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(衡水金卷)2016届高考数学二轮复习 四十 选修作业专练3 文


衡水万卷作业卷四十文数 选修作业专练
姓名:__________班级:__________考号:__________ 一、选做解答题(本大题共 10 小题,共 100 分) 1.选修 4-4:极坐标与参数方程选讲

已知函数 f ? x ? ? x ? a , 其中a ? 1. (I) 当a=2时,求不等式f ? x ? ? 4 ? x ? 4 的解

集; (II)已知关于x的不等式 f ? 2x ? a ? ? 2 f ? x ? ? 2的解集为?x |1 ? x ? 2?,

?

?

求a的值.

? x ? ? 3 t ? 2, ? 5 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程是 ? ( t 为参数) . ?y ? 4 t 5 ?
(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与 x 轴的交点是 M , N 是曲线 C 上一动点,求 MN 的最大值.

2.选修 4~4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.直线 的参数方程为 (t 为参数),曲线 C1 的方程为 的中点. (1)求点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程; (2)直线 与直线 C2 交于 A,B 两点,若 ,求实数 a 的取值范围 =12,定点 A(6,0),点 P 是曲线 C1 上的动点,Q 为 AP

5.选修4-5:不等式选讲 已知 x, y 均为正数,且 x ? y ,求证: 2 x ?
1 ? 2y ? 3 . x 2 ? 2 xy ? y 2

6.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . 3.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 1| . (I)求 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 有解,求实数 a 的取值范围. (Ⅰ)若不等式 f ( x ) ? 3 的解集为 ? x | ?1 ? x ? 5? ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

4.选修 4-5:不等式选讲
1

7.选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当 a=2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设 a>-1,且当 x ? ê

如图, AB 切 ? O 于点 B ,直线 AO 交 ? O 于 D , E 两点, BC ? DE , 垂足为 C . (I)证明: ?CBD ? ?DBA (II)若 AD ? 3DC, BC ?

轹a 1÷ , ÷时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ê 2 2÷ ? ?

2 ,求 ? O 的直径.

8.选修 4-1:几何证明选讲(2015 新课标 2 高考真题) 如图 O 是等腰三角形 ABC 内一点,圆 O 与△ABC 的底边 BC 交于 M,N 两点,与底边上的高交于点 G,且与 AB,AC 分别相 切于 E,F 两点.

10.(本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ,

? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(I)证明 EF ? BC ; (II)若 AG 等于圆 O 半径,且 AE ? MN ? 2 3 ,求四边形 EBCF 的面积. (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定 D 的坐 标.

9.选修 4-1:几何证明选讲(2015 陕西高考真题)
2

0.衡水万卷作业卷四十文数答案解析 一、选做解答题 1.解: (Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程可化为 ? 2 ? 2? sin ? 又 x2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin ? ,[ 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程化为直角坐标方程,得 y ? ? 4 ( x ? 2) 3 令 y ? 0 ,得 x ? 2 ,即 M 点的坐标为(2,0). 又曲线 C 为圆,圆 C 的圆心坐标为(1,0),半径 r ? 1,则 MC ? 5 所以 MN ≤ MC ? r ? 5 ? 1

当2<x<4时,f ( x) ? 4 ? x ? 4 无解; 当x ? 4时,由f ( x) ? 4 ? x ? 4 得2 x ? 6 ? 4, 解得x ? 5;

所以f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集为 ? x x ? 1或 x ? 5?
??2a, x ? 0, ? (II)记 h( x) ? f (2 x ? a ) ? 2 f ( x), 则h( x) ? ?4 x ? 2a, 0<x<a, ?2a, x ? a. ?

由 h( x) ? 2, 解得
2

2.【答案】(1) ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 4 (2)
2

0?a?

3 4

a ?1 a ?1 ?x? . 2 2 又已知 h( x) ? 2的解集为? x 1 ? x ? 2? ,
? a ?1 ? 1, ? ? 2 所以 ? 于是 a=3 a ? 1 ? ? 2, ? ? 2

2 2 C 【解析】(1)由题意知,曲线 1 的直角坐标方程为 x ? y ? 4 y ? 12

? x? ? 2 x ? 6 ? ? ? y? ? 2 y 代入 x2 ? y 2 ? 4 y ? 12 中,得点 Q 的轨迹 C2 的直角坐标方程 设 P( x , y ),Q(x,y)由中点坐标公式得 ?
( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 。

5.解:因为 x ? 0, y ? 0, x ? y ? 0 ,
2x ? 1 1 ? 2 y ? 2( x ? y ) ? …3 分 2 x ? 2 xy ? y ( x ? y)2
2

3a ? 1
(2)直线 l 的普通方程 y=ax,由题意得:

a2 ? 1

? 22 ? ( 3)2
,解得

0?a?

3 4。

? ( x ? y) ? ( x ? y) ?

1 …6 分 ( x ? y)2

【思路点拨】根据参数方程转化成普通方程,再利用距离公式求出 a 的范围。 3.解: (Ⅰ)当 x ? ?1 时,解得 x ? ? 当 ?1 ? x ?

≥ 33 ( x ? y)2
所以 2 x ?

2 ,? x ? ?1 3

1 ? 3 , …9 分 ( x ? y)2

1 时,解得 x ? 0 ,??1 ? x ? 0 2 1 2 2 当 x ? 时,解得 x ? ,? x ? 2 3 3
综合上所述,原不等式解集为: ? x | x ? 0或x ?

1 ? 2 y ? 3 .…10 分 x ? 2 xy ? y 2
2

6.本小题主要考查绝对值的意义.绝对值不等式等基础知识,考查运算求解能力. 解析:(Ⅰ)由 f ( x) ≤ 3 得 | x ? a |≤ 3 ,

? ?

2? ? 3?

解得 a ? 3≤x ≤a ? 3. 又已知不等式 f ( x) ≤ 3 的解集为 ?x | ?1≤ x ≤5? , 所以 ?
? a ? 3 ? ?1, 解得 a ? 2 . ? a ? 3 ? 5,

? ??3x, x ? ?1 ? 1 ? (Ⅱ) f ( x) ? ?? x ? 2, ?1 ? x ? 2 ? 1 ? 3 x, x ? ? ? 2

? f ( x) 的最小值是

3 2

, 故a ?

3 2

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g (x)=f ( x) ? f ( x ? 5) ,
??2 x ? 1,x < ? 3, ? ? 3 ≤ x ≤ 2, 所以当 x ? ?3 时, g(x )>5 ; 于是 g (x)=|x-2|? | x ? 3 | = ?5, ?2 x ? 1, x >2. ?

当 ?3≤x ≤2 时, g(x)=5 ;当 x>2 时, g(x )>5 .

??2 x ? 6, x ? 2, ? 4.解: (I)当 a=2 时, f ( x) ? x ? 4 ? ?2, 2<x<4, ?2 x ? 6, x ? 4. ?
当 x ? 2时,由f ( x) ? 4 ? x ? 4 得-2x+6 ? 4,解得x ? 1;

综上可得, g ( x ) 的最小值为 5. 从而,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ≥ m ,即 g ( x) ≥ m 对一切实数 x 恒成立, 则 m 的取值范围为 ? ??,5? .
3

7.解: (I)当 a ? ?2时,不等式f ( x) <g(x)化为 2x ?1 ? 2 x ? 2 ? x ? 3 <0. 设函数 y= 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ,则

径为 3. 试题解析:(I)因为 DE 是 ? O 的直径,则 ?BED ? ?EDB ? 90? . 又 BC ? DE ,所以 ?CBD ? ?EDB ? 90? , 又 AB 切 ? O 于点 B ,得 ?DBA ? ?BED ,所以 ?CBD ? ?DBA (II)由(I)知 BD 平分 ?CBA ,,则

1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? y ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示,从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时,y<0,所以原不等式的解集是 x 0 ? x ? 2 (II)当 x ? ? ?

BA AD ? ? 3, BC CD

又 BC ? 2 ,从而 AB ? 3 2 ,所以 AC ?

AB2 ? BC2 ? 4 所以 AD ? 3 ,

?

?;

由切割线定理得 AB ? AD ? AE ,即 AE ?
2

AB 2 ? 6, AD

? a 1 , ? 2 2

? , f ( x) ? 1 ? a.

不等式 f ( x ) ≤g(x)化为 1+a≤x+3.

故 DE ? AE ? AD ? 3 ,即 ? O 的直径为 3. 考点:1.几何证明;2.切割线定理. 10.解: (I)C 的普通方程为 ( x ?1)2 ? y 2 ? 1(0 ? y ? 1) . 可得 C 的参数方程为

所以 x≥a-2 对 x ? ? ?

a 4 4? ? a 1? ? , ? 都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ? ,从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 2 3 3? ? 2 2? ?

8.(I)见试题解析;(II)

16 3 3

? x ? 1 ? cos t , (t 为参数, 0 ? t ? ? ) ? ? y ? sin t ,
(Ⅱ)设 D (1 ? cos t ,sin t ) .由(I)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆。 因为 C 在点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,

解析:试题分析: (1)要证明 EF∥BC,可证明 AD⊥BC,AD ⊥EF; (2)先求出有关线段的长度,然后把四边形 EBCP 的面积转化为△ABC 和△AEF 面积之差来求 试题解析:解: (1)由于△ABC 是,等腰三角形,AD⊥BC,所以 AD 是∠CAB 的平分线,又因为圆 O 与 AB,AC 分别相 切于 E,F,所以 AE=AF,故 AD⊥EF,所以 EF∥BC (2)由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故 AD 是 EP 的垂直平分线,又 EP 为圆 O 的弦,所以 O 在 AD 上,连接 OE,OP, 则 OE⊥AE, 由 AG 等于圆 O 的半径得 AO=2OE, 所以∠OAE=30°, 因此, △ABC 和△AEF 都是等边三角形, 因为 AE= 2 3 ,

tan t ? 3, t ?
故 D 的直角坐标为 (1 ? cos

?
3

.

?

? 3 3 ,sin ) ,即 ( , ) 。 3 3 2 2

所以 AO=4,OE=2,因为 OM=OE=2,DM=

1 10 3 MN ? 3 ,所以 OD=1,于是 AD=5,AB= ,所以四边形 DBCF 的面积 2 3



1 10 3 2 3 1 3 16 3 ?( ) ? ? ? (2 3)2 ? ? 2 3 2 2 2 3

考点:1.几何证明;2.四边形面积的计算. 9. (I)证明略,详见解析; (II) 3 . 【解析】试题分析: :(I)因为 DE 是 ? O 的直径,则 ?BED ? ?EDB ? 90? ,又 BC ? DE ,所以

?CBD ? ?EDB ? 90? ,又 AB 切 ? O 于点 B ,得 ?DBA ? ?BED ,所以 ?CBD ? ?DBA ;
(II)由(I)知 BD 平分 ?CBA ,则

BA AD ? ? 3 ,又 BC ? 2 ,从而 AB ? 3 2 ,由 AB 2 ? BC 2 ? AC 2 ,解得 BC CD

AC ? 4 ,所以 AD ? 3 ,由切割线定理得 AB 2 ? AD ? AE ,解得 AE ? 6 ,故 DE ? AE ? AD ? 3 ,即 ? O 的直
4


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