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2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练:3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数(人教A版·数学理)


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课时提能演练(十五)
(45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012·台州模拟)角α 的终边经过点 P( , ) ,则α 的余弦值 为( (A)
1 2

1 2

3 2

) (B) ?
1 2

(C) )

3 2

(D) ?

3 2

2.α 是第二象限角,则 是( (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第一象限角或第三象限角 (D)第一象限角或第二象限角

? 2

3.一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为( (A)1 (C) 或
? 6 5? 6 1 2 ? 5? (D) 或 3 3

)

(B)

4. (预测题)角α 终边上一点 P(4m,-3m) (m≠0),则 2sinα +cos α 的值为( (A)
2 5

) (B) ?
2 5

(C) ?

2 5

(D) ?

5 2

5.若θ 为锐角且 cosθ -

1 1 =-2,则 cosθ + 的值为( cos? cos?

)

(A) 2 2

(B) 6

(C)6

(D)4
? 6 ? 6

6. 2012· ( 昆明模拟) 已知角α 的终边上一点的坐标为 (sin ,cos ) , 则角α 的最小正值为( (A)
11? 6

) (C)
? 3

(B)

5? 6

(D)

? 6

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.α 的终边与 的终边关于直线 y=x 对称,则α =______. 8.设扇形的周长为 8 cm,面积为 4 cm2,则扇形的圆心角α (0<α <2 π )的弧度数是______. 9.(2012·温州模拟)若 3sinα +cosα =0,则 ______. 三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.(2012·芜湖模拟)已知角α ,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α ,β ∈(0,π ) ,角β 的终边与单位圆交点的横
3 5 ,角α +β 的终边与单位圆交点的纵坐标是 ,求 cosα . 5 13 1 11. (易错题)已知 tanα , 是关于 x 的方程 x2-kx+k2-3=0 的两个 tan?

? 6

1 的值为 cos ? ? 2sin?cos?
2

坐标是 ?

实根,且 3π <α < ? ,求 cosα +sinα 的值. 【探究创新】 (16 分)已知角α 终边经过点 P(x, ? 2 ) (x≠0) ,且 cosα =
1 3 x .求 sinα + 的值. tan? 6

7 2

答案解析
1.【解析】选 A.∵ )( ( 2?
1 2
1 3 2 )=1,∴点 P 在单位圆上.∴cosα= . 2 2

2.【解析】选 C.∵α是第二象限角, ∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z). ∴k·180°+45°< <k·180°+90°(k∈Z) , 当 k=2n(n∈Z)时, n·360°+45°< <n·360°+90°; 当 k=2n+1(n∈Z)时, n·360°+225°< <n·360°+270°. ∴ 是第一象限角或第三象限角. 3.【解析】选 C.弦长等于半径,弦把圆分成两部分.所对的圆心角为
? 5? ? 5? 或 ,故弦所对的圆周角为 或 . 3 3 6 6

? 2

? 2

? 2

? 2

4. 【解析】选 C.由题意,有 x=4m,y=-3m,所以 r= (4m) 2 ? (?3m) 2 =5|m|. ①当 m>0 时,r=5m,sinα= ? ,cosα= ,则 2sinα+cosα= ? ? ? ? . ②当 m<0 时,r=-5m,sinα= cosα=
4m 4 ?? , ?5m 5 6 5 4 5 2 5 ?3m 3 ? , ?5m 5 6 5 4 5 2 5
3 5 4 5

则 2sinα+cosα= ? ? . 5.【解题指南】把 cosθ+
1 1 先平方,再将 cosθ的值代入, cos? cos?

开方即可求得,注意符号.

1 1 1 )2=(cosθ)2+4=8,cosθ+ =2 2 . cos? cos? cos? ? ? 6.【解析】选 C.∵sin >0,cos >0, 6 6

【解析】选 A.(cosθ+

∴角α的终边在第一象限,
? 3 y 6 ? 2 ? 3, ∴tanα= ? 1 x sin ? 6 2 ? ∴α的最小正值为 . 3 ? 7.【解析】因为α的终边与 的终边关于直线 y=x 对称,所以α的终 6 ? ? 边与 的终边重合,则α=2kπ+ ,k∈Z. 3 3 ? 答案: 2kπ+ ,k∈Z 3 1 8. 解析】 【 设扇形的半径为 r,弧长为 l, S= (8-2r)r=4,即 r2-4r+4=0, 则 2 l 解得 r=2,l=4,α= =2. r cos

答案:2 9.【解析】∵3sinα+cosα=0,∴cosα=-3sinα, ∴ =
1 sin 2? ? cos 2? ? cos 2? ? 2sin?cos? cos 2? ? 2sin?cos?

sin 2? ? ? 3sin?)2 ( 10 ? . 2 (?3sin?) ? 2sin?(?3sin?) 3
10 3 1 3

答案:

【一题多解】∵3sinα+cosα=0,∴tanα= ? , ∴
1 sin 2? ? cos 2? tan 2? ? 1 ? ? cos 2? ? 2sin?cos? cos 2? ? 2sin?cos? 1 ? 2tan?

1 ( ? )2 ? 1 10 3 = ? . 1 1? 2? ( ? ) 3 3

10.【解析】由题意,得 cosβ= ?
? 2

5 , 13 12 . 13

∴β∈( ,π) ,∴sinβ= 1 ? cos 2? ?
3 5

又∵sin(α+β)= ,∴α+β∈(0,π) ,∴α∈(0, ) , ∴sinαcosβ+cosαsinβ= , 即?
3 5 12 sinα+ cosα= .① 5 13 13 3 5

? 2

又∵sin2α+cos2α=1,② 由①②组成方程组及α∈(0, ) , 解得 cosα=
56 . 65
? 2

1 =k2-3=1,∴k=〒2, tan? 7 1 而 3π<α< ? ,则 tanα+ =k=2,得 tanα=1,则 sinα=cos 2 tan?

11. 【解析】∵tanα·

α= ?

2 , 2

∴cosα+sinα= ? 2 . 【变式备选】 已知 sinx+cosx=m(|m|≤ 2 ,且|m|≠1),求 sin4x+cos4x. 【解析】由 sinx+cosx=m,得 1+2sinxcosx=m2,即 sinxcosx= sin4x+cos4x=1-2sin2xcos2x= 1 ? 2( =
?m4 ? 2m2 ? 1 . 2 m2 ? 1 2 ) 2 m2 ?1 , 2

【探究创新】 【解题指南】利用三角函数定义先确定 P 到原点的距离 r,再代入三 角函数公式可解. 【解析】∵P(x, ? 2 )(x≠0),

∴点 P 到原点的距离 r= x 2 ? 2 ,又 cosα= ∴cosα=
x x2 ? 2 ? 3 x. 6

3 x, 6

∵x≠0,∴x= ? 10 ,∴r= 2 3 . 当 x= 10 时,P 点坐标为( 10, 2 ) , ? 由三角函数的定义,有 sinα= ? ∴sinα+
1 6 ?? 5 , , 6 tan?

1 6 6 5? 6 =? ? 5 ? ? ; tan? 6 6 1 6 5? 6 = . tan? 6

当 x= ? 10 时,同样可求得 sinα+


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