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2012-2013学年广东省执信中学高一下学期期末考试数学试卷


2012-2013 学年广东省执信中学高一下学期期末考试数学试 卷
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、选择题(题型注释) 1.直线 3x ? y ? 0 的倾斜角为( A. ) C.

? 6

B.

?

3

2? 3

D.

5? 6

? ? ? ? 2.已知向量 a 表示“向东航行 1km” ,向量 b 表示“向南航行 1km” ,则向量 a ? b 表示



) B.向东南航行 2km D.向东北航行 2km )

A.向东南航行 2 km C.向东北航行 2 km

3.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x y ? x 2 ? 2 x } , B ? { y y ? 2x , x ? R} ,则 A ? B 等于( A. {x x ? 2} B. {x 0 ? x ? 1} C. {x x ? 2} D. {x x ? 0}

4.已知等比数列 {an } 中,公比 q ? 0 ,若 a2 ? 4 ,则 a1 ? a2 ? a3 的最值情况为( A.有最小值 ? 4 B.有最大值 ? 4 C.有最小值 12 D.有最大值 12



5.过点 P ( 0, 1 ) 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 相交的所有直线中,被圆截得的弦最长的直线方程 是( ) x ? 0 A. B. y ? 1 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 )

a?b 1 1 6.若不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x x ? ? 或 x ? } ,则 的值为( 2 3 a
A.

1 6

B. ?

1 6

C.

5 6

D. ?

5 6


7.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间 (0,2) 内单调递增的是( A. y ? x B. y ? e x ? e ? x C. y ? x sin x ) D.不确定 ) D. y ? tan x

8.直线 ax ? y ? 2a ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 9 的位置关系是( A.相离
? ?

B.相交

C.相切

9.设 a , b 是两个非零向量,下列选项正确的是( A.若 a ? b ? a ? b ,则 a ? b
? ?

? ?

?

?

?

?

B .若 a ? b ,则 a ? b ? a ? b

? ?

?

?

试卷第 1 页,总 3 页

C.若 a ? b ? a ? b ,则存在实数 ? ,使得 b ? ? a D.若存在实数 ? ,使得 b ? ? a ,则 a ? b ? a ? b
? ?

? ?

?

?

?

?

? ?

?

?

10 . 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 如 图 所 示 , 在 区 间 [ a, b] 上 可 找 到 n(n ? 2 ) 个 不 同 的 数

x1 , x2 ,?, xn ,使得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的取值范围为( ? ??? x1 x2 xn

)

A. {2,3} C. {3,4}

B. {2,3,4} D. {3,4,5}

二、填空题(题型注释)

? b ) 使得 11 . 对 于 定 义 域 为 D 的 函 数 f ?x ? , 若 存 在 区 间 M ? [ a, b]? D( a ,

?y y ? f ?x?, x ? M ?? M 则称区间 M 为函数 f ?x ? 的“等值区间”.给出下列三个函数:
① f ( x) ? ( ) x ;

1 2

② f ( x) ? x 3 ;

③ f ( x) ? log 2 x ? 1

则存在“等值区间”的函数的个数是___________.

a 的取值范围是 . b 2? 2? , cos ) ,则 ? = 13.已知角 ? (0 ? ? ? 2? ) 的终边过 P(sin 3 3
12.在锐角 ?ABC 中,若 A ? 2 B ,则 14.从 0,1, 2,3 中任意取出两个不同的数,其和为 3 的概率是________ . 15.已知两直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与 3x ? ay ? 0 平行,则 a ? ___________ . 16.已知等差数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1 , 2a ? 1 , a ? 4 ,则 a ? 三、解答题(题型注释)





17. 设△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 已知 a ? 1 ,b ? 2 ,cos C ? (Ⅰ)求△ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值. 18.已知圆 C:x2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 ,直线 l 经过点 D(?2,0) ,

1 4

(Ⅰ)求以线段 CD 为直径的圆 E 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 相交于 A , B 两点,且 ?ABC 为等腰直角三角形,求直线 l 的方
试卷第 2 页,总 3 页

程. 19.某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件 ,需另投入成本为 C ( x) , .. 当年产量不足 80 千件时, C ( x ) ?

1 2 x ? 10 x (万元).当年产量不小于 80 千件时, 3

C ( x) ? 51x ?

10000 ? 1450 (万元) ,每件 商品售价为 0.05 万元,通过市场分析,该 .. x

厂生产的商品能全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L( x) (万元)关于年产量 x (千件 )的函数解析式; .. (Ⅱ)年产量为多少千件 时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? .. 20.已知向量 a ? (sin(? ? ?x), cos?x) , b ? (1,1) ,且 f ( x) ? a? b 的最小正周期为 ? (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)若 x ? (0,
? ? ? ?

?

2

) ,解方程 f ( x) ? 1 ;

(Ⅲ)在 ?OAB 中, A( x,2) , B(?3,5) ,且 ?AOB 为锐角,求实数 x 的取值范围. 21.若圆 C 经过坐标原点和点 (6,0) ,且与直线 y ? 1 相切, 从圆 C 外一点 P (a, b) 向该 圆引切线 PT , T 为切点, (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知点 Q(2,?2) ,且 PT ? PQ , 试判断点 P 是否总在某一定直线 l 上,若是, 求出 l 的方程;若不是,请说明理由; (Ⅲ) 若 (Ⅱ) 中直线 l 与 x 轴的交点为 F ,点 M , N 是直线 x ? 6 上两动点, 且以 M , N 为直径的圆 E 过点 F ,圆 E 是否过定点?证明你的结论. 22.已知二次函数 f ( x) ? tx ? 2tx (t ? 0)
2

(Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 1 的解集; (Ⅱ)若 t ? 1 ,记 S n 为数列 {an } 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , an ? 0 (n ? N ? ) ,点

( S n?1 ? S n ,2an?1 ) 在函数 f ( x) 的图像上,求 S n 的表达式.

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:根据题意,由于直线 3x ? y ? 1 ? 0 的方程可知,该直线的斜率为 3 ? tan ? , 因此可知该直线的倾斜角为 ? =60°,选 B. 考点:直线的倾斜角 点评:主要是考查了直线的倾斜角的求解,属于基础题。 2.A 【解析】 试题分析:根据题意由于向量 a 表示“向东航行 1km” ,向量 b 表示“向南航行 1km” ,那么
? ?

? ? 可知向量 a ? b 表示向东南航行 2 km ,故选 A.
考点:向量的物理意义 点评:主要是考查了向量的物理意义的运用,属于基础题。 3.C 【解析】 试 题分 析:根 据题 意,由 于 全 集 U ? R , 集合 A ? { x y ?
2 x ? 2 x}={ x x ? ,或 2 x? 0} ,而

B ? { y y ? 2x , x ? R}={ y y ? 0} ,因此可知 A ? B = {x x ? 2},故答案为 C.

考点:集合的交集 点评:主要是考查了集合的基本运算,属于基础题。 4.C 【解析】 试 题 分 析 : 根 据 题 意 , 由 于 等 比 数 列 {an } 中 , 公 比 q ? 0 , 若 a2 ? 4 ? a1q ? 4 ,

4 4 4 a1 ? a2 ? a3 = (1 ? q ? q 2 )= +4+4q ? 4+2 ? 4q=12 ,故可知 a1 ? a2 ? a3 的最小值为 q q q
12,选 C. 考点:等比数列 点评:主要是考查了等比数列的通项公式 的运用,属于基础题。 5.C 【解析】 试题分析:根据题意,由于过点 P ( 0, 1 ) 与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 相交的所有直线中,被圆截得 的弦最长的直线就是圆心与点 P 的连线的直线,即斜率为-1,那么根据点斜式方程可知,方 程为 x ? y ? 1 ? 0 ,故可知结论为 C. 考点:直线与圆 点评:主要是考查了直线与圆的位置关系的运用,属于基础题。 6.C 【解析】
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1 1 试题分析:根据题意,由于不等式 ax 2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x x ? ? 或 x ? } ,则可知 2 3

a?b 5 1 1 b 1 1 2 = ,故选 C. +(? ) =- , ? (? ) = ,则可知 a=-12,b=-2,.则可知 3 2 a 3 2 a a 6
考点:一元二次不等式 点评:主要是考查了一元二次不等式的解集的运用,属于基础题。 7.B 【解析】 试题分析:根据题意,由于 A . y ? x 不具有奇偶性,定义域不关于原点对称,对于 B. y ? e x ? e? x 是奇函数,在 (0,2) 内是增函数,成立对于 C. y ? x sin x ,是奇函数,但是 不满足递增性,对于 D. y ? tan x ,是奇函数,不满足在 (0,2) 递增,故可知答案为 B. 考点:函数的单调性 点评:主要是考查了函数奇偶性以及单调性的运用,属于基础题。 8.B 【解析】 试题分析:主要是考查了直线 ax ? y ? 2a ? 0 ,圆心为原点,半径为 3,那么利用点到直线 的距离可知, d ?

2a a2 ?1

? 2 ? 3 ,故可知答案为 B.

考点:直线与圆 点评:主要是考查了直线与圆的位置关系的运用,属于基础题。 9.C 【解析】 试题分析:根据题意,由于 a , b 是两个非零向量对于 A.若 a ? b ? a ? b ,则 a ? b ,可 知不垂直,对于 B .若 a ? b ,则 a ? b ? a ? b ,两边平方不成立 ,对于 C .若
? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b, 则存在实数 ? , 使得 b ? ? a 成立, 对于 D. 若存在实数 ? , 使得 b ? ? a , ? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

则 a ? b ? a ? b ,只有方向相反的时候成立故答案为 C。 考点:向量的加减法 点评:主要是考查了向量的加减法几何意义的运用,属于基础题。 10.B 【解析】 试题分析:根据题意,由于函数 y ? f ( x) 的图像,在区间 [ a, b] 上可找到 n(n ? 2) 个不同的 数 x1 , x2 ,?, xn , 使得

? ?

?

?

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) 表示的为原点与点 ? ??? (xn,f(xn ))斜率相 x1 x2 xn

等的问题那么结合图象可知,最多有 4 个。可以有 2 个好 3 个,故答案为 B.
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考点:函数与方程 点评:主要是考查了函数与方程的运用,属于基础题。 11.2 【解析】 试题分析: 根据题意, 由于等值区间的定义可知, 如果函数在某个区间的定义域和值域相同, 则可知,函数有等值区间,对于① f ( x) ? ( ) x 。函数是单调函数,不能存在这样的区间, 对于 ② f ( x) ? x3 ,在[0,1]上满足题意,对于③ f ( x) ? log 2 x ? 1 ,在[1,2]上可知,满足题 意,故可知存在等值区间的函数个数为 2 个,故答案为 2. 考点:新定义 点评:主要是考查了新定义的运用,属于基础题。 12. ( 2 , 3 ) 【解析】 试 题 分

1 2























?ABC







A ? 2 B ? sin A ? sin 2 B ? sin A ? 2sin B cos B ? a ? 2b ?


a 2 ? c2 ? b2 a a 2 ? c2 ? b2 ? ? 2ac b ac

结合内角和定理,则可知, 2 B ? ? ,则可

a 是取值范围是 ( 2 , 3 ) 。 b

考点:解三角形 点评:主要是考查了解三角形的运用,属于基础题。 13.

11 ? 6
2? 2? , cos ) ,那么可知,该 3 3

【解析】 试题分析:根据题意,由于角 ? (0 ? ? ? 2? ) 的终边过 P(sin

点的 P ( 案为

11 3 -1 3 ,结合角的范围可知,? 的值为 ? ,故答 , ) ,则可知该点的正切值为 6 2 2 3

11 ?。 6

考点:任意角的三角函数 点评:主要是考查了任意角的三角函数定义的运用,属于基础题。 14.

1 3

【解析】
2 试题分析:根据题意,由于从 0,1, 2,3 中任意取出两个不同的数,所有的情况有 C4 ? 6 种,

那么可知和为 3 的情况为 1+2=0+3,有两种,那么可知概率为 考点:古典概型概率
答案第 3 页,总 8 页

1 ,故可知答案为 3

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点评:主要是考查了等可能事件的概率的求解,属于基础题。 15. ?

3 2

【解析】 试题分析:根据题意,由于两直线 2 x ? y ? 1 ? 0 与 3x ? ay ? 0 平行,那么可知斜率相等, 即可知 2=

3 3 3 ,得到 a 的值为 ? 。故答案为 ? 。 -a 2 2

考点:两直线平行 点评:主要是考查了两条直线的平行的运用,属于基础题。 16.

1 2

【解析】 试题分析:根据题意,由于等差数列 ?an ? 的前三项依次为 a ? 1 , 2a ? 1 , a ? 4 ,则可知 a-1+a+4=2(2a+1),2a=1,a=

1 1 ,故可知答案为 。 2 2

考点:等差数列 点评:主要是考查了等差数列的通项公式的运用,属于基础题。 17.(1)5 【解析】 试题分析:解: (Ⅰ)∵ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 1 ? 4 ? 4 ?
2 2 2

(2)

11 16 1 ?4 4
1分

∴c ? 2

∴ ?ABC 的周长为 a ? b ? c ? 1 ? 2 ? 2 ? 5 . 2 分
2

15 1 ?1? 2 (Ⅱ)∵ cos C ? ,∴ sin C ? 1 ? cos C ? 1 ? ? ? ? , 4分 4 4 ?4?

∴ sin A ?

a sin C ? c

15 4 ? 15 2 8

6分

∵ a ? c ,∴ A ? C ,故 A 为锐角, 7 分

? 15 ? 7 ? ? ∴ cos A ? 1 ? sin A ? 1 ? ? ? 8 ? 8 ? ?
2

2

8分

∴ cos? A ? C ? ? cos A cos C ? sin A sin C ?

7 1 15 15 11 ? ? ? ? 10 分 8 4 8 4 16

考点:解三角形 点评:主要是考查了两角和差的公式的运用,以及余弦定理,属于基础题。 18. (1) ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 (2) x ? y ? 2 ? 0 或 7 x ? y ? 14 ? 0
答案第 4 页,总 8 页

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【解析】 试题分析:解: (1)将圆 C 的方程 x2 ? y 2 ? 8 y ? 12 ? 0 配方得标准方程为 x2 ? ( y ? 4)2 ? 4 , 则此圆的圆心为 C(0 , 4) ,半径为 2. 2分

所以 CD 的中点 E (?1,2) , | CD |? 22 ? 42 ? 2 5 , 4 分

? r ? 5 ,所以圆 E 的方程为 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ; 5 分
(2) 设直线 l 的方程为: y ? 0 ? k ( x ? 2) ? kx ? y ? 2k ? 0 6分

易知 | CA |? 2 ,又由 ?ABC 为等腰直角三角形,得 | AB |? 2 | CA |? 2 2 , 所以圆心 C 到直线 l 的距离 解得 k ? 1或k ? 7 , 所求直线 l 的方程为: x ? y ? 2 ? 0 或 7 x ? y ? 14 ? 0 10 分

| 0 ? 4 ? 2k | k ?1
2

=

2 | CA | = 2 . 2

8分

考点:圆的方程,直线的方程 点评:主要是考查了直线的方程与圆的方程的求解,属于基础题。

? 1 2 ? x ? 40x ? 250(0 ? x ? 80), ? ? 3 19. (1) L( x) ? ? 10000? ?1200? ? ?x? ?( x ? 80). ? x ? ? ?
(2)当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元 【解析】 试题分析:解: (Ⅰ)因为每件 商品售价为 0.05 万元,则 x 千件 商品销售额为 0.05×1000 x .. .. 万元,依题意得: 当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ?

1 2 x ? 10 x ? 250 3

1 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 . 2 分 3
当 x ? 80 时, L( x) ? (0.05 ?1000 x) ? 51x ? = 1200? ? x ?

10000 ? 1450 ? 250 x

? ?

10000? ?. 4 分 x ?

? 1 2 ? x ? 40x ? 250(0 ? x ? 80), ? ? 3 所以 L( x) ? ? 10000? ?1200? ? ?x? ?( x ? 80). ? x ? ? ?
1 3

6分

2 (Ⅱ)当 0 ? x ? 80 时, L( x) ? ? ( x ? 60 ) ? 950 .

答案第 5 页,总 8 页

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此时,当 x ? 60 时, L( x) 取得最大值 L(60) ? 950万元. 当 x ? 80 时, L( X ) ? 1200 ? ( x ? 当x?

8分

10000 10000 ) ? 1200 ? 2 x? ? 1200 ? 200 ? 1000 x x
11 分

10000 时,即 x ? 100 时 L( x) 取得最大值 1000 万元. x ? 950 ? 1000

所以,当产量为 100 千件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 1000 万元. 12 分 考点:函数的解析式以及函数最值 点评:主要会考查了函数实际运用,属于中档题。 20. (1) ? ? 2 (2) x ?

?

4 10 6 (3) x ? 且x ? ? 3 5
【解析】 试题分析: 解: (Ⅰ) f ( x) ? a? b ? sin(? ? ? x) ? cos ? x ? sin ? x ? cos ? x ?
? ?

?? ?

2?

2 sin(? x ? ) 4

?

2分

?

?? ? 2

4分

(Ⅱ) 由 f ( x) ? 6分 又 x ? (0,

? ? ? ? 3? 2 sin(2 x ? ) ? 1 , ? 2k? ,k ? Z 得 2 x ? ? ? 2 k? 或 2 x ? ? 4 4 4 4 4
?x?

?

2 4 ??? ? ??? ? (Ⅲ) OA ? ( x, 2), OB ? (?3,5) ? ?AOB 为锐角,

),

?

8分

??? ? ??? ? ?0 ? OA ? OB ? ?3x ? 10

10 分? x ?

10 3

又x??

? ??? ? 6 ??? 时 OA 、 OB同向 11 分 5

?x?

10 6 且x ? ? 3 5

12 分

考点:三角函数的性质 点评:主要是考查了三角函数的性质的运用,属于基础题。 21. (1) ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25
2 2

(2) x ? 2 y ? 4 ? 0 (3)圆 E 过定点 (16,0) 和 (?4,0) 【解析】 试题分析:解(Ⅰ)设圆心 C (m, n) 由题易得 m ? 3
答案第 6 页,总 8 页

1分

半径 r ? 1 ? n ?

9 ? n2 ,

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2分 得 n ? ?4 , r ? 5 ( Ⅱ )
2

3分 题
2

所以圆 C 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 25 可 得

4分 所 以



PT ? CT

5 -6 分



PT ?

PC ? CT

? (a ? 3) 2 ? (b ? 4) 2 ? 25
7分

PQ ? (a ? 2) 2 ? (b ? 2) 2

2 2 所以 ( a ? 3) ? (b ? 4) ? 25 ?

(a ? 2) 2 ? (b ? 2) 2

整理得 a ? 2b ? 4 ? 0

所以点 P 总在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上 8 分 (Ⅲ) F (?4,0) 9分 由题可设点 M (6, y1 ) , N (6, y 2 ) ,

则圆心 E (6,

y ? y2 y1 ? y 2 ) ,半径 r ? 1 2 2
2

10 分

y1 ? y 2 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ) ? 从而圆 E 的方程为 ( x ? 6) ? ( y ? 2 4
整 理 得 x 2 ? y 2 ? 12x ? ( y1 ? y2 ) y ? 36 ? y1 y2 ? 0

11 分

又点 F 在圆 E 上,故

FM ? FN ? 0
得 y1 y2 ? ?100
2

?

?

12 分

所以 x ? y ? 12x ? ( y1 ? y2 ) y ? 64 ? 0
2 2

令 y ? 0 得 x ? 12x ? 64 ? 0 , 所以圆 E 过定点 (16,0) 和 (?4,0)

13 分 14 分

所以 x ? 16 或 x ? ?4

考点:圆的方程 点评:主要是考查了圆的方程以及直线方程的求解,属于中档题。

t ? 0 时, 解集是 (??, 22. (1)

?t ? t 2 ? t ?t ? t 2 ? t 解集是 ? ; )?( , ??) ; ? 1 ? t ? 0 时, t t

t ? ?1 时,解集是 (

?t ? t 2 ? t ?t ? t 2 ? t , ) t t

(2) Sn =(2 ? 3n?1 ?1)2 , n ? N ? 【解析】 试题分析:解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 即: tx ? 2tx ? 1 ? 0 ,
2

2 2 ① t ? 0 时,方程 tx ? 2tx ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4t ? 4t ? 0

1分

答案第 7 页,总 8 页

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方程两根为 x ?

?t ? t2 ? t t

2分

解集是 (??,

?t ? t 2 ? t ?t ? t 2 ? t )?( , ??) t t

3分

2 2 ② t ? 0 时,方程 tx ? 2tx ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4t ? 4t 2 Ⅰ)当 4t ? 4t ? 0 ,即 ? 1 ? t ? 0 时,解集是 ?

4分

Ⅱ)当 4t ? 4t ? 0 即 t ? ?1 时,解集是 (
2

?t ? t 2 ? t ?t ? t 2 ? t , ) t t

5分

综上所述, t ? 0 时, 解集是 (??,

?t ? t 2 ? t ?t ? t 2 ? t )?( , ??) ; ? 1 ? t ? 0 时,解集 t t
6分

是 ? ; t ? ?1 时,解集是 ( (Ⅱ) f ( x) ? x ? 2 x
2

?t ? t 2 ? t ?t ? t 2 ? t , ) t t
点 ( S n?1 ?

S n ,2an?1 ) 在函数 f ( x) 的图像上,
7分

即 2an?1 ? ( S n?1 ? 整理得

S n ) 2 ? 2( S n?1 ? S n )

( Sn?1 ? Sn )( Sn?1 ? Sn ? 2) ? 2an?1 ? 2(Sn?1 ? Sn ) ? 2( Sn?1 ? Sn )( Sn?1 ? Sn )
? Sn?1 ? Sn ? 2 ? 2( Sn?1 ? Sn ) ? Sn?1 ? 3 Sn ? 2
9分

? ( Sn?1 ? 1) ? 3( Sn ? 1) ,又 S1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 2 , 10 分
所以 { Sn ? 1}是首项为2,公比为3的等比数列。

? Sn ? 1=2 ? 3n?1

? Sn =(2 ? 3n?1 ?1)2 , n ? N ?

12 分

考点:等比数列 点评:主要是考查了等比数列的通项公式以及求和的运用,属于基础题。

答案第 8 页,总 8 页


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广东省广州市执信中学2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)新人教A版
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广东省执信中学2012-2013学年高一上学期期末数学试题(word版含答案)
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广东省广州市执信中学2012-2013学年高一(下)期末化学试卷
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广东省执信中学2011-2012学年高一下学期期末试题数学1
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