn ?1 ? 则 a ? a ? 1 的值是
2

a xn .若对任意 n ?N* 都有 xn?3 ? xn , xn ? 1


2

解:由 xn ?1 ?

2 2 恒成立,即 a ? a ? 1 xn ? xn ? 1 ? a ? ? 0 . 因为 xn ? a ?1 或 0 ,故 a ? a ? 1 ? 0 .

?

a 3 xn a xn a xn ? 2 a xn?1 ? xn , xn ?3 ? ? ? 2 xn ? 1 xn ? 2 ? 1 ? a ? 1? xn?1 ? 1 ? a ? a ? 1? xn ? 1

?

11. 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 A 、 B 、 M 是 椭 圆 C :

x2 ? y2 ? 1 上 的 三 点 . 若 4

3 4 x2 OM ? OA ? OB ,证明:线段 AB 的中点在椭圆 ? 2 y 2 ? 1 上. 5 5 2
解:设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x12 x22 +y12=1, +y22=1. 4 4 3 4 3 4 3 4 由 OM ? OA ? OB ,得 M( x1+ x2, y1+ y2). 5 5 5 5 5 5 3 4 ( x1+ x2)2 5 5 3 4 因为 M 是椭圆 C 上一点,所以 +( y1+ y2)2=1, 4 5 5 x12 x22 3 4 x1x2 2 3 2 2 4 2 即 ( +y1 )( ) +( +y2 )( ) +2( )( )( +y1y2)=1, 4 5 4 5 5 5 4 3 4 3 4 x1x2 x1x2 得 ( )2+( )2+2( )( )( +y1y2)=1,故 +y1y2=0. 5 5 5 5 4 4 x1+x2 y1+y2 又线段 AB 的中点的坐标为 ( , ), 2 2 x1+x2 2 ( ) 2 y1+y2 2 1 x12 1 x22 x1x2 所以 +2( ) = ( +y12)+ ( +y22)+ +y1y2=1, 2 2 2 4 2 4 4 x1+x2 y1+y2 x2 从而线段 AB 的中点( , )在椭圆 +2y2=1 上. 2 2 2

12.已知整数列 ?an ? 满足 a3 ? ?1 , a7 ? 4 ,前 6 项依次成等差数列,从第 5 项起依次 成等比数列. (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 求出所有的正整数 m ,使得 am ? am?1 ? am?2 ? am am?1am?2 . 解:(1) 设数列前 6 项的公差为 d,则 a5=-1+2d,a6=-1+3d,d 为整数. 又 a5,a6,a7 成等比数列,所以(3d-1)2=4(2d-1), 即 9d2-14d+5=0,得 d =1. 当 n≤6 时,an =n-4,
2

(2) 由(1)知,数列 ?an ? 为:-3,-2,-1,0,1,2,4,8,16,… 当 m=1 时等式成立,即 -3-2-1=―6=(-3)(-2)(-1); 当 m=3 时等式成立,即 -1+0+1=0; 当 m=2、4 时等式不成立; 3 当 m≥5 时,amam+1am+2 =23m-12, am +am+1+am+2=2m-5(2 -1)=7×2m-5, 7×2m-5≠23m-12, 所以 am +am+1+am+2≠amam+1am+2 . 故所求 m= 1,或 m=3. 13. 如图,圆内接五边形 ABCDE 中, AD 是外接圆的直径, BE ? AD ,垂足 H . 过 点 H 作平行于 CE 的直线,与直线 AC 、 DC 分别交于点 F 、 G . 证明: (1) 点 A 、 B 、 F 、 H 共圆; (2) 四边形 BFCG 是矩形. 证明:(1) 由 HG∥CE,得∠BHF=∠BEC, E 又同弧的圆周角 ∠BAF=∠BEC, ∴ ∠BAF=∠BHF, ∴ 点 A、B、F、H 共圆; H A D (2) 由(1)的结论,得 ∠BHA=∠BFA, F ∵ BE⊥AD, ∴ BF⊥AC, 又 AD 是圆的直径,∴ CG⊥AC, C 由 A、B、C、D 共圆及 A、B、F、H 共圆, B ∴∠BFG =∠DAB =∠BCG, ∴ B、G、C、F 共圆. G ∴ ∠BGC=∠AFB=900, ∴ BG⊥GC, ∴ 所以四边形 BFCG 是矩形. 14.求所有正整数 x , y ,使得 x ? 3 y 与 y ? 3x 都是完全平方数.
2 2

由此 a5=1,a6=2,数列从第 5 项起构成的等比数列的公比为 2, 所以,当 n≥5 时,an =2n-5. ? ?n-4,n≤4, 故 an =? n-5 ?2 , n≥5. ?

解:若 x=y,则 x2+3x 是完全平方数. ∵ x2<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2, ∴ x2+3x= (x+1)2,∴ x=y =1. 若 x>y,则 x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4= (x+2)2. ∵ x2+3y 是完全平方数, ∴ x2+3y= (x+1)2,得 3y = 2x+1,由此可知 y 是奇数,设 y = 2k+1,则 x=3k+1,k 是正 整数. 又 y2+3x= 4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4 是完全平方数,且 (2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16= (2k+4)2, ∴ y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2, 得 k=5,从而求得 x=16,y=11. 若 x<y,同 x>y 情形可求得 x=11,y=16. 综上所述,(x,y)= (1,1), (11,16), (16,11).
3

15. 已知函数 f ( x) ? ln x ? kx ? 1 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:

? i ?1 ?
i ?2

n

ln i

n(n ? 1) (n ? N * , n ? 1). 4
1 ?k x

解:(I)函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? 当 k ? 0 时, f ?( x) ?

1 ? k ? 0 ,则 f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数 x 1 1 1 1 x) ? ?k ? 0 ; ?) , x) ? ?k ? 0 当 k ? 0 时, 若 x ? (0, ) , 则 f ?( 若 x?( ,? 则 f ?( k x k x 1 1 所以 f ( x ) 在 (0, ) 上是增函数,在 ( , ??) 上是减函数. k k (II)由(I)知, k ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数, 而 f (1) ? 1 ? k ? 0 , f ( x) ? 0 不成立,故 k ? 0 1 当 k ? 0 时,由(I)知, f ( x ) 的最大值为 f ( ) k 1 要使 f ( x) ? 0 恒成立,则只需 f ( ) ? 0 即可. k 故 ? ln k ? 0 ,解得 k ? 1 . (III)由(II)知,当 k ? 1 时,有 f ( x) ? 0 在 (0, ??) 恒成立,且 f ( x ) 在 (1, ??) 上是 减函数, f (1) ? 0 所以 ln x ? x ? 1 在 x ?[2, ??) 上恒成立. ln n n ? 1 2 2 2 ? 令 x ? n ,则 ln n ? n ? 1,即 2ln n ? (n ? 1)(n ? 1) ,从而 n ?1 2 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 . 3 4 5 n ?1 2 2 2 2 4

4


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