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[同课异构课件1 :1.4 数学归纳法


1.4数学归纳法

第 一 章 推 理 与 证 明

思考

结论:归纳推理未必正确,必 须给予证明!

问题2:教师根据学生的成绩单逐一核实, 得到结论“全班及格”。 请问: ?以上两个结论正确吗?为什么? ?得出以上结论所用的方法有什么共同点和什么不同点? ?1、错,a5=25≠1; 2、对。

?共同点:均用了归纳法得出结论;不同点:问题1是用的不完全归 纳法,问题2是用的完全归纳法。

归纳法

完全归纳法
不完全归纳法

实验问题
1、现在桌上立着许多小木块,我们当然可以一块一块地把它们全部推倒,

但现在只允许推倒一块,你有什么办法做到使它们全部倒下吗?如果有办 法,小木块应怎样摆?应先推倒哪一块?

2、小木块全部倒下满足的条件: (1)第一块倒下; (2)若前一块倒下,则后一块也必倒下。

3、满足条件1,不满足条件2,结果怎样?只满足条件2呢?

多米诺骨牌演示

要使骨牌全部倒下,需同时满足两个条件:
1、第一张骨牌倒下(基础); 2、假设第K张骨牌倒下,保证第K+1张骨牌一 定倒下(递推)。

数学归纳法原理
我们知道,有一些命题是和正整数有关的,如果这个命题的情 况有无限种,那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明,而不完 全归纳法又不可靠,怎么办? 步骤:①(归纳奠基)验证当n取第一个n0时命题成立 ②(归纳递推)假设n=k(k∈N ,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时 命题也成立。 ③根据①②得出对所有的正整数n命题成立。
?

例1

用数学归纳法证明

n(n ? 1)( 2n ? 1) 1 ? 2 ? 3 ??? n ? 6
2 2 2 2

变式:用数学归纳法证明:

?n ? 1??n ? 2???n ? n? ? 2 n ?1? 3 ? 5 ? ?? ?2n ? 1?

n?
证明:①当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立。

所以当n=k+1时等式也成立。

思考
请问:A、第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为: 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]= 1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) = (k ? 1)[1?(2k ? 1)] =(k+1)2 ?为什么?
2

1 1 1 1 n ? ? ??? ? ?2 1? 2 2 ?3 3 ? 4 n(n ? 1) n ? 1

1、三个步骤却一不可:
第二步是归纳递推,是推理的依据,是判断命题的正确性能否由特殊推广 到一般,它反映了无限递推关系,其中 “假设n=k时成立”称为归纳假设 (注意是“假设”,而不是确认命题成立)。 没有第一步,第二步就没有了意义;没有第二步,就成了不完全归纳,结 论就没有可靠性。 第三步是总体结论,也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设,否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。

归纳法 可能错误, 如何避免

知 识 小 结

完全归纳法

不完全归纳法

穷举 法

数学 归纳 法

递推基础不可少, 归纳假设要用到, 结论写明莫忘掉


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