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辽宁省沈阳市第二中学2016届高三数学下学期第四次模拟考试试题 文


二中 2015—2016 学年度下学期第四次模拟考试 高三(16 届)数学(文科)试卷
说明:1.测试时间:120 分钟 总分:150 分 2.客观题涂在答题纸上,主观题答在答题纸的相应位置上 第Ⅰ卷(60 分) 一.选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的)

1 . 已知集合

A ? ?x | log2 x ? 1?, B ? x | x 2 ? x ? 2 ? 0 ,则 A ? B (

?

?



2? A. ?? ?,

1? B. ?0,

2? C. ?? 2,

1? D. ?? ?,

2 .已知复数 z 满足 ( z ? 2i )(1 ? i ) ? 1 ? 3i (i为虚数单位 ) ,在复平面内,复数 z 对应的点位于
( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3 .已知实数 a 满足 a ? 2 ,则事件“点 M (1,1) 与点 N (2,0) 分别位于直线 l:ax ? 2 y ? 1 ? 0 两侧”的概
率为( ) B.

3 A. 4

5 8

C.

3 8

D.

1 8


4 .下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在 3 次不同比赛中的得分情况,其中有一个数字模糊不清,在图
中以 m 表示.若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分,那么 m 的可能取值集合为(

A. ?2?

B. ? 1,2?

C. ?0,1,2?

D. ?2,3?

5 .在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a11 ? 3 , a3 ? a13 ? 4 ,则
A. 3 或

a15 =( a5



1 3

B.

1 3


C. 3

D.- 3 或-

1 3

6 .下列说法正确的是(

a A.命题“若幂函数 f ( x) ? x 在 (0, ??) 内单调递减,则 a ? 0 ”的逆否命题是“若 a ? 0 ,则幂函数

f ( x) ? xa 在 (0, ??) 内单调递增”
B.已知命题 p 和 q ,若 p ? q 为假命题,则命题 p 与命题 q 中必有一个是真命题、一个是假命题 C.若 x, y ? R ,则“ x ? y ”是“ xy ? (

x? y 2 ) ”的充要条件 2
2

2 D.若命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0

7 .设 a , b 是两条直线, ? , ? 是两个平面,则下列四组条件中:

-1-

① a ? ? , b ∥ ? ,? ? ? ; ③ a ? ? , b ? ? ,? ∥ ? ; 能推得 a ? b 的条件有( A. 1 B. 2

② a ? ? , b ? ? ,? ? ? ; ④ a ? ? , b ∥ ? ,? ∥ ? 。 )组。 C. 3 D. 4

8 . 右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《 九章算术》
中的“更相减损术”. 执行该程序框图,若输入 a , b , i 的值分别为 6 , 8 , 0 ,则输 出 a 和 i 的值分别为( A. 0 , 3 ) C. 2 , 3 D. 2 , 4

B. 0 , 4

9 .设 a ? (4, 3) ,a 在 b 方向上射影的数量为

5 2 ,b 在 x 轴正方向 2


上的射影的数量为 2 ,且 | b |≤14 ,则 b = ( A. (2, 14) B. ( 2, ? )

2 7

C. ( ?2, )

2 7

D. (2, 8)

10 .已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 恰为双曲线
的连线过点 F ,则双曲线的离心率为( )

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点,且两曲线交点 a 2 b2

A .2? 2

B. 2

C .2

D . 1? 2


? 3 11 .若 f ( x) ? x sin x ? cos x ,则 f (1) , f ( ) 以及 f ( ) 的大小关系是( 2 2 ? 3 ? 3 A. f (1) ? f ( ) ? f ( ) B. f ( ) ? f ( ) ? f (1) 2 2 2 2 3 ? 3 ? C. f ( ) ? f ( ) ? f (1) D. f (1) ? f ( ) ? f ( ) 2 2 2 2
x

? x 2 ? ? a ? b ? x ? 2, x ? 0 12 .已知实数 a与b 分别是方程 x ? lg x ? 4 与 x ? 10 ? 4 的解, 若函数 f ? x ? ? ? , x?0 ? 2,
则关于 x 的方程 f ? x ? ? x 的解的个数是( A. 1 B. 2 ) C.3 D. 4

第Ⅱ卷(60 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13—第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22—24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分) 13 .已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,若

-2-

? 5? f ( ) ? f (? ) ? 2 ,则函数 f ( x) 的单调增区间为 12 12
14.一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截去一部分后,所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积 为________.

?x ? y ? 1 ? 0 3x ? 2 y ? 5 ? 15. 如果实数 x , y 满足 ? y ? 1 ? 0 ,则 的取值范围是 x ?1 ?x ? y ? 1 ? 0 ?
16.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S n ? 2an ? 2 n?1 (n ? N ? ) ,则 数列 ?an ? 的通项公式为

三.解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分)

?ABC 中,角 A 对边长为 2 ,向量 m ? (2,2 cos 2
( 1 )求 m ? n 取得最大值时的角 A ;

A B?C ? 1) ,向量 n ? (sin ,?1) 2 2

( 2 )在(1)的条件下,求 ?ABC 面积的最大值。 18. 某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试, 现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩, 整理数据 并按分数段 , , , , , 进行分组,假设同一组中的每个数据 可用该组区间的中点值代替,则得到体育成绩的折线图(如下)

(Ⅰ)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好” .已知该校高一年级有 1000 名学生,试估计 高一年级中“体育良好”的学生人数;
-3-

(Ⅱ)为分析学生平时的体育活动情况,现从体育成绩在 和 的样本学生中随机抽取 2 人, 求在抽取的 2 名学生中,至少有 1 人体育成绩在 的概率; (Ⅲ)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为 ,且分别在 , , 三组中,其 中 .当数据 的方差 最大时,写出 的值. (结论不要求证明) (注: ,其中 为数据 的平均数 )

19. 如图,在四棱柱 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求证: (Ⅲ)若 平面 ; ,判断直线 ;

中,

底面









与平面

是否垂直?并说明理由.

20. (本小题满分 12 分)

已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,若椭圆 C 上的点 A(1,

3 ) 到 F1 , F2 两点的距离之和等于 2

4.
( 1 )写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; ( 2 )过点 P (1, ) 的直线与椭圆交于两点 D 、 E ,若 DP ? PE ,求直线 DE 的方程; ( 3 )过点 Q(1,0) 的直线与椭圆交于两 点 M 、 N ,求 ?OMN 面积的最大值。

1 4

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a (a, b ? R)
3 2 2

(1)若函数 f ( x)在x ? 1 处有极值 10 ,求 b 的值; (2)若对任意 a ???4, ??? , f ( x)在x ?[0,2] 上单调递增,求 b 的取值范围。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 2 2. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何 证明选讲 A D E

-4-

如图 ?ABC 内接于圆 O , AB ? AC ,直线 MN 切圆 O 于 点 C ,弦 BD // MN , AC与BD 相交于点 E . (Ⅰ)求证 ?ABE ≌ ?ACD ; (Ⅱ)若 AB ? 6, BC ? 4, 求AE .

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程: 已知圆锥曲线 ?

? x ? 2 cos? ? y ? 3 sin ?

( ? 是参数)和定点 A(0, 3 ) , F1 , F2 是圆锥曲线的左、右焦点。

( 1 )求经过点 F1 垂直于直线 AF2 的直线 l 的参数方程; ( 2 )以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标方程。

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | , g ( x) ? ? | x ? 3 | ? m . (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 ( a ? R ) ; (2)若函数 f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方,求 m 的取值范围.

沈阳二中 2015-2 016 学年度下学期第四次模拟考试 高三(16 届)数学(文)答案 一.选择题: CACCA, 二.填空题:

CCDBD,

DC

13.[?

5? ? ? k? , ? k? ](k ? Z ). 12 12

14.

23 . 3

15. [4,7].

16. a n ? (n ? 1) ? 2 n.

三.解答题:

3 ? 17.(1)m ? n取得最大值 时,角A ? ; 2 3 (2)?ABC面积最大为 3
18.(Ⅰ)由折线图,知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 所以该校高一年级学生中, “体育良好”的学生人数大约有 (Ⅱ)设 “至少有 1 人体育成绩在 记体育成绩在 的数据为 , ”为事件 ,体育成绩在 , 的数据为 , , ,
-5-

人, 人.

则从这两组数据中随机抽取 2 个,所有可能的结果有 10 种,它们是 : , 而事件 因此事件 , , , , , , , , , ,

, . ,



的结果有 7 种,它们是: 的概率 . , ,





(Ⅲ)a,b,c 的值分别是为 19.解: (Ⅰ)证明:因为 因为 又因为 又因为 (Ⅱ)证明:因为 又因为 又因为 (Ⅲ)结论:直线 证明:假设 由棱柱 可得 又因为 又因为 这与四边形 , 平面 底面 , 底面 与平面 平面 , , 平面



平面 ,

, 平面 平面 平面 底面 ,所以

平面

,所以 ,所以 平面

平面 .



,所以平面 ,所以 ,

. . ,所以 平面 . . .

,所以 不垂直. 平面 底面

,由 中, , ,所以 ,所以 为矩形,且

,得 ,



平面 平面 矛盾,

,所以 ,所以

. .

故直线

与平面

不垂直.

-6-

2 0.解:⑴椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.; 又点 A(1,

3 1 3 2 2 ) 在椭圆上,因此 2 ? 2 ? 1. 得 b =1,于是 c =3; 2 4b 2
2

所以椭圆 C 的方程为 x ? y 2 ? 1, 焦点F1 (? 3, 0), F2 ( 3, 0). , 4 ⑵∵P 在椭圆内,∴直线 DE 与椭圆相交,∴设 D(x1,y1),E(x2,y2),代入椭圆 C 的方程得

x12+4y12-4=0, x22+4y22-4=0,相减得 2(x1-x2)+4×2×
∴DE 方程为 4x+4y=5 (3) 当直线 MN 与 x 轴垂直时,方程为 x=1,S△OMN=

1 (y1-y2 )=0,∴斜率为 k=-1 4

3 2

当直线 MN 不与 x 轴垂直 时,设 MN 方程为 y ? k ? x ?1? , M(x1,y1),N(x2,y2)
2 2 2 代入椭圆 C 的方程: 4k ? 1 y ? 2ky ? 3k ? 0

?

?

2k ?3k 2 则 y1+y2= ? 2 , y1y2= 2 ,且△>0 成立. 4k ? 1 4k ? 1

k 2 ?1 ? 3k 2 ? 1 ?2 S△OMN= |y1-y2|= 2 2 2 ?1 ? 4k 2 ?
设t ?

?1 ? 3k

k 2 ?1 ? 3k 2 ?
2

?k

2 2

?

?2

1 k 1 ? 3k 2 ? ?2 1 ? 3k 2 k2
2

1 1 3k 2 ? 1 2 , t ? 3 。记 f (t ) ? t ? t ? 2 , f ?(t ) ? 1 ? t 2 , f (t ) 在 (3, ??) 单调递增 k
16 3 S△OMN< 3 2

f (t ) ? f (3) ?

综上 S△OMN 最大值为

3 2

21.解:(1) f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ∵

f ( x) 在

x ? 1 处有极值 10



?1 ? a ? b ? a 2 ? 10 ? a?4 解得 ? ? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ?b ? ?11

?a ? ?3 ? ?b?3

2 当 a ? 4, b ? ?11 时, f ' ( x) ? 3x ? 8x ? 11,其中 ? ? 0 ,所以函数有极值点, 2 当 a ? ?3, b ? 3 时, f ' ( x) ? 3( x ? 1) ? 0 ,所以函数无极值点,

-7-

∴ (2)

b 的值为-11

f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? , x ? ?0,2? 都成立
则 F (a) ? 2xa ? 3x 2 ? b ? 0 对任意 a ? ?? 4,? ?? , x ? ?0,2? 都成立

∵ ∴

x?0

∴ F ( a ) 在 a ? ?? 4,? ?? 上单调递增或为常函数

F (a) min = F (?4) ? ?8x ? 3x 2 ? b ? 0 对任意 x ? ?0,2? 恒成立
4 16 16 b ? (?3x 2 ? 8x) max ,又 ? 3x 2 ? 8 x ? ?3( x ? ) 2 ? ? 3 3 3 x? 4 3
时取得最大值 ∴ b 的取值范围 ?

即 当

?16 ? ,? ? ? ?3 ?

22 解: (Ⅰ) ?ABE ? ?ACD, ?BAE ? ?EDC ? BD // MN ??EDC ? ?DCN 又直线 MN 为圆的切线,??DCN ? ?CAD ??BAE ? ?CAD 故 ?ABE ≌ ?ACD (Ⅱ)设 AE ? x ,易证 BC ? CD ? BE ? 4 , ?ABE ∽ ?DEC , DE

?

2 x, 3

又 AE ? EC

? BE ? ED ,所以 x ?

10 3

? x? ? ? 23. (1)直线l参数方程是? ?y ? ? ?

3 t ?1 2 (t为参数); 1 t 2

(2)直线AF2的极坐标方程为 ? sin ? ? 3? cos? ? 3
24.解: (1)不等式 f ( x) ? a ? 1 ? 0 即为 | x ? 2 | ?a ? 1 ? 0 , 当 a ? 1 时, x ? 2 ,解集为 (??, 2) ? (2, ??) ; 当 a ? 1 时,解集为全体实数 R ; 当 a ? 1 时,解集为 (??, a ? 1) ? (3 ? a, ??) (2) f ( x ) 的图象恒在函数 g ( x) 图象的上方, 即为 | x ? 2 |? ? | x ? 3 | ?m 对任意实数 x 恒成立,
-8-

即 | x ? 2 | ? | x ? 3 |? m 恒成立, 又对任意实数 x 恒有 | x ? 2 | ? | x ? 3 |≥| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 ,于是得 m ? 5 , 即 m 的取值范围是 ( ??,5)

-9-


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