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天河区09-10学年下学期高一数学竞赛试题


天河区 09-10 学年下学期高一数学竞赛试题
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ) 1.直线 x ? tan

?
7

? y ? 1 ? 0 的倾斜角 ? 是
B. ?

A.

/>6π 7

6? 7

C.

π 7

D. ?

?
7

2.用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图如右 图所示,则它的体积的最小值与最大值分别为 A. 9 与 13 C. 10 与 16 B. 7 与 10 D. 10 与 15
主视图 俯视图

3.已知集合 E ? {x | ?2 ? x ? 7} , F ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1? ? ? ,若 E 实数 m 的取值范围是 A. [?3, 4)
2

F ? E ,则

B. [?3, 4]
2

C. [2, 4)

D. ?2, 4?

4.从原点向圆 x ? y ? 12y ? 27 ? 0 作两条切线,则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 A. ? B. 2? C. 3? D. 6?

5.若 y ? loga (2 ? ax) 在 [0,1] 上是减函数,则 a 的取值范围是 A. (0,1) 6.函数 y ? 2sin 2 ( B. (0,2) C. (1,2) D. (2,??)

?
4

? x) ? 1 是
B.最小正周期为 ? 的偶函数

? ? 的奇函数 D.最小正周期为 的偶函数 2 2 x?3 7.为了得到函数 y ? lg 的图像,只需把函数 y ? lg x 的图像上所有点 10
C.最小正周期为 A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

A.最小正周期为 ? 的奇函数

1

8. ?ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1, 2OA ? AB ? AC ? 0, 且 | OA |?| AB | ,则向 量 BA 在向量 BC 方向上的投影为 A.

1 2

B.

3 2

C. ?

1 2
0

D. ?

3 2

9.如图,一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45 ,腰和上底均为 1 的等腰 梯形,那么原平面图形的面积为 A.

1? 2

B.

1? 2 2

y'

2? 2 C. 2

D. 2 ?

2

O'

x'

10 已知 t ? 0 ,关于 x 的方程 2 ? x ? A. 4 个 B. 3 个

t ? x 2 ,则这个方程实根的个数不可能为
C. 2 个 D. 1 个

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ? ? ? ? ? ? ? ? 5 11. 已知向量 a ? (1,2), b ? (?2,?4), c ? 5, 若(a ? b ) ? c ? , 则a与c的夹角为 2
2 2

______.

12. 一束光线从点 A(-1,1)发出,并经过 x 轴反射,到达圆 (x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1上一 点的最短路程是 .

13 . f ?x ? ? ?x ? a ??x ? b? 是偶函数,且它的定义域为 ?a, a ? 4? ,则该函数的最小值 是 .

0 14.已知 5 sin 2? ? sin 2 ,则

tan( ? ? 10 ) 的值是_____________________. tan( ? ? 10 )

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?
[来源:学§科§网]

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?
2

16. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A 的坐标为 ?3, ? 1? , AB 边上的中线所在直线 方程为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , ? B 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在 直线的方程.

17.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos? , sin ? ) , | a ? b |? (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; (Ⅱ)若 0 ? ? ?

?

?

?

?

2 5 . 5

?
2

, ?

?
2

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 求 sin ? . 13

18. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x ? y ? 12 x ? 32 ? 0 的圆
2 2

心为 Q ,过点 P(0, 2) 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B . (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由.

3

19. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD 垂直 于底面 ABCD , AD ? PD ? 2 , E 、 F 分别为 CD 、 PB 的中点. (Ⅰ)求证: EF ? 面PAB ; (Ⅱ)设 AB ?

2 AD, 求点 C 到平面 AEF 的距离.

20. (本小题满分 14 分)设 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c a, b, c为实常数 , f ? 0? ? 1,

?

?

? ? f ? x?, x ? 0 g ? x? ? ? . ? f x , x ? 0 ? ? ? ? (Ⅰ)若 f ? ?2? ? 0 , 且对任意实数 x 均有 f ? x ? ? 0 成立, 求 g ? x ? 的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下, 若 h ? x ? ? f ? x ? ? kx 不是[?2, 2]上的单调函数, 求实数 k 的取值范 围; ( Ⅲ ) 设 a ? 0, m ? 0, n ? 0 且 m ? n ? 0 , 当 f ? x ? 为 偶 函 数 时 , 求 证 :

g ? m? ? g ? n ? ? 0 .

4

天河区 09-10 学年下学期高一数学竞赛试题答卷
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 题号 答案 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 题号 答案 三、解答题: 15. 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5

16.

6

17.

7

18.

8

19.

9

20.

10

天河区 09-10 学年下学期高一数学竞赛答案
一、选择题:ACCBC ACADD 二.填空题: 11. 120
?

12.

4

13. ? 4

14. ?

3 2

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期;
[来源:学§科§网]

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ? 【解析】 (Ⅰ)∵ f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x
(Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

1 3 ? ? 2sin x cos x ? ? cos 2 x ? 1? 2 2 1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ?? 3 ? ? sin ? 2 x ? ? ? 3? 2 ? 2? ?? . ∴ 函数 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 ? ? ? 4? (Ⅱ)∵ ? ? x ? , 0 ? 2 x ? ? 6 2 3 3 3 ?? ? ∴ ? ? sin ? 2 x ? ? ? 1 , 2 3? ?
∴ ∴

……………1 分 ……………2 分 ……………4 分 ……………6 分 ……………8 分 ……………10 分

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

?? 3 3 2? 3 ? , 0 ? sin ? 2 x ? ? ? ? 1? ? 3? 2 2 2 ? 2? 3 ? ? ?? f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值为 ,最小值为 0 .……………12 分 2 ? 6 2?

16. (本小题满分 12 分)已知 ?ABC 的顶点 A 的坐标为 ?3, ? 1? , AB 边上的中线所在直线 方程为 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 , ? B 的平分线所在直线方程为 x ? 4 y ? 10 ? 0 ,求 BC 边所在 直线的方程.
11

【解析】设 B(4 y1 ?10, y1 ) , 由 AB 中点在 6 x ? 10 y ? 59 ? 0 上, 可得: 6 ?

……………3 分

4 y1 ? 7 y ?1 ? 10 ? 1 ? 59 ? 0 ,y1 = 5,所以 B(10,5) .……………6 分 2 2 设 A 点关于 x ? 4 y ? 10 ? 0 的对称点为 A '( x ', y ') , ……………7 分
y? ?1 ? x? ? 3 ? 4? ? 10 ? 0 ? ? 2 2 则有 . ? ? y ? 1 1 ? ? ? ?1 ? ? x? ? 3 4

……………9 分

所以: A ?1, 7?
'

……………10 分 ……………12 分

故 BC : 2 x ? 9 y ? 65 ? 0

17.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (cos? , sin ? ) , | a ? b |? (Ⅰ)求 cos(? ? ? ) 的值; 求 sin ? . 【解】 (Ⅰ) (Ⅱ)若 0 ? ? ?

?

?

?

?

?
2

, ?

?
2

2 5 . 5

? ? ? 0 , 且 sin ? ? ?

5 , 13

a ? (cos ? ,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,

?a ? b ? ? cos? ? cos ?, sin ? ? sin ? ? . ……………2 分
a ?b ?


2 5 , ? 5

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , ………3 分 5

2? 2 c o s ???? ?? 0 ?? ?

(Ⅱ)

? ? ? 0, ? 0 ? ? ? ? ? ? , ……………7 分 2 2 3 5 4 12 cos ?? ? ? ? ? , sin ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? , cos ? ? ……………9 分 5 13 5 13 , ?
? ? sin ? ? ?? co ? s? ? c ? os ?? ?

?

?

4 , ………5 分 5

3 ?c o s ?? ? ? ? ? . ……………6 分 5

?s i n ? ? si n? ? ? ? ? ? ?? ?? ?

? s ?i ? n分 ????

11

4 1 2 3? ? ? ? ?? ? 5 1 3 5?

5 ? ?? 1 ?3

33 . ……………12 分 65

12

18. (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2 ? y 2 ? 12 x ? 32 ? 0 的圆 心为 Q ,过点 P(0, 2) 且斜率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A, B . (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在常数 k ,使得向量 OA ? OB 与 PQ 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在, 请说明理由. 解: (Ⅰ)圆的方程可写成 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 4 ,所以圆心为 Q(6, 0) , 过 P(0, 2) 且斜率为 k 的直线方程为 y ? kx ? 2 .………………………………………2 分 代入圆方程得 x2 ? (kx ? 2)2 ?12x ? 32 ? 0 , 整理得 (1 ? k 2 ) x2 ? 4(k ? 3) x ? 36 ? 0 . 直线与圆交于两个不同的点 A, B 等价于 ①………………………………………4 分

? ? [4(k ? 3)2 ] ? 4 ? 36(1 ? k 2 ) ? 42 (?8k 2 ? 6k ) ? 0 ,…………………………………6 分
解得 ?

3 ? 3 ? ? k ? 0 ,即 k 的取值范围为 ? ? , 0? . 4 ? 4 ?

…………………………………7 分

(Ⅱ)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,则 OA ? OB ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , 由方程①, x1 ? x2 ? ?

4(k ? 3) 1? k 2

② ③…………………………………10 分

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 . 而 P(0 ,, 2) Q(6,, 0) PQ ? (6, ? 2) .

所以 OA ? OB 与 PQ 共线等价于 ?2( x1 ? x2 ) ? 6( y1 ? y2 ) ,…………………………13 分 将②③代入上式,解得 k ? ?

3 . 4

由(Ⅰ)知 k ? ? ? , 0 ? ,故没有符合题意的常数 k ………14 分

? 3 ? 4

? ?

13

19. (本小题满分 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PD 垂直 于底面 ABCD , AD ? PD ? 2 , E 、 F 分别为 CD 、 PB 的中点. (Ⅰ)求证: EF ? 面PAB ; (Ⅱ)设 AB ?

2 AD, 求点 C 到平面 AEF 的距离.

【解析】 (Ⅰ)连 PE, BE ,易知 ?PDE ? ?BCE ,所以

PE ? BE ,在 ?PEB 中, F 为 PB 的中点, PE ? BE ,所 以 EF ? PB ……………2 分 BA 得 G , 连 EG, FG , 易 证 取 面EFG // 面DPA ……………4 分 BA ? AD, BA ? PD, BA ? 面PAD, 则BA ? 面EFG, 则BA ? EF ……………6 分 由 EF ? BA, EF ? PB, PB ? BA ? B ,所以 EF ? 面PAB ……………7 分 (Ⅱ)因为 VC ? AEF ? VF ? AEC ……………8 分 在 ?EFA 中 由(Ⅰ) EF ? 面PAB 得 EF ? FA , ……………9 分 1 FA ? BP ? 2 ; EA ? AD2 ? DE 2 ? 6 , S ?AEF ? 2 ……………11 分 2 1 在 ?AEC 中, S ?AEC ? CE ? AD ? 2 ……………12 分 2 1 又 F 到面 ACE 距离 ? PD ? 1 ,代入体积公式得点 C 到平面 AEF 的距离为 1 2
……………14 分

14

20. (本小题满分 14 分)设 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c a, b, c为实常数 , f ? 0? ? 1,

?

?

? ? f ? x?, x ? 0 . g ? x? ? ? ? ?? f ? x ? , x ? 0 (Ⅰ)若 f ? ?2? ? 0 , 且对任意实数 x 均有 f ? x ? ? 0 成立, 求 g ? x ? 的表达式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下, 若 h ? x ? ? f ? x ? ? kx 不是[?2, 2]上的单调函数, 求实数 k 的取值范 围; ( Ⅲ ) 设 a ? 0, m ? 0, n ? 0 且 m ? n ? 0 , 当 f ? x ? 为 偶 函 数 时 , 求 证 : 【解析】 (Ⅰ)由 f ?0? ? 1 得 c ? 1

g ? m? ? g ? n ? ? 0 .

由 f ?? 2? ? 0 得 4a ? 2b ? 1 ? 0 ,

……………1 分 ……………2 分
2

又由 f ?x ? ? 0 对 x ? R 恒成立, 知 a ? 0 且 ? ? b ? 4a ? 0 , 即 b 2 ? 2b ? 1 ? ?b ? 1? ? 0 ∴ b ? 1, a ?
2

……………4 分 ……………5 分

1 4

?1 2 x ? x ?1 x ? 0 ? 1 2 ?4 从而 f ? x ? ? x ? x ? 1; g ? x ? ? ? ……………6 分 1 4 2 ?? x ? x ? 1 x ? 0 ? ? 4 1 2 ( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 h? x ? ? x ? ?k ? 1?x ? 1 , 其 图 象 的 对 称 轴 为 4 ……………7 分 x ? ?2?k ? 1? , 再由 h?x ? 在 [?2, 2]上不是单调函数, 故得 ? 2 ? ?2?k ? 1? ? 2 解得 ? 2 ? k ? 0
(Ⅲ)当 f ?x ? 为偶函数时, f ?? x ? ? f ?x ? , ∴ b ? 0 , ∴ f ?x ? ? ax ? 1, ………10 分
2

……………9 分

a ? 0 故 f ?x ? 在(0, +∞)上为增函数, 从而, g ?x ? 在(0, +∞)上为减函数,……11 分 又 m ? 0, n ? 0, m ? n ? 0, ? m ? ?n ? 0 , 从而 g ?m? ? g ?? n? ………12 分 且 g ?? n? ? ? f ?? n? ? ? f ?n? ? ? g ?n? 故得 g ?m? ? ? g ?n? , ……………13 分
因此, g ? m? ? g ? n? ? 0

……………14 分

15


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