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厦门外国语学校2017届高三适应性考试 理科数学试题答案


厦门外国语学校 2017 届高三适应性考试 理科数学试题
1-12 AABAD DAACB CB

13. a ? b

14.3 16. S ? 1

17.解:(1)?

a sin A ? b sin B ? c sin C 2 3 a 2 ? b2 ? c 2 3 ? a,? cos C ? ? sin C ,即 sin B sin C 3 2ab 3

tan C ? 3,? C ?

?
3

.

(2) 由 三 角 形 中 线 长 定 理 得 : 2 ? a2 ? b2 ? ? 22 ? c2 ? 4 ? c2 , 由 三 角 形 余 弦 定 理 得 :
2 2 c2 ? a2 ? b2 ? ab ,消去 c2 得: 4 ? ab ? a ? b ? 2ab, ab ?

41 (当且仅当 a ? b 时,等号 3

成立),即 S?ABC ?

1 1 4 3 3 ab sin C ? ? ? ? 2 2 3 2 3
1 . 10
…………2

18【解析】(Ⅰ)由已知,甲获第一名且乙获第三名的概率为

即甲胜乙、甲胜丙且丙胜乙概率为 分 ∴ ? 分

1 , 10

3 1 1 1 ? (1 ? p) ? , ∴ p ? . 5 4 10 3 3 2 ,丙胜乙的概率为 4 3

…………6

(Ⅱ)依题意丙得分 X 可以为 0, 3, 6 ,丙胜甲的概率为 分

…………7

1 1 1 3 1 1 2 5 P( X ? 0) ? ? ? , P( X ? 3) ? ? ? ? ? , 4 3 12 4 3 4 3 12 3 2 6 P( X ? 6) ? ? ? …………10 分 4 3 12
P
X


0

3

6

1 12

5 12

6 12

1

厦门外国语学校 2017 届高三适应性考试 理科数学试题
E( X ) ? 0 ? 1 5 6 17 ? 3? ? 6 ? ? . 12 12 12 4
1 AB ? BF . 2
…………12 分

19.解:(Ⅰ)取 AB 中点 F ,连接 DF ,因为 AB//CD, AD ?

所以四边形 BCDF 为平行四边形, DF ? CB, ··············· 2 分 依题意, ?ADF 为正三角形, AD ? BD. ·················· 3 分 因为平面 BFED⊥平面 ABCD, 平面 BFED ? 平面 ABCD ? DB ,
AD ? DB, AD ? 平面 ABCD ,所以 AD ? 平面 BFED. ············ 5 分

又 AD ? 平面 ADE, ∴平面 ADE ? 平面 BFED ; ·············· 6 分 (Ⅱ)因为四边形 BFED 为矩形,所以 ED⊥DB, 如图建立空间直角坐标系 D-xyz. 设 AD=1,则 A(1 , 0, 0), B(0,3, 0), P(0, t,1)(0 ? t ? 3), ············· 7 分 ??? ? ??? ? ?? AP ? (?1, t ,1), AB ? (?1, 3,0) ,设 m ? ( x, y, z ) 是平面 PAB 的 z 法向量,则
E P F C D x A F B y

? ?? x ? ty ? z ? 0, ?? 取 m ? ( 3,1, ?t ? 3). ··· 9 分 ? ? ? ? x ? 3 y ? 0.
? 又平面 ADE 的一个法向量为 n ? (0,1,0). ·· 10 分
cos? ? 1

1 ? ? ? ,? ? [0, ),?min ? .·············· 12 分 2 2 3 3 ? 1 ? (t ? 3)
2

20.解:(1)当线段 AF1 的中点在 y 轴上时, AC 垂直于 x 轴, ?AF1F2 为直角三角形, 因为 cos ?F1 AF2 ?

1 b2 ,所以 AF ,由椭圆的定义可得 1 ? 3 AF 2 ,易知 AF2 ? 3 a

AF1 ? AF2 ? 2a ,
则 4?

b2 2 2 2 2 c 2 ; ? 2a ,即 a ? 2b ? 2 ? a ? c ? ;即 a 2 ? 2c 2 ,即有 e ? ? a a 2

(2)由(1)得椭圆方程为 x2 ? 2 y 2 ? 2b2 ,焦点坐标为 F 1 ? ?b,0? , F 2 ? b,0? , ①当 AB, AC 的斜率都存在时,设 A? x0 , y0 ? , B ? x1, y1 ? , C ? x2 , y2 ? , 则直线 AC 的方程为 y ?

y0 ? x ? b ? ,代入椭圆方程得: x0 ? b
2

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2 ? 2bx0 ? y 2 ? 2by0 ? x0 ? b ? y ? b 2 y0 ? 0, ???? ? 2 AF2 b2 y0 y 3b ? 2 x0 3b ? 2 x0 ? ? 0 ? 可得 y0 y1 ? ? 2 ,又 ?2 ? ???? ,同理 ?1 ? ,可得 b 3b ? 2bx0 b F2C ? y2 2

? 3b

?1 ? ?2 ? 6 ;
②若 AC ? x 轴,则 ?2 ? 1 , ?1 ?

3b ? 2b ? 5 ,这时 ?1 ? ?2 ? 6 ; b

若 AB ? x 轴,则 ?1 ? 1, ?2 ? 5 ,这时也有 ?1 ? ?2 ? 6 ; 综上所述, ?1 ? ?2 是定值 6. 21.解:(Ⅰ) f ? ? x ? ? ae ? ?1 ? ln x ? , f ? x ? 是 ? 0, ??? 上的增函数等价于 f ? ? x ? ? 0 恒
x

成立. 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 a ? 求导得 g ? ? x ? ? e 令 h ? x? ?
?x

1 ? ln x 1 ? ln x ,令 g ? x ? ? ( x ? 0 ).以下只需求 g ? x ? 的最大值. x e ex

?1 ? ? ? 1 ? ln x ? , ?x ?

1 1 1 ? 1 ? ln x , h? ? x ? ? ? 2 ? ? 0 , h ? x ? 是 ? 0, ??? 上的减函数, x x x

又 h ?1? ? 0 ,故 1 是 h ? x ? 的唯一零点, 当 x ? ? 0,1? ,h ? x ? ? 0 ,g? ? x ? ? 0 ,g ? x ? 递增; 当 x ? ?1, ?? ? ,h ? x ? ? 0 ,g? ? x ? ? 0 ,

g ? x ? 递减;
故当 x ? 1 时, g ? x ? 取得极大值且为最大值 g ?1? ? 所以 a ?

1 , e

1 ?1 ? ,即 a 的取值范围是 ? , ?? ? . e ?e ?
ae x ? ln x ? 0 . x

(Ⅱ) f ? x ? ? 0 ?

令 F ? x? ?

2 ae x ? ln x ( x ? 0 ),以下证明当 a ? 2 时, F ? x ? 的最小值大于 0. e x

3

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a ? x ? 1? e x 1 1 a ? x ? 1? e x ? x ? 求导得 F ? ? x ? ? ? ? 2? ? ?. 2 x x x
①当 0 ? x ? 1 时, F ? ? x ? ? 0 , F ? x ? ? F ?1? ? ae ? 0 ; ②当 x ? 1 时, F ? ? x ? ?
x 则 G? ? x ? ? e ?

x x ? a ? x ? 1? ? x x , ?e ? ? ,令 G ? x ? ? e ? 2 a ? x ? 1? a ? x ? 1? ? x ?
2

2 ? 0 ,又 G ? 2 ? ? e 2 ? 2 ? ae ? 2 ? 0 , a ? x ? 1? a a 2 m m ? e2 ,即 1 ? m ? ae ,则 G ? m ? ? em ? a ? m ? 1? a ? m ? 1? ae2 ? 1

1

取 m ? ?1,2? 且使

? e2 ? e2 ? 0 ,
因为 G ? m? G ? 2? ? 0 ,故 G ? x ? 存在唯一零点 x0 ? ?1, 2? ,

ae x0 ? ln x0 , 即 F ? x ? 有唯一的极值点且为极小值点 x0 ? ?1, 2? ,又 F ? x0 ? ? x0
0 且 G ? x0 ? ? e ?

x

x0 x0 1 ? 0 ,即 e x0 ? ? ln x0 , ,故 F ? x0 ? ? a ? x0 ? 1? a ? x0 ? 1? x0 ? 1

因为 F ? ? x0 ? ? ?

1

? x0 ?1?

2

?

1 ? 0 ,故 F ? x0 ? 是 ?1, 2 ? 上的减函数. x0

所以 F ? x0 ? ? F ? 2? ? 1 ? ln 2 ? 0 ,所以 F ? x ? ? 0 . 综上,当 a ?

2 时,总有 f ? x ? ? 0 . e2
? ?

22.解: (Ⅰ)? ? 8cos ? ? ?

??

? ?? ? (2 分) ? =8 ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? 4cos ? ? 4 3 sin ? , 3? ? 3 3?
(4 分) (5 分) (7 分) (8 分)
4

? 2 ? 4? cos? ? 4 3? sin ? ,即 x2 ? y2 ? 4x ? 4 3 y .
即 ? x ? 2? ? y ? 2 3
2

?

?

2

? 16 ①,故曲线 C2 是圆.

(Ⅱ)将曲线 C1 的参数方程代入①,化简得 t 2 ? 2 3t sin ? ?13 ? 0 .

AB = t1 ? t2 ? 12sin 2 ? ? 52 ? 2 3sin 2 ? ? 13 ,

厦门外国语学校 2017 届高三适应性考试 理科数学试题
当 sin 2 ? ? 1 时, AB 取得最大值 8 ;当 sin 2 ? ? 0 时, AB 取得最小值 2 13 . (10 分)

23.解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? g ? x ? ,得 x ? 1 ? 2 x , 两边平方,并整理得 ? 3x ? 1??1 ? x ? ? 0 , 所以不等式的解集为 ? x | ? (Ⅱ)法一: 由 f ? x ? ? g ? x ? ,得 x ? 1 ? 2 x ? a ,即 x ?1 ? 2 x ? a . 令 F ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ,依题意可得 F ? x ?max ? a .

(1 分) (2 分) (4 分)

? ?

1 ? ? x ? 1? . 3 ?

(5 分) (6 分) (8 分)

F ? x ? ? x ?1 ? x ? x ? x ? 1? x ? x ? 1? x ? 1 ,

当且仅当 x ? 0 时,上述不等式的等号同时成立,所以 F ? x ?max ? 1 .(9 分)

(? ?,1]. 所以 a 的取值范围是
法二: 由 f ? x ? ? g ? x ? ,得 x ? 1 ? 2 x ? a ,即 x ?1 ? 2 x ? a . 令 F ? x ? ? x ? 1 ? 2 x ,依题意可得 F ? x ?max ? a .

(10 分)

(5 分) (6 分)

?1 ? x x ? 0 ? F ? x ? ? x ? 1 ? 2 x = ?3x ? 1 ? 1 ? x ? 0 , ? x ? 1 x ? ?1 ?
易得 F ? x ? 在 ? ??,0? 上单调递增,在 ? 0, ??? 上单调递减, 所以当 x ? 0 时, F ? x ? 取得最大值 1 .

(7 分)

(9 分) (10 分)

(? ?,1]. 故 a 的取值范围是

5


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