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湖南省衡阳八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) (Word


湖南省衡阳八中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (3 分)“0<x<2”是“x<2”成立的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2. (3 分)命题:“?x∈R,x

+x﹣1>0”的否定为() 2 2 A.?x∈R,x +x﹣1<0 B. ?x∈R,x +x﹣1≤0 2 2 C. ?x?R,x +x﹣1=0 D.?x∈R,x +x﹣1≤0
2

3. (3 分)双曲线 A.y=± x

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为() B.y=± x C.y=± x D.y=±

4. (3 分)将曲线 ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0 的极坐标方程化为直角坐标方程为() 2 2 2 2 A.y+2x﹣1=0 B.x+2y﹣1=0 C.x +2y ﹣1=0 D.2y +x ﹣1=0 5. (3 分)如果命题“p∨q”为假命题,则() A.p,q 均为假命题 B. p,q 中至少有一个真命题 C. p,q 均为真命题 D.p,q 中只有一个真命题 6. (3 分)抛物线 y =8x 的准线方程是() A.x=﹣2 B.x=﹣4
2

C.y=﹣2

D.y=﹣4

7. (3 分)极坐标 p=cosθ 和参数方程 A.直线、直线 B.直线、圆

(t 为参数)所表示的图形分别是() C.圆、圆 D.圆、直线

8. (3 分)设椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且它的一个焦点坐标是(1,0) ,

则此椭圆的方程为() A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1

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9. (3 分)双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角

为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()

A.

B.

C.

D.

10. (3 分)设 e1,e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的 一个公共点,且满足 ,则 的值为()

A.

B. 1

C. 2

D.不确定

二.填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. (3 分)曲线 C 的参数方程为
2

(θ 为参数) ,则它的离心率等于:

12. (3 分)抛物线 y =4x 上的点 M 到其焦点 F 的距离为 4,则点 M 的横坐标是. 13. (3 分)若直线 y=kx﹣1 与双曲线 x ﹣y =4 始终有公共点,则 k 取值范围是. 14. (3 分)命题“ax ﹣2ax﹣3≤0 恒成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是.
2 2 2

15. (3 分) 已知 A, B 是椭圆

和双曲线

的公共顶点.P 是双曲线上的动点,M 是椭圆上的动点(P、M 都异于 A、B) ,且满足 ,其中 λ∈R,设直线 AP、BP、AM、BM 的斜率分别记为 k1,k2, k3,k4,k1+k2=5,则 k3+k4=.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )标 准方程 16. (8 分) (1)已知抛物线过点 A(1,2) ,求抛物线的标准方程;

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(2)已知双曲线的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 2,求双 曲线的标准方程. 17. (8 分)设命题 p:实数 x 满足(x﹣a) (x﹣3a)<0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 B= .

2

(Ⅰ)若 a=1 且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 18. (9 分)已知实数 x,y 满足方程 x +y =4,求 z=2x+y 的最值. 19. (9 分)已知椭圆 C 焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率是 .
2 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 AB 与椭圆 C 交于 AB 两点,直线 AB 的方程是 y=x+1,求弦长|AB|. 20. (10 分)已知二次函数 f(x)=ax +x.对于?x∈,f(x)≤1 成立,试求实数 a 的取值范 围. 2 f(x)≤1?ax +x≤1,x∈…① 当 x=0 时,a≠0,①式显然成立; 当 x∈(0,1]时,①式化为 a≤ 设 t= ,则 t∈ ?a≤0,又 a≠0,故 a<0 综上,所求实数 a 的取值范围是. ﹣ 在 x∈(0,1]上恒成立.
2

21. (11 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣2,0) ,离心率为



(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=﹣3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P、Q,当四 边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积.

湖南省衡阳八中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试 卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
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1. (3 分)“0<x<2”是“x<2”成立的() A.充分不必要条件 C. 充分必要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 由“0<x<2”能推出“x<2”;但是“x<2”不能推出“0<x<2”,利用必要条件、充分 条件与充要条件的定义判断. 解答: 解:因为由“0<x<2”能推出“x<2”;但是“x<2”不能推出“0<x<2”, 所以“0<x<2”是“x<2”成立的充分不必要条件; 故选 A. 点评: 本题考查了必要条件、 充分条件与充要条件的判断, 小范围能推大范围是解题的关 键,属于基础题. 2. (3 分)命题:“?x∈R,x +x﹣1>0”的否定为() 2 2 A.?x∈R,x +x﹣1<0 B. ?x∈R,x +x﹣1≤0 2 2 C. ?x?R,x +x﹣1=0 D.?x∈R,x +x﹣1≤0 考点: 专题: 分析: 解答: 故选:B 点评: 结论. 命题的否定. 简易逻辑. 根据特称命题的否定是全称命题.即可得到结论. 2 解:根据特称命题的否定是全称命题.得命题的否定是:?x∈R,x +x﹣1≤0, 本题主要考查含有量词的命题的否定, 根据特称命题的否定是全称命题. 即可得到
2

3. (3 分)双曲线 A.y=± x

=1(a>0,b>0)的渐近线方程为() B.y=± x C.y=± x D.y=±

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 双曲线 =1(a>0,b>0)中 a=4,b=3,可得渐近线方程.

解答: 解:双曲线 ∴渐近线方程为 y=± x,

=1(a>0,b>0)中 a=4,b=3,

故选:A. 点评: 本题考查双曲线的渐近线方程,考查学生的计算能力,比较基础.
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4. (3 分)将曲线 ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0 的极坐标方程化为直角坐标方程为() A.y+2x﹣1=0 B.x+2y﹣1=0 C.x +2y ﹣1=0
2 2

D.2y +x ﹣1=0

2

2

考点: 点的极坐标和直角坐标的互化. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 利用 即可得出. ,

解答: 解:由曲线 ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0,及

可得 x+2y﹣1=0. ∴曲线 ρcosθ+2ρsinθ﹣1=0 的极坐标方程化为直角坐标方程为 x+2y﹣1=0. 故选:B. 点评: 本题考查了把直线的极坐标方程化为直角坐标方程,属于基础题. 5. (3 分)如果命题“p∨q”为假命题,则() A.p,q 均为假命题 B. p,q 中至少有一个真命题 C. p,q 均为真命题 D.p,q 中只有一个真命题 考点: 专题: 分析: 解答: 故选 A 点评: 复合命题的真假. 规律型. 根据真值表,当 p,q 中都为假命题时,“p∨q”为假命题,就可得到正确选项. 解:∵当 p,q 中都为假命题时,“p∨q”为假命题 本题主要考查用连接词“或”连接得到的命题的真假的判断,要熟记真值表.
2

6. (3 分)抛物线 y =8x 的准线方程是() A.x=﹣2 B.x=﹣4

C.y=﹣2

D.y=﹣4

考点: 抛物线的应用. 专题: 计算题. 分析: 根据抛物线方程可求得 p,再根据抛物线性质求得准线方程. 解答: 解:根据抛物线方程可知 2p=8,p=4, 故准线方程为 x=﹣2, 故选 A 点评: 本题主要考查抛物线的应用.属基础题.

7. (3 分)极坐标 p=cosθ 和参数方程 A.直线、直线 B.直线、圆

(t 为参数)所表示的图形分别是() C.圆、圆 D.圆、直线

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 计算题.
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分析: 将极坐标方程和参数方程化为一般方程,然后进行选择. 解答: 解:∵极坐标 p=cosθ,x=pcosθ,y=psinθ,消去 θ 和 p, ∴x +y =x, 2 2 x +y =x 为圆的方程; 参数方程 (t 为参数)消去 t 得,x+y﹣1=0,为直线的方程,
2 2

故选 D. 点评: 此题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的区别和联系,两者要会互相转化,根 据实际情况选择不同的方程进行求解,这也是每年高考必考的热点问题.

8. (3 分)设椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且它的一个焦点坐标是(1,0) ,

则此椭圆的方程为() A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 跟进椭圆的几何性质,求出 c=1,a= 解答: 解:∵椭圆 +

,b=

,求解方程即可. ,且它的一个焦点坐标是(1,0) ,

=1(a>b>0)的离心率为

∴ =

,c=1,a=

,b=



∴椭圆的方程为

=1,

故选:C 点评: 本题考查了椭圆的几何性质,属于容易题,计算题.

9. (3 分)双曲线

(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,过 F1 作倾斜角

为 30°的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为()

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A.

B.

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 先在 Rt△ MF1F2 中,利用∠MF1F2 和 F1F2 求得 MF1 和 MF2,进而根据双曲线的定 义求得 a,最后根据 a 和 c 求得离心率. 解答: 解:如图在 Rt△ MF1F2 中,∠MF1F2=30°,F1F2=2c ∴ ∴ ∴ , ,

故选 B. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,属基础题. 10. (3 分)设 e1,e2 分别为具有公共焦点 F1 与 F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 为两曲线的 一个公共点,且满足 ,则 的值为()

A.

B. 1

C. 2

D.不确定

考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 设椭圆和双曲线的方程为: 和

.由题设条件可知



,结合 解答: 解:设椭圆和双曲线的方程为: 和

,由此可以求出

的值.



∵ ∴ ∵满足 , ,

, ,



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∴△PF1F2 是直角三角形, 2 2 2 ∴|PF1| +|PF2| =4c . 2 即 m+a=2c 则 故选 C. = = =2

点评: 本题综合考查双曲线和椭圆的性质,解题时注意不要把二者弄混了. 二.填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. (3 分)曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) ,则它的离心率等于 . :

考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 由曲线 C 的参数方程为 ,利用 sin θ+cos θ=1 消去参数 θ 即可得出
2 2

普通方程,再利用椭圆的离心率计算公式即可得出. 解答: 解:由曲线 C 的参数方程为 ,利用 sin θ+cos θ=1 消去参数 θ,可得
2 2

=1. ∴a =3,b =1. ∴椭圆的离心率 e= = = .
2 2

故答案为:



点评: 本题考查了把参数方程化为普通方程、 三角函数平方关系、 椭圆的离心率计算公式, 属于基础题. 12. (3 分)抛物线 y =4x 上的点 M 到其焦点 F 的距离为 4,则点 M 的横坐标是 3. 考点: 抛物线的定义. 专题: 计算题.
2

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分析: 先根据抛物线方程求得抛物线的准线,进而根据抛物线定义可知 M 到其焦点 F 的 距离为与 M 到 x=﹣1 的距离进而求得答案. 解答: 解:根据抛物线方程可知其准线方程为 x=﹣1, 则根据抛物线定义可知 M 到其焦点 F 的距离为与 M 到 x=﹣1 的距离即 xM+1=4, ∴xM=3 故答案为 3 点评: 本题主要考查了抛物线的定义.充分利用了抛物线上的点到焦点据等于 M 到抛物 线准线方程. 13. (3 分)若直线 y=kx﹣1 与双曲线 x ﹣y =4 始终有公共点,则 k 取值范围是 k=±1,﹣ ≤k≤ .
2 2

考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 数形结合;转化思想. 分析: 直线 y=kx﹣1 与双曲线 x ﹣y =4 始终有公共点,将两个方程联立, 消元得 x ﹣(kx﹣1) =4,由此方程有解求出参数的范围 解答: 解:由题意令
2 2 2 2 2 2



,得 x ﹣(kx﹣1) =4,整理得(1﹣k )x+2kx﹣5=0

2

2

2

当 1﹣k =0,k=±1 时,显然符合条件; 当 1﹣k ≠0 时,有△ =20﹣16k ≥0,解得﹣ 综上,k 取值范围是 k=±1,﹣ 故答案为 k=±1,﹣ ≤ k≤ ≤k≤
2

≤k≤



点评: 本题考查直线与圆锥曲线的关系, 解题的关键是将两曲线有交点的问题转化为方程 有根的问题,这是研究两曲线有交点的问题时常用的转化方向. 14. (3 分)命题“ax ﹣2ax﹣3≤0 恒成立”是真命题,则实数 a 的取值范围是﹣3≤a≤0. 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 命题中的不等式含有字母参数,首先考虑 a=0,发现此时显然命题是真命题.再看 当 a≠0 时,若要原命题为真命题,必须相应的二次函数图象开口向下且与 x 轴不相交,由此 可列出关于 a 的不等式组,解之即得 a 的取值范围.最后综上所述,得到正确答案. 2 解答: 解:∵命题“ax ﹣2ax﹣3≤0 恒成立”是真命题, 2 ∴对于任意的 x∈R,不等式 ax ﹣2ax﹣3≤0 恒成立, ①当 a=0 时,不等式为﹣3≤0,显然恒成立,符合题意; 2 ②当 a≠0 时,二次函数 y=ax ﹣2ax﹣3≤0 在 R 上恒成立,
2

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,即



解得﹣3≤a<0, ∴实数 a 的取值范围是﹣3≤a<0. 综合①②,实数 a 的取值范围是﹣3≤a≤0. 故答案为:﹣3≤a≤0. 点评: 本题以命题真假的判断为载体,着重考查了含有字母参数的不等式恒成立的知识 点,对于不等式恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解.对于二次函 数要注意数形结合的应用,注意抓住二次函数的开口方向,对称轴,以及判别式的考虑.属 于中档题.

15. (3 分) 已知 A, B 是椭圆

和双曲线

的公共顶点.P 是双曲线上的动点,M 是椭圆上的动点(P、M 都异于 A、B) ,且满足 ,其中 λ∈R,设直线 AP、BP、AM、BM 的斜率分别记为 k1,k2, k3,k4,k1+k2=5,则 k3+k4=﹣5. 考点: 圆锥曲线的共同特征. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出点 P、M 的坐标,代入双曲线和椭圆的方程,再利用已知满足 及其斜率的计算公式即可求出.

解答: 解:∵A,B 是椭圆

和双曲线

的公共顶点,∴(不妨设)A(﹣a,0) ,B(a,0) .

设 P(x1,y1) ,M(x2,y2) ,∵ ﹣a,y1)=λ,化为 x1y2=x2y1. ∵P、M 都异于 A、B,∴y1≠0,y2≠0.∴ .

,其中 λ∈R,∴(x1+a,y1)+(x1

由 k1+k2=

=5,化为

, (*)

又∵

,∴

,代入(*)化为



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k3+k4=

=

,又







∴k3+k4=

=

=﹣5.

故答案为﹣5. 点评: 熟练掌握点在曲线上的意义、双曲线和椭圆的方程、向量的运算性质、斜率的计算 公式是解题的关键,同时本题需要较强的计算能力. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 55 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )标 准方程 16. (8 分) (1)已知抛物线过点 A(1,2) ,求抛物线的标准方程; (2)已知双曲线的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合,且双曲线的离心率等于 2,求双 曲线的标准方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)先根据点的位置确定抛物线焦点的位置,然后分焦点在 x 轴的正半轴时、焦 点在 y 轴的正半轴时两种情况进行求解; (2)确定双曲线的一个焦点为(2,0) ,即 c=2,利用双曲线的离心率等于 2,可得 a=1, 求出 b,即可求出双曲线的标准方程. 解答: 解: (1)点 M(1,2)是第一象限的点 2 当抛物线的焦点在 x 轴的正半轴时,设抛物线的方程为 y =2px(p>0) 2 ∴4=2p,p=2,即抛物线的方程是 y =4x; 2 当抛物线的焦点在 y 轴的正半轴时,设抛物线的方程为 x =2py(p>0) ∴1=4p,p= ,即抛物线的方程是 x = y. 故抛物线的标准方程为 (2)抛物线 y =8x 的焦点为(2,0) , 2 ∵双曲线的一个焦点与抛物线 y =8x 的焦点重合, ∴双曲线的一个焦点为(2,0) ,即 c=2, ∵双曲线的离心率等于 2, ∴a=1, ∴b= , ∴双曲线的标准方程为 点评: 本题主要考查了抛物线的简单性质,考查抛物线、双曲线的方程. (1)注意讨论焦 点在 x 轴和 y 轴两种情况.
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2 2 2

17. (8 分)设命题 p:实数 x 满足(x﹣a) (x﹣3a)<0,其中 a>0,命题 q:实数 x 满足 B= .

(Ⅰ)若 a=1 且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 本题要把复合命题的真假归结为不等式的求解. 解答: 解: (Ⅰ)对于命题 p: (x﹣3a) (x﹣a)<0, 又 a>0,∴a<x<3a, 当 a=1 时,1<x<3,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1<x<3. 由已知 q 为真时实数 x 的取值范围是 2<x<3. 若 p∧q 为真,则 p 真且 q 真, ∴实数 x 的取值范围是(2,3) (Ⅱ)由(Ⅰ)得: p:A={x|a<x<3a,a>0} q:B={x|2<x<3} ∵q 是 p 的充分不必要条件,∴B?A ∴ ,解得 1≤a≤2

∴实数 a 的取值范围是. 点评: 本题为复合命题真假的判断,加以解不等式的计算,属中档题. 18. (9 分)已知实数 x,y 满足方程 x +y =4,求 z=2x+y 的最值. 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 转化思想;坐标系和参数方程. 分析: 首先,将圆的一般式方程转化成圆的参数方程,然后,三角换元,借助于辅助角公 式即可求解. 解答: 解:∵圆 C:x +y =4, ∴故由圆的参数方程可设 x=2cosα,y=2sinα, ∴2x+y=4cosα+2sinα=2 sin(α+β) ,其中 tanβ=2, ∴2x+y 的最大值为:2 ,最小值为:﹣2 . 点评: 本题重点考查了圆的参数方程、三角公式等知识,属于中档题.
2 2 2 2

19. (9 分)已知椭圆 C 焦点在 x 轴上,短轴长为 2,离心率是



(1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 AB 与椭圆 C 交于 AB 两点,直线 AB 的方程是 y=x+1,求弦长|AB|. 考点: 直线与圆锥曲线的关系. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.

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分析: (1)由题意可得 b=1,再由离心率公式和 a,b,c 的关系式,解方程,即可得到 椭圆方程; (2)联立直线方程和椭圆方程,消去 y,得到 x 的方程,求出交点,再由两点之间的距离 公式,即可得到. 解答: 解: (1)设椭圆方程为 =1(a>b>0) ,
2 2

则 2b=2,即 b=1,又 e= 解得,a=2,c= .

,即 =

,又 a =1+c ,

则有椭圆方程为:



(2)联立直线 y=x+1 和椭圆方程,消去 y, 得到 5x +8x=0,解得,x=0 或﹣ . 即有交点 A(0,1) ,B(﹣ ,﹣ ) . 则弦长|AB|= = .
2

点评: 本题考查椭圆的性质和方程的求法, 考查联立直线方程和抛物线方程, 求弦长的方 法,考查计算能力,属于中档题. 20. (10 分)已知二次函数 f(x)=ax +x.对于?x∈,f(x)≤1 成立,试求实数 a 的取值范 围. f(x)≤1?ax +x≤1,x∈…① 当 x=0 时,a≠0,①式显然成立; 当 x∈(0,1]时,①式化为 a≤ ﹣ 在 x∈(0,1]上恒成立.
2 2

设 t= ,则 t∈的最小值,得到本题结论. 解答: 解:∵f(x)≤1, 2 ∴ax +x≤1,x∈…① (1)当 x=0 时,a≠0,①式显然成立; (2)当 x∈(0,1]时,①式化为 a≤ 设 t= ,则 t∈[1,+∞) ,则有 a≤t ﹣t, 所以只须 a≤(t ﹣t)min=0 ∴a≤0, 又∵a≠0, ∴a<0. 故答案为: (﹣∞,0) . 点评: 本题考查的是恒成立问题,考查了参变量分离,本题难度不大,属于基础题.
2 2

﹣ 在 x∈(0,1]上恒成立.

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21. (11 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F(﹣2,0) ,离心率为



(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,T 为直线 x=﹣3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P、Q,当四 边形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (Ⅰ)由题意可得

,解出即可;

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 可得 F (﹣2, 0) , 设T (﹣3, m) , 可得直线 TF 的斜率 kTF=﹣m, 由于 TF⊥PQ, 可得直线 PQ 的方程为 x=my﹣2.设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .直线方程与椭圆方程可得根 与系数的关系.由于四边形 OPTQ 是平行四边形,可得 OPTQ 的面积 S= . ,即可解得 m.此时四边形

解答: 解: (Ⅰ)由题意可得



解得 c=2,a=

,b=

. ;

∴椭圆 C 的标准方程为

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 F(﹣2,0) , 设 T(﹣3,m) ,则直线 TF 的斜率 ∵TF⊥PQ,可得直线 PQ 的方程为 x=my﹣2. 设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) . 联立 ,化为(m +3)y ﹣4my﹣2=0,
2 2



△ >0,∴y1+y2=

,y1y2=



∴x1+x2=m(y1+y2)﹣4=



∵四边形 OPTQ 是平行四边形,
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,∴(x1,y1)=(﹣3﹣x2,m﹣y2) ,



,解得 m=±1.

此时四边形 OPTQ 的面积 S= ═ = .

点评: 本题中考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆及圆相交可得根与系数的 关系及弦长问题、向量相等问题、平行四边形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法, 考查了推理能力和计算能力,考查了数形结合和转化能力,属于难题.

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