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2014-2015学年四川省雅安市重点中学高二(下)期初数学试卷 (Word版含解析)


2014-2015 学年四川省雅安市重点中学高二(下)期初数学试卷
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) . 1. (5 分)将两个数 a=8,b=17 交换,使 a=17,b=8,下面语句正确一组是( )

A.

B.

C.

D.

考点: 赋值语句. 专题: 规律型. 分析: 要实现两个变量 a,b 值的交换,需要借助中间量 c,先把 b 的值赋给中间变量 c, 再把 a 的值赋给变量 b,把 c 的值赋给变量 a. 解答: 解:先把 b 的值赋给中间变量 c,这样 c=17,再把 a 的值赋给变量 b,这样 b=8, 把 c 的值赋给变量 a,这样 a=17 故选 B 点评: 本题考查的是赋值语句,考查逻辑思维能力,属于基础题. 2. (5 分) (2013?朝阳区校级模拟)读两段程序:

对甲、乙程序和输出结果判断正确的是( A. 同 C. 同

) 程序不同,结果不同 程序相同,结果不同

B. 程序不同, 结果相 D. 程序相同, 结果相

考点: 程序框图. 专题: 图表型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算并打印 S 值
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解答: 解:程序甲是计数变量 i 从 1 开始逐步递增直到 i=1000 时终止, 累加变量从 0 开始,这个程序计算的是:1+2+3+…+1000; 程序乙计数变量从 1000 开始逐步递减到 i=1 时终止, 累加变量从 0 开始,这个程序计算的是 1000+999+…+1. 但这两个程序是不同的.两种程序的输出结果都是:S=1+2+3+…+1000=100500. 故选 B. 点评: 考查由框图分析出算法结构的能力,本题考查是循环的结果. 3. (5 分) (2015 春?雨城区校级月考)二进制数 101110(2)转化为八进制数为( ) A. 45(8) B.56(8) C. 67(8) D. 78(8) 考点: 进位制;整除的基本性质. 专题: 算法和程序框图. 分析: 利用 101110(2)=1×2 +0×2 +1×2 +1×2 +1×2 +0×2 =46(10) . 再利用“除 8 取余法”即可得出. 解答: 解:101110(2)=1×2 +0×2 +1×2 +1×2 +1×2 +0×2 =46(10) . 再利用“除 8 取余法”可得: 46(10)=56(8) . 故选:B.
5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0

点评: 本题考查了本题“进位制”的互化,属于基础题. 4. (5 分) (1992?云南)不等式 A. {x|8<x<22} {x|5<x<16} 的解集是( B.{x|6<x<18} ) C. {x|7<x<20} D.

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由不等式可得﹣1< 求得不等式的解集. 解答: 解:由不等式 ,可得﹣1< ﹣3<1,故有 2< <4, ﹣3<1,即 2< <4,化为 4<x﹣2<16,由此

∴4<x﹣2<16,解得 6<x<18, 故选 B. 点评: 本题主要考查绝对值不等式、根式的解法,关键是去掉绝对值,化为与之等价的不 等式来解,体现了等价转化的数学思想,属于中档题. 5. (5 分) (2015 春?雨城区校级月考) 命题“若 x +y =0, 则 x、 y 全为 0”的逆否命题是 (
2 2



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A. 2 2 为 0,则 x +y =0 C. 2 2 不全为 0,则 x +y ≠0

若 x、y 全为 0,则 x +y ≠0 B. 若 x、y 不全 若 x、y 全不为 0,则 x +y ≠0
2 2

2

2

D. 若 x、y

考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,写出该命题的逆否命题即可. 解答: 解:根据命题“若 p,则 q”的逆否命题是“若¬q,则¬p”,得: 2 2 命题“若 x +y =0,则 x、y 全为 0”的逆否命题是 2 2 命题“若 x、y 不全为 0,则 x +y ≠0”. 故选:D. 点评: 本题考查了命题与它的逆否命题的应用问题,是基础题目. 6. (5 分) (2015 春?雨城区校级月考)x >0 是 x>0 的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据 x >0,得到 x 的范围和 x>0 比较即可. 2 解答: 解:由 x >0 得到:x≠0, 而 x≠0 推不出 x>0,不是充分条件, 由 x>0 能推出 x≠0,是必要条件, ∴x >0 是 x>0 的必要不充分条件, 故选:B. 点评: 本题考查了充分必要条件,考查不等式问题,是一道基础题. 7. (5 分) (2009 秋?江西期中)若|x﹣a|<h,|y﹣a|<h,则下列不等式一定成立的是( ) A. |x﹣y|<h B.|x﹣y|<2h C. |x﹣y|>h D. |x ﹣y|>2h 考点: 不等关系与不等式. 专题: 计算题;综合题. 分析: 由题意分别解两个绝对值不等式, 根据不等式的运算性质, 利用两个同向不等式相 加即可. 解答: 解:∵|x﹣a|<h?﹣h<x﹣a<h ① ∵|y﹣a|<h?﹣h<y﹣a<h?﹣h<a﹣y<h ② 根据不等式的性质 ①+②得 ﹣2h<x﹣y<2h ∴|x﹣y|<2h 故选 B 点评: 本题考查绝对值不等式的解法以及不等式性质的运用,属于基础题.
2 2 2

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8. (5 分) (2015 春?雨城区校级月考)使|x﹣4|+|x﹣5|<a 有实数解的 a 为( ) A. a>1 B.1<a<9 C. a>1 D. a≥1 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据绝对值的意义可得|x﹣4|+|x﹣5|的最小值,从而求得 a 的范围. 解答: 解:由于|x﹣4|+|x﹣5|表示数轴上的 x 对应点到 4、5 对应点的距离之和,它的最小 值为 1, 故使|x﹣4|+|x﹣5|<a 有实数解的 a 应满足 a>1, 故选:A. 点评: 本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,属于基础题. 9. (5 分) (2013?杨浦区校级模拟) 用秦九韶算法求多项式 ( f x) =7x +6x +5x +4x +3x +2x +x, 当 x=3 时,v3 的值为( ) A. 27 B. 86 C. 262 D. 789 考点: 专题: 分析: 解答: x 算法思想的历程. 计算题. 根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式,得出结果即可 7 6 5 4 3 2 解:f(x)=7x +6x +5x +4x +3x +2x +x=( ( ( ( (7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)
7 6 5 4 3 2

故 v3=( (7x+6)x+5)x+4 当 x=3 时,v3=( (7×3+6)×3+5)×3+4=262 故选 C. 点评: 本题考查排序问题与算法的多样性, 正确理解秦九韶算法求多项式的原理是解题的 关键 10. (5 分) (2015?嘉兴二模) 在△ ABC 中, “sinA>cosB”是“△ ABC 为锐角三角形”的 ( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结算三角函数的性质进行判断即可. 解答: 解:若 B 为钝角,A 为锐角,则 sinA>0,cosB<0, 则满足 sinA>cosB,但△ ABC 为锐角三角形不成立, 若△ ABC 为锐角三角形,则 A,B,π﹣A﹣B 都是锐角, 即 π﹣A﹣B< 则 cosB<cos( ,即 A+B> ﹣A) , ,B> ﹣A, )

即 cosB<sinA, 故“sinA>cosB”是“△ ABC 为锐角三角形”的必要不充分条件, 故选:B
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点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据三角形的性质是解决本题的关键.

11. (5 分) (2005?重庆)若 x,y 是正数,则 A. 3 B. C.

+ 4

的最小值是(



D.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题. 分析: 连续用基本不等式求最小值,由题设知 + ≥2(x+ )×

(y+ 又 xy+

) 整理得知 ≥2

+

≥2 (xy+

+1) , 其中等号成立的条件是 x=y, 与 x=y 联立得两次运用基本不等式等

=1 等号成立的条件是 xy= ,计算出最值是 4

号成立的条件是 x=y=

解答: 解:∵x,y 是正数, ∴ + =y+ ≥2(xy+ , +1) ,

等号成立的条件是 x+ 解得 x=y,① 又 xy+ ≥2

=1 ② ,

等号成立的条件是 xy= 由①②联立解得 x=y=

即当 x=y=



+

的最小值是 4

故应选 C. 点评: 本题考查基本不等式, 解题过程中两次运用基本不等式, 注意验证两次运用基本不 等式时等号成立的条件是否相同,若相同时,代数式才能取到计算出的最小值,否则最小值 取不到.本题是一道易错题.

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12. (5 分) (2008?深圳二模)如图所示的算法中,令 a=tanθ,b=sinθ,c=cosθ,若在集合 中,给 θ 取一个值,输出 的结果是 sinθ,则 θ 值所在范围是( )

A. D.

B.

C.

考点: 选择结构;正弦函数的定义域和值域;余弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: 程序框图的功能是求 a,b,c 的最大值,根据输出的结果是 sinθ,建立不等式,然 后在给定范围内解三角不等式即可. 解答: 解:程序框图的功能是求 a,b,c 的最大值 ∵输出的结果是 sinθ,

∴sinθ 最大即

解得 故选 D. 点评: 本题主要考查了选择结构,以及解三角不等式,弄清算法功能是解题的关键,属于 基础题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上) . 13. (4 分) (2013?朝阳区校级模拟)228 与 1995 的最大公约数是 57 . 考点: 最大公因数. 专题: 计算题.

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分析: 利用两个数中较大的一个除以较小的数字,得到商是 8,余数是 171,用 228 除以 171,得到商是 1,余数是 57,用 171 除以 57,得到商是 3,没有余数,所以两个数字的最 大公约数是 57,得到结果. 解答: 解:∵1995÷228=8…171, 228÷171=1…57, 171÷57=3, ∴228 与 1995 的最大公约数是 57, 故答案为:57. 点评: 本题考查用辗转相除计算最大公约数, 是一个基础题, 这种题目出现的机会不是很 多,属于基础题. 14. (4 分) (2013?泗县模拟) 执行如图所示的程序框图, 若输入 x=10, 则输出 y 的值为 . ﹣

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 y 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 解答: 解:当 x=10,执行完循环体后,y=4,|y﹣x|=6<1 不成立,故继续循环,则 x=4, y=1, 当 x=4,y=1 时,|y﹣x|=3<1 不成立,故继续循环,则 x=1,y=﹣ , 当 x=1,y=﹣ 时,|y﹣x|= <1 不成立,故继续循环,则 x=﹣ ,y=﹣ , 当 x=﹣ ,y=﹣ 时,|y﹣x|= <1 成立,故退出循环, 故输出的 y 的值为﹣ , 故答案为:﹣ 点评: 本题考查了程序框图的应用问题, 解题时应模拟程序框图的运行过程, 以便得出正 确的结论,是基础题.
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15. (4 分) (2014?海淀区校级模拟)给定下列命题: ①若 k>0,则方程 x +2x﹣k=0 有实数根; ②“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题; ③“矩形的对角线相等”的逆命题; ④“若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题. 其中真命题的序号是 ①②④ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用判别式的符号判断①的正误;命题的否命题的真假判断②的正误;逆命题的 真假判断③的正误;通过命题的否命题的真假判断④的正误; 解答: 解:对于①,若 k>0,则方程 x +2x﹣k=0 有实数根,∵△4+4k>0,∴方程 x +2x ﹣k=0 有两个不相等的实数根;①正确; 对于②,“若 a>b,则 a+c>b+c”的否命题:若 a≤b,则 a+c≤b+c,满足不等式的基本性质, ∴②正确; 对于③,“矩形的对角线相等”的逆命题:对角线相等的四边形是矩形,显然不正确,例如 等腰梯形,∴③不正确; 对于④,“若 xy=0,则 x、y 中至少有一个为 0”的否命题:若 xy≠0,则 x、y 中都不为 0.正 确; 正确命题:①②④. 故答案为:①②④. 点评: 本题考查命题的真假的判断, 命题的否定以及四种命题的关系, 考查基本知识的应 用. 16. (4 分) (2015 春?雨城区校级月考)已知 p:对 x∈R,ax +ax+1>0 恒成立; q:关于 x 2 的方程 x ﹣x+a=0 有实数根;如果 p∧q 为假,p∨q 为真,则实数 a 的取值范围是 (﹣∞, 0)∪( ,4) .
2 2 2 2

考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 分别求出命题 p,q 成立的等价条件,然后根据 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,则 命题 p,q 中一个为真一个为假,分类讨论后,即可得到实数 a 的取值范围. 解答: 解:对任意实数 x 都有 ax +ax+1>0 恒成立?a=0 或 关于 x 的方程 x ﹣x+a=0 有实数根?△ =1﹣4a≥0?a≤ ; 如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,即 p 真 q 假,或 p 假 q 真, 如果 p 真 q 假, 则有 0≤a<4,且 a>
2 2

?0≤a<4;

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∴ <a<4; 如果 p 假 q 真, 则有 a<0,或 a≥4,且 a≤ ∴a<0. 综上 <a<4 或 a<0, 所以实数 a 的取值范围为(﹣∞,0)∪( ,4) . 故答案为: (﹣∞,0)∪( ,4) . 点评: 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用,复合命题的真假,函数恒成立问题, 其中判断出命题 p 与命题 q 为真时,实数 a 的取值范围,是解答本题的关键. 三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 74 分, 解答应写出必要的文字说明证明过程或运算步骤) . 17. (12 分) (2015 春?雨城区校级月考)解下列不等式: (1)|x ﹣2x|>3 (2)0<|x﹣2|+x<4. 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)由不等式可得 x ﹣2x>3 ①或 x ﹣2x<﹣3 ②,分别求得①②的解集,再 取并集,即得所求. (2)由原不等式可得 ③,或 ④.分别求得③④的
2 2 2

解集,再取并集,即得所求. 2 2 2 解答: 解: (1)∵|x ﹣2x|>3,∴x ﹣2x>3 ①或 x ﹣2x<﹣3 ②. 解①求得:x<﹣1 或 x>3,解②求得:x∈?, 故原不等式的解集为{x|x<﹣1 或 x>3}. (2)∵0<|x﹣2|+x<4,∴ ③,或 ④.

解③求得 2≤x<3,解④求得 x<2. 综上可得,原不等式的解集为{x|x<3}. 点评: 本题主要考查绝对值不等式的解法, 体现了等价转化和分类讨论的数学思想, 属于 基础题.
2 2

18. (12 分) (2015 春?雨城区校级月考)已知 p:

≥2,q:x ﹣4x+4﹣9m ≤0 (m>0) ,

若¬p 是¬q 的充分而不必要条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 命题的否定;必要条件、充分条件与充要条件的判断.
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专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据不等式的解法,分别求出集合 A 和 B,若非 p 是非 q 的充分不必要条件,则 q 是 p 的充分不必要条件,从而求出 m 的范围. 解答: 解:解不等式可求得:p:﹣2<x≤3,q:2﹣3m≤x≤2+3m (m>0) .…(4 分) 则?p:A={x|x≤﹣2 或 x>3},?q:B={x|x<2﹣3m 或 x>2+3m,m>0}. 由已知?p??q,得 A?B,…(8 分)

从而



解得 0<m≤ …(13 分) 点评: 本题以集合的定义与子集的性质为载体, 考查了必要条件、 充分条件与充要条件的 判断,属于基础题. 19. (12 分) (2015 春?雨城区校级月考)已知 a,b∈R+. (1)若 loga =﹣2,求证:3a+12b≥9; (2)若 2a+b=1,求 ab 的最大值. 考点: 不等式的证明;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)由题意可得 b= ,可得 3a+12b=
2

+

+

由基本不等式可得;

(2)由基本不等式可得 ab= ?2a?b≤ (
2

) = ,验证等号成立即可. ,

解答: 解: (1)∵loga =﹣2,∴ =a ,∴b= ∴3a+12b=3a+ = + + ≥3 =9

当且仅当

=

即 a=2 且 b= 时取等号,

∴3a+12b≥9; (2)∵正数 ab 满足 2a+b=1, ∴ab= ?2a?b≤ ( )= ,
2

当且仅当 2a=b 即 a= 且 b= 时取等号, ∴ab 的最大值为 点评: 本题考查不等式的证明,涉及基本不等式求最值,属中档题.

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20. (12 分) (2015 春?雨城区校级月考)若 n∈N ,定义:n!=n(n﹣1) (n﹣2)…3×2×1, 如 3!=3×2×1=6.某同学设计了一个计算 1!+2!+3!+…+20!的程序框图如下: (1)完善如图 1 程序框图; (2)在图 2 中写出该程序框图所对应的程序语句.

*

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据条件结合程序框图的应用进行求解. 解答: 解: (1)由条件知共运行 20 次,则条件①为 i≤20?②p=p×i,③s=s+p (2)i=1 p=1 s=0 while i<=20 p=p*i s=s+p i=i+1 wend print s end 点评: 本题主要考查程序框图的识别和判断以及程序语句的编写, 正确理解题意是解决本 题的关键. 21. (12 分) (2015 春?雨城区校级月考)已知直角三角形周长为 2,求该三角形面积最大值. 考点: 基本不等式在最值问题中的应用.
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专题: 解三角形;不等式的解法及应用. 分析: 设直角三角形的两直角边为 a、b,斜边为 c,因为 L=a+b+c,c= 用均值不等式即可求解. 解答: 解:直角三角形的两直角边为 a、b,斜边为 c,面积为 s,周长 L=2, 由于 a+b+ ∴ ≤ . )
2

,两次运

=L≥2

+

. (当且仅当 a=b 时取等号)

∴S= ab≤ (

= ?

=

=3﹣2



故当且仅当 a=b=2﹣ ,该三角形的面积最大,且为 3﹣2 . 点评: 利用均值不等式解决实际问题时, 列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式 求解或转化的关键. 22. (14 分) (2015 春?雨城区校级月考)函数 f(x)=loga(2x +x) , (a>0,a≠1) ,若?x∈ (0, ],恒有 f(x)>0,解关于 x 的不等式:f[log2(9 +2
x 2x+1 2

+1)]>f[2log4(6 +4

x

x+1

+1)].

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 转化思想;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 根据题意,由 f(x)>0 得出 0<a<1;判断 f(x)在(0,+∞)上是减函数, 由此把所求的不等式化为对数不等式,再根据对数函数的单调性求出 x 的取值范围即可. 解答: 解:∵x∈(0, )时,2x +x∈(0,1) , 函数 f(x)=loga(2x +x)在 x∈(0, )时恒有 f(x)>0, ∴0<a<1; 由 2x +x>0,得 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣ )∪(0+∞) ; 又∵t=2x +x 在(0,+∞)上是增函数, y=logat 在(0,+∞)上是减函数, 2 ∴函数 f(x)=loga(2x +x)在(0,+∞)上是减函数; x 2x+1 x x+1 又∵9 +2 +1>1,6 +4 +1>1, x 2x+1 x x+1 ∴log2(9 +2 +1)>0,2log4(6 +4 +1)>0; 由 f(x)的单调性知, x 2x+1 x x+1 f(log2(9 +2 +1) )>f(2log4(6 +4 +1) )可化为 x 2x+1 x x+1 log2(9 +2 +1)<2log4(6 +4 +1) , x 2x+1 x x+1 即 9 +2 +1<6 +4 +1, 2x 2x x x 2x ∴3 +2?2 <2 ?3 +4?2 ;
2 2 2 2

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∴ ∴[ 解得﹣1< 即 x<

﹣ ﹣2][

﹣2<0, +1]<0, < 2,

2; 2}.

∴不等式的解集为{x|x<

点评: 本题考查了对数函数的性质与应用问题, 也考查了不等式的解法与应用问题, 是综 合性题目.

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