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高中数学必修5(人教A版)第二章数列2.1知识点总结含同步练习及答案


高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法

一、学习任务 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊的函 数. 二、知识清单
数列的概念与表示 数列的周期性 数列的单调性 观察法 数列的有界性

三、知识讲解
1.数

列的概念与表示 描述: 数列的有关概念 数列 (sequence of number)是以正整数集 N ? (或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有 序的数.数列中的每一个数都叫做这个数列的项 .排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(通 常也叫做首项 ),排在第二位的数称为这个数列的第 2 项? ?,排在第 n 位的数称为这个数 列的第 n 项.数列的一般形式可以写成 a1 ,a2 ,a3 ,?,an ,?,简记为 {an }. 项数有限的数列叫做有穷数列 ,项数无限的数列叫做无穷数列 . 如果数列 {an } 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数 列的通项公式 . 如果数列 {an } 的第 n 项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这 个数列的递推公式 . 例题: 写出下列数列的一个通项公式: (1)1, 3, 7, 15, 31 ?; (2)5, 55, 555, 5555, ? ;

1 3 7 15 31 , , , , ?; 2 4 8 16 32 (4)1, 2, 1, 2, 1, 2, ? .
(3)

解:(1)观察发现各项分别加上 1 ,变为 2, 4, 8, 16, 32, ?,其通项公式为 b n = 2 n ,故原数列 的通项公式为

an = 2 n ? 1; 9

9 ,变为 9, 99, 999, 9999, ?,各项再加上 1 ,变为 5 10, 100, 1000, 10000, ?,此数列的通项公式为 b n = 10n ,故原数列的通项公式为
(2)观察发现各项乘以

an =

5 (10n ? 1); 9

(3)观察发现分母为 2, 4, 8, ? ,符合 2 n ,而分子比分母少 1 ,故原数列的通项公式为

an =

2n ? 1 ; 2n

(4)解法一:可写成分段函数形式,即

an = { 1, 2,

n为奇数, n为偶数.

解法二:原数列可看成由 1, 1, 1, 1, ? 与 0, 1, 0, 1, ? 两个数列合成的,所以

an = 1 +
已知数列的通项公式是 an = (1)求该数列的第 10 项; (2)

1 + (?1)n 3 + (?1)n = . 2 2

2n : n+2

14 是否为该数列中的项?若是,是第几项? 9 2 × 10 5 解:(1)该数列中的第 10 项 a10 = = ; 10 + 2 3 14 2n 14 14 (2)令 an = ,即 ,解得 n = 7.所以 是数列中的项,且为第 7 项. = 9 n+2 9 9
根据递推公式写出数列的前 5 项: (1)a1 = 6 ,an =

1 an?1 (n ? 2且n ∈ N + ); 2 (2)a1 = 1 ,a2 = 2 ,an = an?1 + an?2 (n ? 3且n ∈ N + ) . 1 1 3 1 3 1 3 解:(1)a2 = a1 = 3 ,a3 = a2 = ,a4 = a3 = ,a5 = a4 = ,所以该数列 2 2 2 2 4 2 8 3 3 3 的前 5 项分别为 6, 3, , , ; 2 4 8 (2)a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3 ,a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5 ,a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8 ,所以 该数列的前 5 项分别为 1, 2, 3, 5, 8 .

2.数列的单调性 描述: 从第二项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列;
从第二项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列;

各项都相等的数列叫做常数列; 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列.
2

例题:

已知数列{an }满足 an = 解:因为

n2 ,试判断{an }的单调性. n2 + 1 (n + 1)2 n2 n2 + 1 > 0,

an+1 ? an = =
所以

(n + 1)2 + 1 2n + 1

?

[(n + 1)2 + 1](n2 + 1)

an+1 > an (n ∈ N + ),
因此数列{an }是递增数列. 在数列{an }中,an = (n + 1)(

(1)求证:数列{an }先递增,后递减; (2)求数列{an }的最大项. 证明:(1)因为 an = (n + 1)( 因为

10 n ) (n ∈ N + ): 11 10 n ) (n ∈ N + ),所以 an > 0. 11 (n + 2) ( 10 n+1 ) 11

an+1 ?1= an

10 n (n + 1)( ) 11 n?9 =? . 11(n + 1)

?1

当 n < 9 时,

所以数列{an }从第 1 项到第 9 项递增,从第 10 项起递减. (2)由(1)知,数列{an }从第 1 项到第 9 项递增,从第 10 项起递减,且 a9 = a10 ,所以

an+1 an

an+1 > 1 ,即 an+1 > an ;当 n = 9 时,a10 = a9 ;当 n > 9 时, an < 1 ,即 an+1 < an .

{an }最大项为 a9 = a10 =

1010 119



3.数列的有界性 描述: 若数列{an }满足:对一切 n 有 an ≤ M (其中 M 是与 n 无关的常数),称数列{an }上有 界(有上界)并称 M 是它的一个上界;对一切 n 有 an ≥ m (其中 m 是与 n 无关的常 数), 称数列{an }下有界(有下界)并称 m 是它的一个下界. 一个数列{an },若既有上界又有下界,则称之为有界数列.数列{an }有界的一个等价定义是:存 在正实数 X ,使得数列的所有项都满足 |an | ? X ,n = 1,2 ,3 ,? ?. 例题: 对于数列 {an }, 若存在正实数 T ,使得数列 {an } 的所有项都满足 |an | ? T ,n = 1,2 ,

{

}

3 ,? ?.则称数列 {an } 为有界数列.下列数列
号).

{

n}

{

n}

|

n|

{an } 为有界数列的是______(写出满足条件的所有序

?

① an = n ? 2 ;② an =

解:②③ 对于①,|an | = |n ? 2| ? 0 ,因为当 n > 2 时,数列单调递增,不存在实数 T 满足 |an | ? T ,故不是有界数列; 对于②,因为 an =

1 1 ;③ an = n . n+2 2

|an | ? T ,所以是有界数列; 1 1 对于③,因为 an = n > 0 ,且为关于 n 的单调递减数列,则 |an | ? a1 = ,故为有界数 2 2
列. 已知数列 {an } 的通项公式为 an = n2 ? 5n + 4 . (1) 数列中有几项是负的? (2) an 是否存在最大值和最小值?若存在,请求出;若不存在,请说明理由. 解:(1)由 n2 ? 5n + 4 < 0,解得 1 < n < 4. 因为 n ∈ N + ,所以 n = 2, 3 ,所以数列中有两项是负的.

1 1 1 > 0,且数列单调递减,则 |an | ? a1 = ,故存在 T = ,使得 n+2 3 3

5 2 9 5 ) ? ,对称轴方程为 n = . 2 4 2 又因为 n ∈ N + ,故 n = 2 或 3 时,an 有最小值,其最小值为 a2 = a3 = 2 2 ? 5 × 2 + 4 = ?2 .显然没有最大值.
(2) 因为 an = n2 ? 5n + 4 = (n ?

4.数列的周期性 描述: 对于数列{an },如果存在正整数 T ,对于任意的 n ∈ N + ,恒有 an = an+T 成立,则称数列 {an }是周期数列.T 的最小值称为最小正周期,简称周期. 例题: 已知数列{an }满足 a1 = 0 ,an+1 = A. 0 解:B 由 B.?√3

an ? √3 (n ∈ N ? ) ,则 a20 =( √3 an + 1
C.√3

) D.

√3 2

an ? √3 (n ∈ N ? ) 得, a2 = ?√3 ,a3 = √3 ,a4 = 0 ,? √3 an + 1 由此可知数列 {an } 是周期变化的,且周期为 3 ,所以可得 a20 = a2 = ?√3 . a1 = 0 ,an+1 = {an } 中,S n 是其前 n 项和,若 a1 = 1 ,a2 = 2 , an an+1 an+2 = an + an+1 + an+2 ,且 an+1 an+2 ≠ 1 ,则 a1 + a2 + a3 = ______,S 2010 =
已知数列 ______ . 解: 6 ; 4020 由已知条件可计算出

a3 = 3 ,a4 = 1 ,a5 = 2 ,a6 = 3 ,? ,即{an }是周期为 3 的数 2010 列,且 a1 + a2 + a3 = 6 ,所以 S 2010 = × 6 = 4020 . 3

5.观察法

描述: 观察法
观察法就是写出数列前面若干项进行观察,横向看各项之间的关系,纵向看各项与序数的联系,

寻找共同的构成规律,找出各项与项的序号 n 的函数关系,从而归纳出数列的通项公式的方 法,这样得到的数列的通项公式严格上来说需要进行证明. 例题: 根据数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式: (1)

1 4 9 16 , , , ,?; 2 5 10 17 (2)1, 0, 1, 0, 1, ? ; 3 1 5 1 7 (3)1, , , , , , ? . 2 3 4 5 6 解:(1)观察发现数列的分子1, 4, 9, 16, ?符合 n2 ,而分母比分子大1 ,故通项公式 n2 . an = 2 n +1 1 + (?1)n+1 (2)通项公式可写成 an = .  2 ? ?1, n为奇数, (3)通项公式可写成 an = ? n ? ? n + 1 , n为偶数. n
已知数列 {an } 中,a1 = 1 ,an+1 =

{an } 的通项公式.
解:因为 an+1 =

2an (n ∈ N + ) ,写出数列的前五项,并猜想数列 an + 2

2an 2a1 2 2a2 1 ,且 a1 = 1 ,所以 a2 = , = , a3 = = 3 2 an + 2 a1 + 2 a2 + 2 2a3 2 2a4 1 = , a5 = = . a4 = 5 3 a3 + 2 a4 + 2 2 故猜想数列 {an } 的通项公式为 an = . n+1

四、课后作业

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1. 函数 y = f (x) 满足:对任意 a1 ∈ (0, 1),由关系式 an+1 = f (an ) 得到的数列 {an } 满足

an+1 > an (n ∈ N ? ) ,则该函数的图象是 (

)

A.

B.

C.

D.
答案: A 解析: 由已知得

f (an ) > an ,即 y = f (x) 的图象在 y = x 的图象的上方. 1 , n ∈ N ? ,能使 an = b 的 n 可以等于 ( an + 1
C.16 D.17

2. 已知数列 {an } 中,a1 = b ,b > 0 ,an+1 = ? A.14
答案: C

)

B.15

3. 数列 1, 3, 6, 10, 15, ? 的递推公式是 ( A.{

)

a1 = 1 an+1 = an + n, n ∈ N ? B.{ a1 = 1 an = an?1 + n, n ∈ N ? , n ? 2 =1 C.{ a1 an+1 = an + (n + 1) , n ∈ N ? , n ? 2 =1 D.{ a1 an = an?1 + (n ? 1) , n ∈ N ?
答案: B 解析: 把

n = 1, 2, 3 代入选项检验,可知只有 B 适合. 11 n 11 2 11 n n2 + , n ∈ N ? .当 an 取得最大值时 a1 + ( ) a2 + ? + ( ) an = 9 2 2 9 9
B.5 C.6 D.7

4. 数列 {an } 满足

n 等于 (
A.4
答案: B

)

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