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一道数学竞赛解析几何试题的探究及推广


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数 学通 讯 — — 2 0 l 3年 第 l 、 2期 ( 上半月)  

?专论 荟 萃 ?  



道数 学竞赛解析几何试 题的探究及推广 
赵文耀  
( 湖北省汉川市第一高级中学 , 4 3 1 6 0 0 )  

圆锥 曲 线 是

高 中数 学 的重 要 内容 , 在 高考 中 



妻 l   P   t 。 t  l ?  ̄ / ( 1 +t { ) ( 1 +t ; )  

作 为高频 考点 所 占 的分 值 也 较 大 , 同 时 也 是考 查 
学生计算 能力 重 要 题 型 . 圆锥 曲 线 在 各 层 次 的 竞 
赛 和各 高校 的 自主 招 生 也 作 为 重 点 知 识 考查 , 由  于这部 分 内容 对 学 生 的计 算 能 力 要 求 较 高 , 学 生 


等.   干蕊

≥   p Z .   一P z ,  

当且仅 当 J   t  j —J   t 。l 一 1时 等号成 立.   所以, △E MN 的面 积的最 小值 为 P   .  

因为计 算失分 也 较 多 , 因此 选 择 恰 当 的解 法 可 以 
大大地 简化 解题 过程.  

笔者认 为 , 如果 利 用 直线 参 数 方 程 的几 何 意  义解 答计算 这道题 , 过程 较为 简洁.   经过 点 P( x 。 , Y 。 ) , 倾斜 角为 a 的直 线 z 的参数 

下 面笔 者对 2 0 1 2 年全 国高 中数学联 赛湖北 省  预赛 试题 高二年 级第 l 1 题第 一小 问进行 解法 的探 
究及 推广 .  

方 程 为 { 【   z 一  _   o .  ’   为 参 数 .  
— Y o十 t s l n a,  

原题  已知点 E( m, n ) 为抛 物线 Y   =2 p x( p   >O ) 内一定点 , 过 点 E作斜率 分别 为k   , k 。 的两条 
直 线交抛 物线 于 A, B, C, D, 且 M, N 分 别是 AB,  
C D 的 中点 .  

直线 z 的参 数方 程 中, 参数 t 的几何 意义 是 :  
I   t   l 表示参 数 t 对 应 的点M 到定 点 P的距离 , 当向 
量  与 向量 e 一( c o s a , s i n 口 ) 同 向时 , t 取正 数 ; 当 

( 1 )当  一 0 且k  ? k 2 一一1时 , 求 △E MN 的  面积 的最小 值.  

向量 

与 向量 e 一( c o s a , s i n   ) 反 向时 , t 取 负数 .  

另 解  ( 1 )设 直 线 A B 的 参 数 方 程 为 

( 2 )若 k   +忌  一 (  ≠ 0 ,  为常数) , 证明: 直 
线 MN 过定点 .  

{ z — m "  ̄ -


t C OS a

£ 为参 数, 代入 抛 物线 方程 , 整 

I  

Y 

t s l na,  

原参 考答案 : AB所 在直线 的方程 为 z— t   ( . ) ,  


理得 
t 。 s i n   a一 2 p t C O S f一 2 pm 一 0.  

n ) + m, 其中 t 1= = = _ 1, 代入 Y  一 2 p x中, 得 


cosa 所 以t A +£ B一 — 2 p
下 S1 n 


2 pm
“£ B一 一 


2 p t 1 Y+ 2 p t 1 n一 2 p m 一 0 .  

SI n a 

所 以线 

设 A( x l , Y 1 ) , B( x 2 , Y 2 ) , 则 有 1 +y 2 =2 p t 1 ,   从而 z l +  2 一t 1 (  1 +y 2 —2 n ) +2 m= : = t 1 ( 2 p t l 一 

段 A B 的 中点对应 的参数  M一 
厶 

一可 p c o s a
SI I l   a 

. 

2 n ) +2 m, 则 M( p t } 一n t 1 + m, p t 1 ) .  

由于直线 A B 与 直线 C D 垂直, 所 以 直线 A B   与直线 C D 的倾斜角 的差 为% -   - , 同理 可得 线 段 C D  
2 pc o s ( a+  )  

C D 所 在直线 的方 程为 z— t 。 (  ~  ) + m, 其 
中 t z 一  1
. 

同理可 得 N( p t ; 一n t   2 十 m, p t : ) .  

的 中点 对 应 的 参 数 £ _ v一 ——————_ = 一, 所 以 

( 1 )当   一 0时 , E( m, O ) , M( p t {+ m, p t   ) ,  

s i n   (  号 )  
s △ ~ 一  1  
  l

N( p t ; +m, p t   2 ) , l   E M  1 = = =   l


l  ̄ / 1 +t   , 1   E N  l  

I =1  p 2   s   i n a c o s a  I   1 . 1 £ w 
l ≥p 。 ,  

l   。 1  ̄ / 1 +t   .  


又 k 1 ? k 2 一一 1 , 故t l ? t 2 一一 1 , 于是 △E MN 
的 面 积 

当 且 仅 当』 s i n 2 a   J 一 1 即   一 手或  时 取 等  
  l E M  1 . I   E N  I  
号 .  

S: = =  

?

专论荟萃 ?  

数 学通 讯 — — 2 O 1 3年 第 1 、 2期 ( 上半月)  
a   b   一 0.  

7 5  

所以, / X E MN 的面 积的最 小值 为 P。 .   探 究推 广 1   已知点 E( m, 0 )为抛物 线 Y  一 

所以   +   一  
bm i n
Z Z

si n   

C0S

,  

e 一  

2 p x(  > O )内一定 点 , 过 点 E作斜 率分 别为 k 。 , k z  
的两条 直 线 交 抛 物 线 于 A, B, C, D, 如果 k  ?k  
一 一

口 

口十 D  

a  



_

a   Z   b  ̄ 2  
_ _ _ .

所以 £ M一 一  


b 2   m  c   o   s  ̄  
. 

:  

1 , 求 四边形 AC BD 的面积 的最小 值.   解  设 直 线 A B 的 参 数 方 程 为 

+6



同理 可得 £  一一  —  b z   m   s i n   a
a  一   c 0S   一 d十 0  S - 1 n  ?   。   一 a  

{ z — m + .   o s   £ 为 参 数 , 代 人 抛 物 线 方 程 整 理 得  
【   Y = = =t sl na’  

又 因为直线 A B 与 直线 C D垂直 , 所以  

t   s i n 。 口一 2 pt c o s a一 2 pr n 一 0.  

s △ 删   一 丢  ? N E =   1   I   £ M   I  
呈  , 则  
si n  a 
.  

所 以  + £ B一 丁 2 pc o s a,  
si n 

b   m0   s i n 2 a  

£ B 一 一

一 I  

,     I

l   t A —t B   I —J ( a+t B )   一4 t A t B  
一  

: !   ±墨  
s i n   口   。  

同 理 可 得 

如 果 

>1 , 那么, 当 I   s i n 2  I 一1 时,  

  I t c —t D   l —d ( t c +t D )   一4 t c t D  
一  

AE MN 的面 积最大 , 最大 值 为  如 果 

;  

±墨   !  
COSz 口  ’  

≤ 1 ,那 么 ,   当  I   s i n 2  l 一 

又 因为 直线 AB与直线 C D 垂直 , 所 以 

S 口 边 形 ^ c B D一 寺A B? c D  



坌 !  

时 , △ E M N的 面 积 最 大 , 最 大 值  
b 。 m 
‘  

÷ I   t A —t B   1 .   1 t c —t D     l




压 : ±  !   : 二   坌 :  +  
s i n Z a C O S   a  

探 究推广 3   已知点 E( m, o )为 双 曲线  一  


。( s i n  C O S   口 ) 。  



 

/ 4 ( p 4 - ] - 4 p .   Z m Z -  ̄ 4 p a e r ) .   +  兰   :   ( s i n 2 a ) ‘   。( s i n 2 a )  

1内一 定点 , 过点 E作 斜 率分别 为 最  , k : 的两 

条 直线 交双 曲线 于 A, B, C, D, 如果 是  ? k :一一 1 ,  
且 M, N 分 别是 AB, C D 的 中点 , 求 △E MN 的面  积的最 小值.  

≥ 4、 / /   +4 p 。 m+4 p 。 m 。 =4 p ( p+2 m ) ,  

当 且 仅 当 J   s i n 2 a 『 一 1 即 a =  或 等时 取 等  
号.  

解  同探究推 广 2的解 法一 样可求 得 
s△~ 一  b 4 m2  
,  

所 以, 四边形 AC B D 的 面积 的最小值 为 4 p ( p  


( 口 。 +6   ) 。 s i n 2 a一 

2 m) .  

探 究 推广 2   已知点 E( m, 0 ) 为椭 圆   x z   T


yz  
 

当s i n 2 a— l 时, △E MN 的 面积最 小 , 最小 值 
6 4 m 

1内一 定 点 , 过 点 E作斜 率分 别 为 k   , 电   的两 条 



‘  

直 线交 椭 圆于 A, B, C, D, 如果 足 。 ? k z 一一1 , 且 M,  

以上 问题 的研究全 部 统 一 到利 用 直线 的参 数  方程求 解 , 借 助直 线 参 数 方 程 的几 何 意义 来 求 一  些与线 段 的长 度有 关 的计 算 问题 , 往 往 能 简 化 计  算过程 , 从 而提高 运算 的准 确性.  
( 收 稿 日期 : 2 0 1 2 —0 7— 2 O )  

N 分 别是 AB, C D 的 中点 , 求 △E MN 的面积 的最  大 值.   解 


设 直 线

AB 的 参 数 方 程 为 


t c o s o t   为参 数 {  — m - J -
I   Y = = :t s l n a,  

代 入椭 圆方程 整理 得 

( n 。 s i n 。 d+ b   C 0 S 2  ̄ t ) t 。+ 2 b 。 7 n t c o s d+ b 。 7 7 /  一 


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