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函数的基本性质(考点加经典例题分析)


函数的基本性质
函数的三个基本性质:单调性,奇偶性,周期性
一、单调性 1 、 定 义 : 对 于 函 数 y ? f ( x) , 对 于 定 义 域 内 的 自 变 量 的 任 意 两 个 值 x1 , x 2 , 当

x1 ? x 2 时 , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 )(或f ( x1 )

? f ( x2 )) ,那么就说函数 y ? f ( x) 在这个区间上是增(或减)函数。
2、图像特点:在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的。 (提示:判 断函数单调性一般都使用图像法,尤其是分段函数的单调性。 ) 3.二次函数的单调性:对函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) ,

b 的左侧单调减小,右侧单调增加; 2a b 当 a ? 0 时函数 f ( x) 在对称轴 x ? ? 的左侧单调增加,右侧单调减小; 2a
当 a ? 0 时函数 f ( x) 在对称轴 x ? ? 例 1:讨论函数 f(x) ? x 2 ? 2ax ? 3 在(-2,2)内的单调性。

4.证明方法和步骤:
⑴设元:设 x1 , x 2 是给定区间上任意两个值,且 x1 ? x 2 ; ⑵作差: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ⑶变形: (如因式分解、配方等) ; ⑷定号:即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0或f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ; ⑸根据定义下结论。 例 2、判断函数 f ( x ) ?

x?2 在 (??,0) 上的单调性并加以证明. x ?1

-1-

5.复合函数的单调性:复合函数 y ? f ( g ( x)) 在区间 ( a, b) 具有单调性的规律见下表:

y ? f (u ) u ? g ( x) y ? f ( g ( x))

增 ↗ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘

减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗

以上规律还可总结为: “同向得增,异向得减”或“同增异减” 。 例 3:函数 y ? A. (??,?3]

x 2 ? 2 x ? 3 的单调减区间是 (
B. [?1,??) C. (??,?1]

) D. [1,??)

6.函数的单调性的应用:

判断函数 y ? f ( x) 的单调性;比较大小;解不等式;求最值(值域) 。
例 4:求函数 y ?

2 在区间 [2,6] 上的最大值和最小值. x ?1

二、奇偶性
1.定义: 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么函数 f(x)就叫偶函数; (等价于: f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ) 如果对于 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f(x)就叫奇函数。 (等价于: f (? x) ? ? f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? 0 ) 注意:当 f ( x) ? 0 时,也可用

f ( ? x) ? ?1 来判断。 f ( x)

2.奇、偶函数的必要条件:函数的定义域在数轴上所示的区间关于原点对称。

若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x=0 处有定义,则 f (0) ? 0 ;
3.判断一个函数的奇偶性的步骤 ⑴先求定义域,看是否关于原点对称; ⑵再判断 f (? x) ? ? f ( x) 或 f (? x) ? f ( x) 是否恒成立。

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4.奇偶函数图象的性质 奇函数的图象关于原点对称。反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数。 偶函数的图象关于 y 轴对称。反过来,如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数为偶函数。 5.常用结论:(1)奇偶性满足下列性质:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇。 (2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性,偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性。

1? x2 例 4:判断函数 f ( x ) ? 的奇偶性。 x?2 ?2
分析:解此题的步骤(1)求函数的定义域; (2)化简函数表达式; (3)判断函数的奇偶性

针对性练习:
1、判断下列各函数是否具有奇偶性 ⑴、 f ( x) ? x 3 ? 2 x ⑶、 f ( x) ? ⑸、 f ( x) ? ⑵、 f ( x) ? 2 x 4 ? 3x 2 ⑷、 f ( x) ? x ⑹、 f ( x) ?
2

x3 ? x2 x ?1

x ? ?? 1,2?

x?2 ? 2? x

x2 ?1 ? 1 ? x2

? x 2 ( x ? 0) 2、判断函数 f ( x) ? ? 2 的奇偶性。 ?? x ( x ? 0)
解 : f (0) ? 0 2 ? ? f ( x) 当x ? 0,即 ? x ? 0时, 有f (? x) ? ?(? x) 2 ? ? x 2 ? ? f ( x) 当x ? 0,即 ? x ? 0时, 有f (? x) ? (? x) 2 ? ?(? x) 2 ? ? f ( x) ? 总有f (? x) ? f ( x),故f ( x)为奇函数.
3、已知 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ?
5 3

(利用奇偶性求函数值)

4、已知偶函数 f ( x) 在 ?? ?,0? 上为减函数,比较 f (?5) , f (1) , f (3) 的大小。 (利用奇偶性比较大小)

时, f ( x) ? 1 ? x,当 ? 1 ? x ? 0时 ,求 f ( x) 的解析式?(利用奇偶性求解 5、已知 f ( x) 为偶函数 当0 ? x ? 1
析式)

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6、若 f ( x) ? (k ? 2) x 2 ? (k ? 3) x ? 3 是偶函数,讨论函数 f ( x) 的单调区间?(利用奇偶性讨论函数的单调 性) 7、已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx(a ? 0) 是偶函数,判断 g ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 的奇偶性。 (利用奇偶性判 断函数的奇偶性) 8、定义在 R 上的偶函数 f ( x) 在 (??,0) 是单调递减,若 f (2a 2 ? a ? 1) ? f (3a 2 ? 2a ? 1) ,则 a 的取值范围 是如何?(利用奇偶性求参数的值) 9、 (2004.上海理) 设奇函数 f(x)的定义域为[-5,5].若当 x∈[0,5] 的 图 象 如 右 图 , 则 不 等 式 x f ?x ? ? 0 的 解 是 . (利用图像解题) 10、已知函数 f ( x) ? a ? 时, f(x)

1 . ,若 f ? x ? 为奇函数,则 a ? ________。 (利用定义解题) 2 ?1
x

函数的周期性与对称性
◆函数的轴对称 定理 1:函数 y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?b ? x ? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ?

a?b 对称. 2

推论 1:函数 y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? a 对称. 推论 2:函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ?? x ? ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于直线 x ? 0 (y 轴)对称.

◆函数的周期性 定理 2:函数 f ?x ? 对于定义域中的任意 x ,都有 f ?x ? ? f ?x ? T ? ,则 f ?x ? 是以 T 为周期的周期函数; 推论 1:函数 f ?x ? 对于定义域中的任意 x ,都有 f ?x ? a ? ? f ?x ? b? ,则 f ?x ? 是以(a-b)为周期的周期函 数; 推论 2:下列条件都是以 2T 为周期的周期函数: 1、 f ?x ? T ? ? ? f ?x ? ;2、 f ? x ? T ? ?

1 1 ;3、 f ? x ? T ? ? f ? x ? T ? ;4、 f ( x ? T ) ? ? ; f ?x ? f ( x)

5、 f ( x ? T ) ?

f ( x) ? 1 1 ? f ( x) ;6、 f ( x ? T ) ? . f ( x) ? 1 1 ? f ( x)

◆函数的点对称
定理 3:函数 y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 2b ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ?a , b ? 对称.
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推论 1:函数 y ? f ? x ? 满足 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于点 ?a ,0? 对称. 推论 2:函数 y ? f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ?? x ? ? 0 ,则函数 y ? f ? x ? 的图象关于原点 ?0,0? 对称. (总结:同号看周期,异号看对称)

针对性练习:
1、设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,且满足 f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ,则 y ? f ( x) 图象关于________对称。 2、设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R,且满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,则 y ? f ( x) 图象关于________对称。 3 、 设 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 R , 且 满 足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) , 则 y ? f ( x ? 1) 图 象 关 于 ______ 对 称, y ? f ( x) 图象关于__________对称。

) ? f ( x),且当 x ? [0, 2)时, 4 、已知函数 f ( x ) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2

f ( x) ? x ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为(
A. ?2 B. ?1 C. 1

) D. 2 )

5、已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f ( ?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

6、设 f ( x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f ( x) 在 (0,3) 内单调递减,且 y ? f ( x ) 的图像关于直线 x ? 3 对称,则下面正确的结论是 ( A. f (1.5) ? f (3.5) ? f (6.5) C. f (6.5) ? f (3.5) ? f (1.5) ) B. f (3.5) ? f (1.5) ? f (6.5) D. f (3.5) ? f (6.5) ? f (1.5)

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