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专题二:带电粒子在有界磁场中的运动


一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律 ★
1、带电粒子在磁场中( v⊥B)只受洛仑兹力, 粒子 做 匀速圆周 运动 。 2、轨道半径:R=mv/qB 3、周期:T=2πm/qB

二、粒子运动的物理量与轨道圆几何量的对应关系
1、粒子运动的轨迹——————圆周

2、粒子所受洛仑兹力的方向——圆半径的方向
3、

粒子运动的速度方向————圆的切线方向 4、粒子运动的速度偏向角 (起始速度方向与终态速度方向的夹角———圆的圆心角 ———2倍弦切角

一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
1、带电粒子在磁场中( v⊥B)只受洛仑兹力, 粒子 做 匀速圆周 运动 。 2、轨道半径:R=mv/qB 3、周期:T=2πm/qB

二、粒子运动的物理量与轨道圆几何量的对应关系
三、处理带电粒子在匀强磁场中运动的一般步骤
1、找圆心 2、画轨迹 3、定半径 4、找圆心角



※处理问题的关键: 确定运动轨迹

三、处理带电粒子在匀强磁场中运动的一般步骤
1、找圆心 2、画轨迹 3、定半径 4、找圆心角

四、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 1、物理方法:

三、处理带电粒子在匀强磁场中运动的一般步骤
1、找圆心 2、画轨迹 3、定半径 4、找圆心角

四、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 1、物理方法: ★
作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力,沿其方向 延长线的交点确定圆心,从而确定其运动轨迹。

2、物理和几何方法:

2、物理和几何方法 例2:如图所示,在y<0的区域内存在匀强磁场,磁 场方向垂直于xy平面并指向纸面外,磁感应强度为 B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场,入射 方向在xy平面内,与x轴正向的夹角为θ。若粒子 射出磁场的位置与O点的距离为L,求该粒子的电量 和质量之比q/m。
y

p

o

θ

x v

2、物理和几何方法 例2:如图所示,在y<0的区域内存在匀强磁场,磁 场方向垂直于xy平面并指向纸面外,磁感应强度为 B。一带正电的粒子以速度v0从O点射入磁场,入射 方向在xy平面内,与x轴正向的夹角为θ。若粒子 射出磁场的位置与O点的距离为L,求该粒子的电量 和质量之比q/m。 y 解: 作出粒子运动轨迹如图。
设P点为出射点。 粒子的运动半径:r=mv/qB
由几何知识: 粒子的运动半径:rsinθ=L/2 由上两式可得粒子的荷质比: q/m=2vsinθ/BL
v p
θθ
F洛

o

θ

x v

三、处理带电粒子在匀强磁场中运动的一般步骤
1、找圆心 2、画轨迹 3、定半径 4、找圆心角

四、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 1、物理方法:
作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力,沿其方向 延长线的交点确定圆心,从而确定其运动轨迹。

2、物理和几何方法:
作出带电粒子在磁场中某个位置所受洛仑兹力,沿其方向 的延长线与圆周上两点连线的中垂线的交点确定圆心,从 而确定其运动轨迹。

3、几何方法:

3、几何方法 例3:一带电质点,质量为m、电量为q,以平行 于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限 所示的区域,为了使该质点能从x轴上的b点以垂 直于Ox轴的速度v射出,可在适当的地方加一个 垂直于Oxy平面、磁感应强度为B的匀强磁场,若 此磁场仅分布在一个圆形区域内,试求这个圆形 磁场区域的最小半径(重力忽略不计)。
y a→
v

O

b v

x

3、几何方法
解: 过a、b两点分别作平行x轴 y 和y轴的平行线且交于P点; v 过P点作角∠aPb的角平分线,→M a 然后在角∠aPb的平分线上取一 点O`,以O`为圆心,以R为半径 作圆与aP和bP分别相切于M点 O` 和N点, 粒子的运动迹为MN的 O 一段圆弧。 质点在磁场中作圆周运动, 半径为:R=mv/qB

P
N v b

x

连接MN,所求的最小磁场区域应以MN为直径的圆形区域。 故所求磁场区域的最小半径为:

r=MN/2=

R2+R2 2=

2 R 2=

2 mv 2qB

三、处理带电粒子在匀强磁场中运动的一般步骤
1、找圆心 2、画轨迹 3、定半径 4、找圆心角

四、确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 1、物理方法:
作出带电粒子在磁场中两个位置所受洛仑兹力,沿其方向 延长线的交点确定圆心,从而确定其运动轨迹。

2、物理和几何方法:
作出带电粒子在磁场中某个位置所受洛仑兹力,沿其方向 的延长线与圆周上两点连线的中垂线的交点确定圆心,从 而确定其运动轨迹。

3、几何方法:
①圆周上任意两点连线的中垂线过圆心②圆周上两条切线 夹角的平分线过圆心③过切点作切线的垂线过圆心

一、带电粒子在匀强磁场中的运动规律
1、带电粒子在磁场中( v⊥B)只受洛仑兹力, 粒子 做 匀速圆周 运动 。 2、轨道半径:R=mv/qB
3、周期:T=2πm/qB

4、运动具有对称性

*圆对称性的应用 例1 :如图所示,正、负电子初速度垂直于 磁场方向, 沿与边界成 30°角的方向射入匀强磁场中,求它们在磁 场中的运动时间之比. 解析:正电子将沿逆时针方向运动,经过磁场的 偏转角为: φ1=2θ=60 ° 负电子将沿顺时针方向运动,经过磁场的偏转角为 φ2=360 °- 2θ=300 °
因为正、负电子在磁场中运动的周期相同 (T=2πm/qB ),
φ1

θ
φ2

故它们的角速度也相同, 根据 φ=ωt 可知,正、负电子在磁 场中运动的时间之比为: t1 / t2= φ1 / φ2 =1/5

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*圆对称性的应用

例2:在真空中半径为r=3cm的圆形区域内有一匀强磁场, B=0.2T ,方向如图示,一带正电的粒子以速度 v=1.2×106m/s 的初速度从磁场边界上的直径ab一端的a 点射入磁场,已知该粒子的荷质比q/m=108C/kg,不计粒 子重力,则粒子在磁场中运动的最长时间为

5.2×10-8 s。
a 分析: V以不同方向入射,以ab为 弦的圆弧θ最大,时间最长. 圆周运动的半径 R=mv/qB = 10-8 × 1.2×106÷0.2 = 0.06m ∴ θ =30° T=2πR/v ∴ t=T/6=5.2×10-8 s
6cm θ

b

※带电粒子在有界磁场中运动常见考察背景
O
V θ P S

L
B

M O,
N

A

V
d B 300 V

A

O

O

B

图1 一、带电粒子 在半无界磁场 中的运动
O r1

P 图3 二、带电粒子 在圆形磁场中 的运动

三、带电粒子在 图5 长足够大的长方 形磁场中的运动

l
+q V

V l

图6 四、带电粒子在正方 形磁场中的运动

五、带电粒子在环 状磁场中的运动

※解决带电粒子在有界磁场中运动的要点 1、牢记带电粒子在磁场中的运动规律: ①带电粒子在磁场中( v⊥B)只受洛仑兹力, 做匀速圆周 运动,洛仑兹力提供向心力 ②运动具有对称性: (Ⅰ)从同一边界射入、射出,速度方向与边界 的夹角相等; (Ⅱ)圆形磁场内,沿径向射入的粒子, 必沿径向射出。 2、处理问题的一般步骤: ①找圆心 ; ②画轨迹;③定半径; ④找圆心角 3、确定运动轨迹的方法: ①两半径定圆心,从而定其运动轨迹 ②弦中垂线定圆心,从而定其运动轨迹。

思 考 题 1、如图所示,空间分布着如图所示的匀强电场E (宽度为L)和匀强磁场B(两部分磁场区域的磁感 应强度大小相等,方向相反),一带电粒子电量为 q,质量为m(不计重力),从A点由静止释放,经 电场加速后进入磁场穿过中间磁场进入右边磁场后 能按某一路径而返回A点,重复前述过程。求中间 磁场的宽度d和粒子的运动周期。
→ E → × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × B2 × × × × ×

A

→ → → B1

思 考 题
→ 作出粒子运动轨迹如图。 解: O 设粒子在电场中加速后速度为v,所 → 60 需时间为t1。 → M vA 由动能定理及动量定理可得: → qEL=mv2/2 ………① 60 O qEt1=mv-0 ………② → 粒子进入磁场后做圆周运动, 半径为: R=mv/qB………③
3 1

× × × × × × × × × ×
O

× × × × ×
60O
O

O2

× × × × ×
N× × × × ×

× × × × ×

2mL 2qEL m 由①②可得:1= t 由①③可得:R= qE qB m d=Rsin60o= 6qmEL2qB 由几何知识,中间磁场的宽度为: 粒子在中间磁场运动时间: t2=T/3=2πm/3qB t3 粒子在右边磁场中运动时间:=5T/6=5πm/3qB 故粒子运动周期为:T=2t1+t2+t3= 2mL qE + 7πm/3qB

思 考 题 2、如图所示,虚线MN是一垂直 M 纸面的平面与纸面的交线,在平 面右侧的半空间存在一磁感应强 O 度为B、方向垂直纸面向外的匀 强磁场。O是MN上的一点,从O点 可以向磁场区域发射电荷量为+q、 P 质量为m、速率为v的粒子,粒子 射入磁场时的速度可在纸面内各 N 个方向,已知先后射入的两 个粒子恰好在磁场中给定的P点相遇,P到O的距离 为L,不计重力和粒子间的相互作用。 (1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径; (2)求这两个粒子从O点射入磁场的时间间隔。

思 考 题
解: 作出粒子运动轨迹如图。 质点在磁场中作圆周运动, 半径为:R=mv/qB 周期为:T=2πm/qB 从O点射入到相遇,粒子1、 2的路径分别为: OMP、ONP 由几何知识:cosθ=L/2R 得:θ=arccos(L/2R) t 粒子1运动时间: 1=T/2+T(2θ/2π) t 粒子2运动时间: 2=T/2-T(2θ/2π) 故两粒子运动时间间隔:

M

O

v1 v2
N θ θ

M

O1
2 θ 2 θ

O2

Q1
P

Q2
N

△t=t1 -t2=2Tθ/π=

4m .arccos(LBq ) 2mv Bq

思 考 题
3、如图所示,在xoy平面内有垂直坐标平面且范围足够大 的匀强磁场,磁感应强度为B,一带正电荷量q的粒子,质 量为m,从O点以某一初速度射入磁场,其轨迹与x、y轴的 交点A、B到O点的距离分别为a、b,试求:粒子的初速度。

练习1:一束带电粒子以同一速度,并从同一

位置进入匀强磁场,在磁场中它们的轨迹如图
所示.粒子q1的轨迹半径为r1,粒子q2的轨迹半径

为r2,且r2=2r1,q1、q2分别是它们的带电量.则

正 负 q1 带___电、q2带____电,荷质比之比为 q1/m1 :

2:1 q2/m2 = ___________.
解:

r=mv/qB

∴q/m=v/Br∝1/r ∴q 1/m1 : q2 /m2 = r2/r1 = 2:1
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练习2:一质子及一α粒子,同时垂直射入同一匀强磁场中. (1)若两者由静止经同一电势差加速的,则旋转半径之比 为 1: 2 ;(2)若两者以相同的动量进入磁场中,则 旋转半径之比为 2:1 ;(3)若两者以相同的动能进入 磁场中,则旋转半径之比为 1:1 ;(4)若两者以相同 速度进入磁场,则旋转半径之比为 1:2 。

解:(1) qU= 1/2mv2
mv ? m 2qU m

R=mv/qB 质子 m1=1 q1=1
α粒子 m2=4 q2=2

? 2qmU

R1 / R2 ? m1

q1

: m2

q2

? 1

2

(2) R1/R2=q2 /q1=2 (3) p ? mv ? 2mEK ? m ∴ R1/R2=1 (4) R1/R2=m1 q2 /m2 q1=1:2
R ? mv/ qB ? m q
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*一般步骤 例1:如图所示,一束电子(电量为e)以速度v垂 直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场中, 穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角 是30o,则电子的质量是多少?穿透磁场的时间又 是多少? 解: 找圆心O、 画轨迹—如右图所示 定半径—电子的运动半径:r=mv/eB 由几何知识: 电子的运动半径:r=d/sin30o=2d 由上两式可得电子质量:m=2Bed/v 电子穿透磁场的时间为: t=T/12=2πm/12eB=πd/3v
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