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高考数学总复习经典测试题解析版6.1 数列的概念及简单表示法


6.1 数列的概念及简单表示法
一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 5 7 9 1.数列{an}:1,- , ,- ,?的一个通项公式是( ) 8 15 24 2n-1 A.an=(-1)n+1 2 (n∈N+) n +n 2n+1 B.an=(-1)n-1 3 (n∈N+) n +3n 2n-1 C.an=(-1)n+1 2 (n∈N+) n +2n 2n+1

D.an=(-1)n-1 2 (n∈N+) n +2n 3 5 7 9 解析 观察数列{an}各项,可写成: ,- , ,- ,故选 D. 1×3 2×4 3×5 4×6 答案 D 2. 把 1,3,6,10,15,21 这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成 一个正三角形(如图所示).

则第七个三角形数是( A.27 B.28

). C.29 D.30

解析 观察三角形数的增长规律, 可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是 本身的序号, 所以根据这个规律计算即可.根据三角形数的增长规律可知第七个 三角形数是 1+2+3+4+5+6+7=28. 答案 B 3.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的( A.必要不充分条件 C.必要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 ).

解析 当 an+1>|an|(n=1,2,?)时,∵|an|≥an, ∴an+1>an,∴{an}为递增数列.当{an}为递增数列时,若该数列为- 2,0,1,则

a2>|a1|不成立,即知:an+1>|an|(n=1,2,?)不一定成立.故综上知,“an+1
>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件. 答案 B

4.在数列{an}中,an=-2n2+29n+3,则此数列最大项的值是 ( A.103 B. 865 8 C. 825 8 D.108

).

? 2 29 ? 解析 根据题意并结合二次函数的性质可得:an=-2n2+29n+3=-2?n - n? 2 ? ? 29? 841 ? +3=-2?n- ?2+3+ , 4? 8 ? ∴n=7 时,an 取得最大值,最大项 a7 的值为 108. 答案 D 1 5.设数列{an}满足:a1=2,an+1=1- ,记数列{an}的前 n 项之积为 Π n,则 Π 2

an

011

的值为(

) B.-1 C. 1 2 D.2

1 A.- 2

1 解析:由 a2 = ,a3=-1,a4=2 可知,数列{an}是周期为 3 的周期数列,从而 2 Π 2 011=Π 1=2. 答案:D 6. 已知整数按如下规律排成一列: (1,1), (1,2), (2,1) , (1,3), (2,2), (3,1), (1,4),(2,3),(3,2),(4,1),?,则第 60 个数对是( A.(5,5) 解析 按规律分组 第一组(1,1) 第二组(1,2),(2,1) 第三组(1,3),(2,2),(3,1) 则前 10 组共有 10×11 =55 个有序实数对. 2 B.(5,6) C.(5,7) ). D.(5,8)

第 60 项应在第 11 组中即(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),?,(11,1) 因此第 60 项为(5,7). 答案 C 7.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? ( )

A. 2 n ?1

3 B. ( ) n ?1 2

2 C. ( ) n ?1 3

D.

1 2 n ?1

解 析 因 为 an?1 ? S n?1 ? S n , 所 以 由 S n ? 2an?1 得 , S n ? 2(S n?1 ? S n ) , 整 理 得

3S n ? 2S n?1 ,所以

S n ?1 3 3 ? ,所以数列 {S n } 是以 S1 ? a1 ? 1为首项,公比 q ? 的 2 Sn 2

3 等比数列,所以 S n ? ( ) n ?1 ,选 B. 2 答案 B

二、填空题 8.在函数 f(x)= x中,令 x=1,2,3,?,得到一个数列,则这个数列的前 5 项是________. 答案 1, 2, 3,2, 5 9.已知数列{an}满足 a1=2,且 an+1an+an+1-2an=0(n∈N*),则 a2=________; 并归纳出数列{an}的通项公式 an=________. 2a1 4 解析 当 n=1 时,由递推公式,有 a2a1+a2-2a1=0,得 a2= = ; a1+1 3 2a2 8 2a3 16 同理 a3= = ,a4= = ,由此可归纳得出数列{an}的通项公式为 an= a2+1 7 a3+1 15 n 2 . n 2 -1 4 2n 答案 3 2n-1 10.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n -9n,第 k 项满足 5<ak <8,则 k 的值为 ________. 解析 ∵Sn=n2-9n,∴n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-10,
2

a1=S1=-8 适合上式,∴an=2n-10(n∈N*),
∴5<2k-10<8,得 7.5<k<9.∴k=8. 答案 8 1 1 11.在数列{an}中,a1= ,an+1=1- (n≥2),则 a16=________. 2 an 1 1 1 1 解析 由题可知 a2=1- =-1,a3=1- =2,a4=1- = ,∴此数列是以 3 a1 a2 a3 2 1 为周期的周期数列,a16 =a3×5+1=a1= .答案 2 1 2

7 n 12.已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)( ) ,则当 an 取得最大值时,n 等于 8 ________.

?an≥an-1, 解析:由题意知? ?an≥an+1,

? ? ∴? ? ?

n+ n+

7 8 7 8

n

n+ n+

7 8 7 8

n-1

, .

n

n+1

?n≤6, ∴? ?n≥5. 答案:5 或 6 三、解答题

∴n=5 或 6.

13.数列{an}的通项公式是 an=n2-7n+6. (1)这个数列的第 4 项 是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解析:(1)当 n=4 时,a4=42-4×7+6=-6. (2)令 an=150,即 n2-7n+6=15 0,解得 n=16,即 150 是这个数列的第 16 项. (3)令 an =n2-7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍), ∴从第 7 项起各项都是正数. 14.已知各项均为正数的数列{an}的前 n 项和满足 Sn>1,且 6Sn=(an+1)(an+ 2),n∈N*.求{an}的通项公式. 1 解析 由 a1=S1= (a1+1)(a1+2), 6 解得 a1=1 或 a1=2,由已知 a1=S1>1,因此 a1=2. 1 1 又由 an+1=Sn+1-Sn= (an+1+1)(an+1+2)- (an+1)(an+2), 6 6 得 an+1-an-3=0 或 an+1=-an. 因 an>0,故 an+ 1=-an 不成 立,舍去. 因此 an+1-an-3=0. 即 an+1-an=3,从而{an}是公差为 3,首项为 2 的等差数列,故{an}的通项为 an =3n-1.

【点评】 解决已知数列的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系,求通项 an 的问题,步骤 主要有:,第一步:令 n=1,由 Sn=f

an 求出 a1;
或用 Sn-Sn-1 代换 an,

第二步:令 n≥2,构造 an=Sn -Sn-1,用 an 代换 Sn-Sn-1 这要结合题目的特点 ,由递推关系求通项;

第三步: 验证当 n=1 时的结论是否适合当 n≥2 时的结论.如果适合, 则统一“合 写”;如果不适合,则应分段表示; 第四步:明确规范表述结论. 15.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,求 an. 解析 由 an+1=an+2
n-1

,得 an+1-an=2

n-1

.

所以 a2-a1=1,a3 -a2=2 ,

a4-a3=22, a5-a4=23,
?

an-an-1=2n-2(n≥2),
将以上各式左右两端分别相加,得 an-a1=1+2+22+?+2n-2=2n-1-1, 所以 an=2n-1(n≥2),又因为 a1=1 适合上式,故 an=2n-1(n≥1). 16.已知数列{an}满足前 n 项和 Sn=n2+1,数列{bn}满足 bn= 为 Tn,设 cn=T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式;(2)判断数列{cn}的增减性. 1 ? ?n =2n-1(n≥2).∴b =? 2 ? ?3
n

2 ,且前 n 项和 an+1

n n=



解析 (1)a1=2,an=Sn-Sn-1

(2)∵cn=bn+1+bn+2+?+b2n+1= ∴cn+1-cn=

1 1 1 + +?+ , n+1 n+2 2n+1

1 1 1 + - = 2n+2 2n+3 n+1

n+

-n-1 n+

n+

<0,

∴{cn}是递减数列.


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