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浙江省奉化中学高二数学(人教A版)选修4-5教案:第10课时+不等式的证明方法之——反证法




题:

第 10 课时

不等式的证明方法之三:反证法

目的要求: 重点难点: 教学过程: 一、引入: 前面所讲的几种方法,属于不等式的直接证法。也就是说,直接从题设出发,经过一系 列的逻辑推理,证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式,有时很难直接入手求证,这 时可考虑采用间接证明的方法。 所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性, 而是 证明它的反论题为假,或转而证明它的等价命题为真,以间接地达到目的。其中,反证法是 间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明:若肯定命题的条件而否定其结论,就会导致矛盾。具体地说,反证 法不直接证明命题“若 p 则 q” ,而是先肯定命题的条件 p,并否定命题的结论 q,然后通过 合理的逻辑推理,而得到矛盾,从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式,一般有下面几个步骤: 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论; 第二步 作出与所证不等式相反的假定; 第三步 从条件和假定出发,应用证确的推理方法,推出矛盾结果; 第四步 断定产生矛盾结果的原因, 在于开始所作的假定不正确, 于是原证不等式成立。 二、典型例题: 例 1、已知 a ? b ? 0 ,求证: n a ? n b ( n ? N 且 n ? 1 )

例 1、设 a ? b ? 2 ,求证 a ? b ? 2.
3 3

证明:假设 a ? b ? 2 ,则有 a ? 2 ? b ,从而

a 3 ? 8 ? 12b ? 6b 2 ? b 3 , a 3 ? b 3 ? 6b 2 ? 12b ? 8 ? 6(b ? 1) 2 ? 2.
2 因为 6(b ? 1) ? 2 ? 2 ,所以 a ? b ? 2 ,这与题设条件 a ? b ? 2 矛盾,所以,
3 3 3 3

原不 等式 a ? b ? 2 成立。
1

例 2、设二次函数 f ( x) ? x 2 ? px ? q ,求证: f (1) , f (2) , f (3) 中至少有一个不小 于

1 . 2
1 ,则 2
(1)

证明:假设 f (1) , f (2) , f (3) 都小于

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? 2.
另一方面,由绝对值不等式的性质,有

f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? f (1) ? 2 f (2) ? f (3) ? (1 ? p ? q) ? 2(4 ? 2 p ? q) ? (9 ? 3 p ? q) ? 2

(2)

(1) 、 (2)两式的结果矛盾,所以假设不成立,原来的结论正确。 注意:诸如本例中的问题,当要证明几个代数式中,至少有一个满足某个不等式时,通 常采用反证法进行。 议一议:一般来说,利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果,通常是指所推 出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式,以及与临时假定矛盾等各种情 况。试根据上述两例,讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点? 例 3、设 0 < a, b, c < 1,求证:(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于

1 4

2

四、练习: 1、利用反证法证明:若已知 a,b,m 都是正数,并且 a ? b ,则

a?m a ? . b?m b

2、设 0 < a, b, c < 2,求证:(2 ? a)c, (2 ? b)a, (2 ? c)b,不可能同时大于 1 3、若 x, y > 0,且 x + y >2,则

1? y 1? x 和 中至少有一个小于 2。 x y
∵x, y > 0,可得 x + y ≤2 与 x + y >2 矛盾。

提示:反设

1? y 1? x ≥2, ≥2 x y

五、作业:

3



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