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2013全国中学生高中数学竞赛二试模拟训练题(58)


加试模拟训练题(58) (附详细答案) 1.△ABC 的外心为 O,AB=AC,D 是 AB 中点,E 是△ACD 的重心.证明 OE 丄 CD. A E G O B K C D F 2. 设非负数列 a1,a2,…满足条件 an+m≤an+am,m,n∈N. 求证:对任意 n≥m 均有 3. 森林中有 12 名矮子,每一名住在自己的房子里,房子染蓝色或红色.在每一年的第 i 个月,第 i 名矮子拜访他的所有朋友,如果朋友中多数的房子与他自己的房子颜色不同,那 么他就将自己房子的颜色改为另一种,以与大多数朋友一致.证明:经过一段时间,每一名 矮子均无须变更房子的颜色(朋友是互相的,并且不会变化). 4.设 n 为一个正整数, p 为一个质数,证明,如果 a,b,c 满足 a n ? pb ? b n ? pc ? c n ? pa ,则 a ? b ? c 。 加试模拟训练题(58) 1.△ABC 的外心为 O,AB=AC,D 是 AB 中点,E 是△ACD 的重心.证明 OE 丄 CD. (加拿大数学奥林匹克训练题) A 分析:设 AM 为高亦为中线,取 AC 中点 F,E 必在 DF 上且 DE:EF=2:1.设 E F D CD 交 AM 于 G,G 必为△ABC 重心. G 连 GE,MF,MF 交 DC 于 K.易证: O K 1 1 1 B C DG:GK= DC:( ? )DC=2:1. 3 2 3 ∴DG:GK=DE:EF ? GE∥MF. ∵OD 丄 AB,MF∥AB, ∴OD 丄 MF ? OD 丄 GE.但 OG 丄 DE ? G 又是△ODE 之垂心. 易证 OE 丄 CD. 2. 设非负数列 a1,a2,…满足条件 an+m≤an+am,m,n∈N. 求证:对任意 n≥m 均有 【题说】1997 年中国数学奥林匹克题 6. 【证】对任意 n≥m,设 n=qm+r,0≤r<m 则 m·an=maqm+r≤m(aqm+ar)≤m(qam+ar)=(n-r)am+mar =(n-m)am+(m-r)am+mar≤(n-m)am+m(m-r)a1+mra1 =(n-m)am+m2a1 3. 森林中有 12 名矮子,每一名住在自己的房子里,房子染蓝色或红色.在每一年的第 i 个月,第 i 名矮子拜访他的所有朋友,如果朋友中多数的房子与他自己的房子颜色不同,那 么他就将自己房子的颜色改为另一种,以与大多数朋友一致.证明:经过一段时间,每一名 矮子均无须变更房子的颜色(朋友是互相的,并且不会变化). 【题说】 1990 年匈牙利阿拉尼·丹尼尔赛高年级较高水平题 2. 【解】在每两名朋友间连一条线.如果他们房子的颜色相同,则将这条线染为黄色,否则不 染色. 考虑黄线的变化.当某个矮子需要改变自己房子的颜色时,根据本题条件,黄线总数至少增 加 1 个.但是黄线的总数不会超过 C2n 条.因此黄线不可能永远增加.换句话说,经过一段 时间后,每一名矮子均无须变更自己房子的颜色. 例题 9 设 n 为一个正整数, p 为一个质数,证明,如果 a,b,c 满足 a n ? pb ? b n ? pc ? c n ? pa ,则 a ? b ? c 。 证明 若 a,b,c 有两个相等,则 a ? b ? c 。若 a,b,c 互不相等,则 a n ? b n ? ? p (b ? c), b n ? c n ? ? p (c ? a ), c n ? a n ? ? p (a ? b), 故 a n ? bn

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