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2013.3.1.1两角差的余弦公式


北京市三里屯一中

3.1.1两角差的余弦公式

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复习.任意角三角函数定义 设角?是一个任意角它的终边与单位圆交于点P (x,y) , 如图 ?的终边 2 2 OP ? r ? x ? y ? 1 y

sin ? ? y

P(x,y)

>cos? ? x
y tan ? ? ? x ? 0 ? x
3 cos 30 ? 2
?

o

x

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练习:

1 3 ? ? cos 60 ? cos30 ? cos 0 ? 1 cos90 ? 0 2 2
?
?

思考:如何用任意角?与β 的正弦、余弦来表示 cos(?-β)? 你认为会是cos(?-β)=cos? -cosβ吗? 特值验证:一般不成立

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探究: ?终边
(cos? , sin ? ) A

y

β终边
?

B (cos? , sin ? )
1

如图:?终边与β 终边的夹角为 ? 问题1:?与β有何 关系?

O

x

cos ?? ? ? ? ? ? 问题2:

? ? ? ? ? ? 2k? 即 ? ? ? ? ? ? 2k?

cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? 2k? ? ? cos?

问题3:能否利用向量的知识求 cos ? ? 问题4:A,B点的坐标如何表示?

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探究: ?终边
(cos? , sin ? ) A

y

β终边
?

B (cos? , sin ? )
1

如图:?终边与β 终边的夹角为 ? 问题1:?与β有何 关系?

? ? ? ? ? ? 2k? cos ? ? ? ??? ? ??? ? 即 ? ? ? ? ? ? 2k? OA? OB cos ? ? ??? ? ??? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? OA OB 数量积的坐标运算


O

x

cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
两角差的余弦公式

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例1.利用差角余弦公式求 cos15 的值 分析: cos15 ? cos 45 ? 30
? ?
? ?

?

? ? cos15 ? cos ? 60 ? 45 ?
?
?

2? 6 4

小结:可以用特殊角的和或差表示的角称为二类特殊角 变式.你能利用差角余弦公式求: cos(90o-?)的值吗? 你能求sin75o的值吗?

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2 ? 3 3? 例2、已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , ? ? (? , ), 3 2 4 2 求 cos(? ? ? ) 2 ? 解: ? sin ? ? , ? ? ( , ? )

5 ? cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 3
2

3

2

3 3? ? cos ? ? ? , ? ? (? , ) 4 2
2

7 ? sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 4 3 5 ?2 7 ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? 12

点评:注意角?、?的象限,也就是符号问题.

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1 () 1 cos80? cos 20? ? sin80?sin20? ? __________ 2
1 (2) cos80? cos 20? ? cos10? cos 70? ? __________ 2

练习:求值

点评:公式正用、逆用及灵活运用.

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1 例3.已知 cos( a + b )cosb + sin(a + b )sin b = , 3
? 3? ? ? 且 ? ? ? ,2? ? , 求 cos(? ? ) 的值. ? 2 ? 4

1 cos ? ? 3

1 2 2 sin ? ? ? 1 ? ? ? 9 3

?? 2 ?4 ? cos ? ? ? ? ? 4? 6 ?

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课堂小结 两角差的余弦公式:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?
(1)牢记公式

C(? ? ? ) ? C ? C ? S ? S.

(2)在“给值求值”题型中,要注意角的象限 ,即符号的判断.

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