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高中新课程数学(人教)二轮复习专题第一部分 专题复习讲义《1-6-1 概 率》课件 2


? 第1课时 概



高频考点 古典概型

考情解读

对古典概型考查多以选择题和填空题的形式出 现,难度一般较小,主要考查利用公式求概率 .

互斥事件、 主要以选择题、填空题的形式考查概率的概念、 对立事件的 互斥事件的概率加法公式及对立事件概率的求 概率 法 几何概型

高考对几何概型的考查难度不大,与平面区域、 空间几何体、函数等结合是命题的一个方向.

1.随机事件的概率 (1)随机事件的概率范围:0≤P(A)≤1;必然事件的概 率为1;不可能事件的概率为0. (2)古典概型的概率 m A中所含的基本事件数 P(A)= = . n 基本事件总数 (3)几何概型的概率 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

? 2.互斥事件有一个发生的概率 ? P(A∪B)=P(A)+P(B).

?

(2012·山东卷)袋中有五张卡片,其 中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡 片两张,标号分别为1,2. ? (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡 片颜色不同且标号之和小于4的概率; ? (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片, 从这六张卡片中任取两张,求这两种卡片颜 色不同且标号之和小于4的概率.

? 解析: (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别 记为A,B,C,标号为1,2的两张蓝色卡片分 别记为D,E,从五张卡片中任取两张的所 有可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D), (A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D), (C,E),(D,E),共10种.由于每一张卡片 被取到的机会均等,因此这些基本事件的出 现是等可能的. ? 从五张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不 同且它们的标号之和小于4的结果为:(A, D),(A,E),(B,D),共3种.

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概 3 率为10. (2)记F是标号为0的绿色卡片,从六张卡片中任取两张 的所有可能的结果为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,E), (A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C, E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F),共15种. 由于每一张卡片被取到的机会均等,因此这些基本事 件的出现是等可能的.

从六张卡片中任取两张,这两张卡片颜色不同且它们 的标号之和小于4的结果为:(A,D),(A,E),(B,D), (A,F),(B,F),(C,F),(D,F),(E,F),共8种. 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概 8 率为 . 15

?

(1)有关古典概型的概率问题,关键 是正确求出基本事件总数和所求事件包含 的基本事件数. ? (2)在用列举法把所有基本事件一一列出时, 要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图” 列举.

? 1.(2012·北京西城一模)某校高一年级开设 研究性学习课程,一班和二班报名参加的人 数分别是18和27.现用分层抽样的方法,从中 抽取若干名学生组成研究性学习小组,已知 从二班抽取了3名同学. ? (1)求研究性学习小组的人数; ? (2)规划在研究性学习的中、后期各安排1次 交流活动,每次随机抽取小组中1名同学发 言.求2次发言的学生恰好来自不同班级的 概率.

解析: (1)设从一班抽取的人数为m, m 3 依题意,得18=27,所以m=2. 研究性学习小组的人数为m+3=5. (2)设研究性学习小组中一班的2人为a1,a2,二班的3人 为b1,b2,b3. 2次交流活动中,每次随机抽取1名同学发言的基本事 件为: (a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),

(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3), (b1,a1),(b1,a2),(b1,b1),(b1,b2),(b1,b3), (b2,a1),(b2,a2),(b2,b1),(b2,b2),(b2,b3), (b3,a1),(b3,a2),(b3,b1),(b3,b2),(b3,b3),共25 种. 2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为: (a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1), (a2,b2),(a2,b3),(b1,a1),(b1,a2), (b2,a1),(b2,a2),(b3,a1),(b3,a2),共12种. 12 所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为P=25.

?

(2012·湖南卷)某超市为了解顾客的 购物量及结算时间等信息,安排一名员工随 机收集了在该超市购物的100位顾客的相关 数据,如下表所示. 一次购 1至4 5至8 9至 13至 17件及 物量 件 件 12件 16件 以上 顾客数( x 30 25 y 10 人) 结算时 1.5 2 2.5 3 间(分钟/ 1 人)

? 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾 客占55%. ? (1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结 算时间的平均值; ? (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2 分钟的概率.(将频率视为概率)

解析: (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所 以x=15,y=20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成 一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为 总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结 算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 100 钟). =1.9(分

(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2 分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算 时间为1分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为1.5分 钟”,“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视 15 3 30 3 25 1 为概率得P(A1)=100=20,P(A2)=100=10,P(A3)=100=4. 因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,

所以P(A)=P(A1∪A2∪A3) =P(A1)+P(A2)+P(A3) 3 3 1 7 =20+10+4=10. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为 7 10.

?

(1)当所求事件情况较复杂时,一般 要分类计算,即用互斥事件的概率加法公式 或考虑其对立事件求解. ? (2)在解决与互斥事件有关问题时,首先分清 所求事件是由哪些事件组成的,是否具备互 斥的条件,一个事件是由几个互斥事件组成 的,做到不重、不漏. ? (3)当所求事件含有“至少”“至多”或分类 情况较多时,通常考虑用对立事件的概率公 式求解.

2.(2012· 长春名校联考)2011年广州亚运会的一组志愿 者全部通晓中文,并且每个志愿者还都通晓英语、日语和 韩语中的一种(但无人通晓两种外语).已知从中任抽一人, 1 3 其通晓中文和英语的概率为 2,通晓中文和日语的概率为 10 . 若通晓中文和韩语的人数不超过3人.

? (1)求这组志愿者的人数; ? (2)现在从这组志愿者中选出通晓英语的志愿 者1名,通晓韩语的志愿者1名,若甲通晓英 语,乙通晓韩语,求甲和乙不全被选中的概 率. 解析: (1)设通晓中文和英语的人数为x,通晓中文和
日语的人数为y,通晓中文和韩语的人数为z,且x,y,z∈ 1 ? x ?x+y+z=2, ? 3 N*,则? y ?x+y+z=10, ? ?0<z≤3, ?x=5, ? 解得?y=3, ?z=2, ?

所以这组志愿者的人数为5+3+2=10.

? (2)设通晓中文和英语的人为A1,A2,A3,A4, A5,甲为A1,通晓中文和韩语的人为B1,B2, 乙为B1,则从这组志愿者中选出通晓英语和 韩语的志愿者各1名的所有情况为(A1,B1), (A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1), (A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(A5,B1), (A5,B2),共10种, 1 9 ? 同时选中甲、乙只有(A1,B1)1种. 所以甲和乙不全被选中的概率为1- = .
10 10

若在区间[-5,5]内任取一个实数a,则使直线x+y +a=0与圆(x-1)2+(y+2)2=2有公共点的概率为( 2 A. 5 3 C.5 2 B.5 3 2 D. 10 )

解析: 若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离d |1-2+a| |a-1| = = ≤ 2,解得-1≤a≤3.又a∈[-5,5],故 2 2 4 2 所求概率为 = ,故选B. 10 5

? 答案: B

?

(1)当试验的结果构成的区域为长度、 面积、体积、弧长、夹角等时,应考虑使用 几何概型求解. ? (2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全 部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找, 有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要 的区域.

x2 y2 3.设0<a<2,0<b<1,则双曲线 a2 - b2 =1的离心率e > 5的概率是________.
解析: a2+b2 c2 由e> 5,得a2>5,即 a2 >5,∴b>2a, 在直角坐标系aOb内作出符合题意的区域如图中阴影部 分所示, 1 1 1 则阴影部分的面积为 ×1× = , 2 2 4

图中矩形的面积为2, 1 ∴由几何概型概率公式计算得所求的概率为 . 8

1 答案: 8

? 探究概率应用题的新题点 ? 高考对概率的考查由单独求事件概率,转化 为与统计结合命题,而2012年高考中,全国 新课标卷、福建卷把概率问题分别与函数、 数列结合,出题角度新颖,将会成为今后新 的命题点.

?

(2012·新课标全国卷)某花店每天以 每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不 完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. ? (1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利 润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝, n∈N)的函数解析式. ? (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位: 枝),整理得下表: 日需求 14 15 16 17 18 19 20 量n 10 20 16 16 15 13 10 频数

? ①假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰 花,求这100天的日利润(单位:元)的平均数; ? ②若花店一天购进17枝玫瑰花,以100天记 录的各需求量的频率作为各需求量发生的概 率,求当天的利润不少于75元的概率.

解析: (1)当日需求量n≥17时,利润y=85. 当日需求量n<17时,利润y=10n-85. 所以y关于n的函数解析式为y= ∈N).
?10n-85,n<17, ? ? ?85,n≥17 ?

(n

(2)①这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润 为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元,所 以这100天的日利润的平均数为 1 100(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4. ②利润不低于75元当且仅当日需求量不少于16枝.故 当天的利润不少于75元的概率为 P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.

? 1.本题主要考查了分段函数的有关知识, 利用样本数据估计总体及平均数的意义,考 查学生对数据的处理能力. ? 2.在解答此类题目时应注意以下几点 ? (1)步骤的规范性:在书写步骤时,不能仅写 出计算的公式、答案,而应该写出必要的文 字说明. ? (2)用古典概型求概率时,应列出所有的基本 事件,常用的方法是树状图,也可根据树状 图,直接写出基本事件,当需要列举的对象 不易区分时,可先把它们进行编号,再列

设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax -b在区间[1,2]上有零点的概率为( 1 A.2 11 C. 16 5 B.8 3 D. 4 )

解析: 因为f(x)=x3+ax-b,所以f′(x)=3x2+a.因 为a∈{1,2,3,4},因此f′(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2]上 为增函数.若存在零点,则
?f?1?=1+a-b≤0, ? ? ?f?2?=8+2a-b≥0 ?

解得a+

1≤b≤8+2a.因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有:a= 1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8.a=2,3≤b≤12,故b= 4,b=8,b=12.

a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12.a= 4,5≤b≤16,故b=8,b=12,根据古典概型概率公式可得 11 有零点的概率为16.,故选C.

? 答案: C

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