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2.3 线面垂直、面面垂直的判定


课题一:直线与平面垂直的判定
一、教学目标 1.掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; 2.掌握判定直线和平面垂直的方法; 3.培养几何直观能力,在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括结论。 二、教学重点、难点 直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。 三、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 1、提出问题:在现实生活中,我们经常看到一些直线与平面垂直的现象,例如: “旗

杆与地面, 大桥的桥柱和水面等的位置关系” 。 2、指出:一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关 系引出课题内容。 (二)研探新知 1、长方体模型 (1)感知直线与平面的垂直关系。 (2)能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢?概括其定义。 如果直线 L 与平面α 内的任意一条直线都垂直, 我们就说直线 L 与平面α 互相垂直, 记作 L⊥α , 直线 L 叫做平面α 的垂线,平面α 叫做直线 L 的垂面。如图 2.3-1,直线与平面垂直时,它们唯一公共 点 P 叫做垂足。并对画示表示进行说明。 L

p α 图 2-3-1 2、提出问题,思考: (1)问题:虽然可以根据定义判定直线与平面垂直,但这种方法实际上难以实施。有没有比较方 便可行的方法来判断直线和平面垂直呢? (2)活动:准备一块三角形的纸片,做如图 2.3-2 试验:过△ABC 的顶点 A 翻折纸片,得到折痕 AD,将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD、DC 与桌面接触) ,问如何翻折才能保证折痕 AD 与桌面所 在平面垂直?
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A

B

D 图 2.3-2

C

(3)归纳结论: 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 特别强调:a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 (三)实际应用,巩固深化 例 1、如图,已知 a // b, a ? ? ,求证: b ? ? (分析:线面垂直 ? 线线垂直 ? 线面垂直)

例 2、在正方体 ABCD ? A ' B ' C ' D ' 中,求直线 A' B 和平面 A ' B ' C ' D ' 所成的角.

例 3、 已知 AB 为平面 ? 的一条斜线,B 为斜足,AO⊥平面 ?,垂足为 O,直线 BC 在平面 ? 内, 已知∠ABC=60°,?OBC=45°,求斜线 AB 和平面α所成的角.

例 4、 平行四边形 ABCD 所在平面?外有一点 P,且 PA=PB=PC=PD,求证:点 P 与平行四边形对角 线交点 O 的连线 PO 垂直于 AB、AD
王新敞
奎屯 新疆

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例 5、如图,已知 AP ? ? O 所在平面,AB 为 ? O 的直径,C 是圆周上的任意,过点 A 作 AE ? PC 于点 E. 求证: AE ? 平面 PBC.

(四)归纳小结,课后思考 小结: ① 请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。 ② 直线与平面垂直的判定定理,体现的教学思想方法是什么? ③ 直线与平面的位置关系可以用直线与平面所成的角来度量. 线面垂直和线面平行是特殊情况. ④ 斜线与平面所成的角是该斜线与平面内任意直线所成角中最小的角. ⑤ 求一斜线与平面所成的角的关键是找出该斜线在平面内的射影. 练习 1、求证:如果一条直线平行于一个平面,那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。

2、如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线就和这个平面垂直,这个结论对吗?为 什么?

3、平行四边形 ABCD 所在平面 ? 外有一点 P ,且 PA ? PB ? PC ?PD ,求证:点 P 和平行四边形 对角线交点 O 的连线 PO 垂直于 BC 和 AB .

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补充例题: 例 6.已知:平面 ? 和一点 P ,求证:过点 P 与 ? 垂直的直线只有一条. 证明:不论 P 在平面 ? 内或外,设直线 PA ? ? ,垂足为 A(或 P )若另一直线 PB ? ? ,设 PA ,PB
?

确定的平面为 ? ,且 ? ? ? ? a ∴ PA ? a, PB ? a
?

?
P

A

B

a P

?

A

B

a

又∵ PA, PB 在平面 ? 内,与平面几何中的定理矛盾 所以过点 P 与 ? 垂直的直线只有一条。

例 7.定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. (线面垂直的性质定理) 已知:如图, a ? ? , b ? ? 求证: a // b
a b b'

证明: (反证法)假定 b 不平行于 a ,则 b 与 a 相交或异面; (1)若 a 与 b 相交,设 a ? b ? A , ∵ a ? ?,b ? ? ∴过点 A 有两条直线与平面 ? 垂直,
?
O

此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾,∴ a 与 b 不相交; (2)若 a 与 b 异面,设 b ? ? ? O ,过 O 作 b? // a , ∵a ?? ∴ b? ? ? 又∵ b ? ? 且 b ? b? ? O ,

∴过点 O 有直线 b ? 和 b 垂直于 ? 与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾, ∴ b 与 a 不异面,综上假设不成立, ∴ a // b .

说明:例 1 和例 2 结论可直接应用于其他的解题过程中.

例 8.已知直线 l ? 平面 ? ,垂足为 A ,直线 AP ? l ,求证: AP 在平面 ? 内. 证明:设 AP 与 l 确定的平面为 ? , 如果 AP 不在 ? 内,则可设 ? ? ? ? AM , ∵ l ? ? ,∴ l ? AM ,又∵ AP ? l , 于是在平面 ? 内过点 A 有两条直线垂直于 l ,

?
l A P M

?

这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾,所以 AP 一定在平面 ? 内. 点到平面的距离:从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足间线段的长,叫做点到平面的距离。
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课题二:平面与平面垂直的判定
一、教学目标 (1)正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平面互相垂直”的概念; (2)掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; (3)理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 二、教学重点、难点。 重点:平面与平面垂直的判定; 三、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 问题 1:平面几何中“角”是怎样定义的? 问题 2:在立体几何中, “异面直线所成的角” 、 “直线和平面所成的角”又是怎样定义的?它们有 什么共同的特征? (二)研探新知 1、二面角的有关概念 展示一张纸面,对折观察其状,用数学思维思考,并对以上问题类比,归纳出二面角的概念及记 法表示(如下表所示) 角 A 边 O 边 B A 梭 l B α β 二面角 难点:如何度量二面角的大小。

定义

从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形

从空间一直线出发的两个半平

面所组成的图形 构成 射线 — 点(顶点)一 射线 表示 2、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些” ,是指二面角大一 些,那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小实验(预先准备好的二面角的 模型)在其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线(如图 2.3-3) ,通过实验操作,研探二
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半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β

∠AOB

面角大小的度量方法——二面角的平面角。 特别指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L” ,OB⊥L; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关; (3)当二面角的平面角是直角时,这两个平面的位置关系怎样? 两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 (三)应用举例,强化所学 例 1:如图, AB 是 ? O 的直径, PA 垂直于 ? O 所在的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点, 求证:平面 PAC ? 平面PBC . 归纳:线线垂直 ? 线面垂直 ? 面面垂直)

例 2:已知空间四边形 ABCD 的四条边和对角线都相等,求平面 ACD 和平面 BCD 所在二面角的大小

练习:如图,已知三棱锥 D ? ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB ? AC ? 3, BC ? 2 ,求以 BC 为 棱,以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的大小?

(四)小结归纳,整体认识 (1)二面角以及平面角的有关概念;
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(2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系? (3)二面角的平面角的作法 ①定义法 ②作与棱垂直的平面与两个半平面的交线得到 ③ 应用三垂线定理或其逆定理作出来

(五)练习 1、自二面角内一点分别向两个面引垂线,求证:它们所成的角与 二两角的平面角互补。

2、在表示二面角的平面角时,为何要求“OA⊥L、OB⊥L”?为什么∠AOB 的大小与点 O 在 L 上的位 置无关?

课后巩固
1、如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆周上的一点, PA 垂直于 ? O 所在的平面, AF ? PC ,求证:

FA ? 平面 PBC .

P F A
C
O

B

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2、在正方体 AC1 中,求证:(1)AC⊥平面 D1DB (2)D1B⊥平面 ACB1

3、已知锐二面角 ? ? l ? ? ,A 为面 ? 内一点,A 到 ? 的距离为 2 3 ,到 l 的距离为 4.求二面角

? ? l ? ? 的大小.

4、已知直线 PA 垂直正方形 ABCD 所在的平面,A 为垂足. 求证:平面 PAC?平面 PBD。

5、如图,在空间四边形 ABCD 中, PA⊥面 ABC, AC⊥BC, 若 AE ⊥ PB,AF ⊥ PC. 求证:EF⊥PB

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