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中档题训练十


实验中学高三数学二轮复习中档题训练(十)
1.平面直角坐标系内有点 P (1, cos x), Q(cos x,1), x ? [?

? ?

, ]. 4 4

(1)求向量 OP和OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f (x) ; (2)求 f (x) 的最小值.

2 . 如

图 , 在 四 棱 锥 P ? A B C D中 , ABCD 是 矩 形 ,

P

PA ? 平面ABCD , PA ? AD ? 1, AB ? 3
点 F 是 PD 的中点,点 E 在 CD 上移动。 ⑴ 求三棱锥 E ? PAB 体积; ⑵ 当点 E 为 CD 的中点时, 试判断 EF 与平面 PAC 的关系, 并说明理由; ⑶ 求证: PE ? AF

F

A E B C

D

3.如图,已知椭圆 C :

x2 y 2 m2 ? ? (m ? 0). 经过椭圆 C 的右焦点 F 且以 i ? (1,1) 为方向 5 3 2

向量的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,M 为线段 AB 的中点,设 O 为椭圆的中心,射线 OM 交 椭圆 C 于 N 点. (1)证明: OA ? OB ? ON; (2)求 OA? OB 的值.

4.已知函数 f ( x) ? x ?
2

2 ? a ln x( x ? 0), x

(1) 若 f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; (2) 若定义在区间 D 上的函数 y ? f (x) 对于区间 D 上的任意两个值 x1、x2 总有以下不等式

x ?x 1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 ) 成立,则称函数 y ? f (x) 为区间 D 上的“凹函数”. 2 2 试判断当 a ? 0 时, f ( x ) 是否为“凹函数” ,并对你的判断加以证明.

实验中学高三数学二轮复习中档题训练(十)
1.平面直角坐标系内有点 P (1, cos x), Q(cos x,1), x ? [?

? ?

, ]. 4 4

(1)求向量 OP和OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f (x) ; (2)求 f (x) 的最小值. (1)? OP ? OQ ? 2 cos x, | OP || OQ |? 1 ? cos2 x,? cos? ? (2) cos ? ? f ( x) ? 2 cos x ? 1 ? cos 2 x
2 ? cos x ?

OP ? OQ | OP | ? | OQ |

?

2 cos x ? f ( x) 1 ? cos2 x

2 1 cos x ? cos x

? ? 2 . x ? [? , ],? cos x ? [ ,1] . 4 4 2

1 3 2 2 2 2 2 ? , ? f ( x) ? 1, f ( x) min ? cos x 2 3 3

PA PA 2. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 是矩形, ? 平面ABCD , ? AD ? 1, AB ? 3

点 F 是 PD 的中点,点 E 在 CD 上移动。 ⑴ 求三棱锥 E ? PAB 体积; ⑵ 当点 E 为 CD 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的关系,并说明理由; ⑶ 求证: PE ? AF
P

F

A E B C

D

解: (1)? PA ? 平面ABCD ,

1 1 1 3 ????3 分 ?VE ? PAB ? VP ? ABE ? S ?ABE ? PA ? ? ? 1 ? 3 ? 1 ? 3 3 2 6
(2)当点 E 为 BC 的中点时, EF || 平面PAC 。????4 分 理由如下:? 点 E, F 分别为 CD 、PD 的中点,? EF || PC 。

? PC ? 平面PAC , EF ? 平面PAC ? EF || 平面PAC ????????7 分
(3)? PA ? 平面ABCD , CD ? 平面ABCD

? CD ? PA

? ABCD是矩矩形,? CD ? AD ? PA ? AD ? A ,? CD ? 平面PAD ? AF ? 平面PAD ? AF ? DC ?????????????10 分
? PA ? AD ,点 F 是 PD 的中点 ? AF ? PD
又 CD ? PD ? D

? AF ? 平面P D C
? PE ? AF ????????????12 分

? PE ? 平面PDC,

x2 y 2 m2 ? ? (m ? 0). 经过椭圆 C 的右焦点 F 且以 i ? (1,1) 为方向 3.如图,已知椭圆 C : 5 3 2
向量的直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,M 为线段 AB 的中点,设 O 为椭圆的中心,射线 OM 交 椭圆 C 于 N 点. (1)证明: OA ? OB ? ON; (2)求 OA? OB 的值. 解: (1)∵ a 2 ?

5 2 2 3 2 m ,b ? m , 2 2

∴ c 2 ? a 2 ? b 2 ? m 2 ,? F (m,0) ∵直线 l 过焦点 F 且与向量 i=(1,1)平行, ∴直线 l 的方程为 y=x-m 将其代入椭圆 C 的方程,并整理得 8 x ? 10 mx ?
2

5 2 m ?0 2



设 A( x A , y A ), B( xB , y B ), M ( xM yM ), N ( xN , y N ), ∵M 是线段 AB 的中点,在方程①中由韦达定理得:

5 3 x A ? xB 5 3 ∴ M ( m, ? m ) ? m, 又y M ? x M ? m ? ? m, 8 8 2 8 8 设 N′为 OM 延长线上的点,且 M 为 ON′的中点,
xM ?

则 N′ ( 5 m,? 3 m) ,且四边形 OAN′B 为平行四边形, 4 4 将 N′的坐标代入椭圆 C 方程的左端并化简得:
1 5 2 1 3 1 ? ( m) ? ? ( ? m) 2 ? m 2 . 5 4 3 4 2

故 N′点在椭圆 C 上,∴N′与 N 点重合. ∴四边形 OANB 为平行四边形 ∴ OA ? OB ? ON (2) OA? OB ? x A xB ? y A yB 在方程①中由韦达定理得 x A x B ? ? 5 m 2
16

∴ y A y B ? ( x A ? m)(xB ? m) ? x A xB ? m( x A ? xB ) ? m2 ? ?

5 2 5 2 9 m ? m ? m2 ? ? m2 16 4 16

∴ OA ? OB ? ? 5 m 2 ? 9 m 2 ? ? 7 m 2 16 16 8 4.已知函数 f ( x) ? x ?
2

2 ? a ln x( x ? 0), x

(1) 若 f ( x ) 在 [1, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; (2) 若定义在区间 D 上的函数 y ? f (x) 对于区间 D 上的任意两个值 x1、x2 总有以下不等式

x ?x 1 [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? f ( 1 2 ) 成立,则称函数 y ? f (x) 为区间 D 上的“凹函数”. 2 2 试判断当 a ? 0 时, f ( x ) 是否为“凹函数” ,并对你的判断加以证明. 2 a 2 ' 2 解: (Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? ? a ln x ,得 f ? x ? ? 2 x ? 2 ? ……………………2 分 x x x 欲 使 函 数 为 [1, ??) 上 单 调 增 函 数 , 则 f ' ? x ? ? 0 在 [1, ??) 上 恒 成 立 , 即 不 等 式
2x ? 2 a 2 ? ? 0 在 [1, ??) 上恒成立.也即 a ? ? 2 x 2 在 [1, ??) 上恒成立.………4 分 2 x x x

2 2 ? 2 x 2 ,上述问题等价于 a ? ? ( x)max ,而 ? ( x) ? ? 2 x 2 为在 [1, ??) 上的 x x 减函数,则 ? ( x)max ? ? (1) ? 0 ,于是 a ? 0 为所求. ……………………6 分 2 2 (Ⅱ)证明:由 f ? x ? ? x ? ? a ln x 得 x f ? x1 ? ? f ? x2 ? 1 2 ?1 1? a ? ? x1 ? x2 2 ? ? ? ? ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? 2 2 ? x1 x2 ? 2 x ?x 1 ………………………………7 分 ? ? x12 ? x2 2 ? ? 1 2 ? a ln x1 x2 2 x1 x2
令 ? ( x) ?

x ?x 4 ?x ?x ? ?x ?x ? f ? 1 2 ??? 1 2 ? ? ? a ln 1 2 2 ? 2 ? ? 2 ? x1 ? x2
2

………………………………………8 分
2



2 1 2 ? x1 ? x22 ? ? 1 ?? x12 ? x22 ? ? 2x1x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? 2 ? 2 4? ? ?

① ………………………10 分

又 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2
2 2

?

2

? ? 2x x

1 2

? 4 x1 x2 , ∴
x1 ? x2 , 2

x1 ? x2 4 ? x1 x2 x1 ? x2

② ……11 分

∵ x1 x2 ? ∵a ? 0

x1 ? x2 2

∴ ln

x1 x2 ? ln

x1 ? x 2 ③ …………………………………13 分 2 2 x ? x2 1 4 ?x ?x ? 由①、②、③得 ? x12 ? x2 2 ? ? 1 ? a ln x1 x2 ? ? 1 2 ? ? ? a ln x1 x2 2 x1 x2 ? 2 ? x1 ? x2
∴ a ln x1 x 2 ? a ln 即

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?x ?x ? ? f ? 1 2 ?, 2 ? 2 ?

从而由凹函数的定义可知函数为凹函数. …………14 分


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