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万有引力定律习题归类例析


“万有引力定律”习题归类例析
万有引力定律部分内容比较抽象, 习题类型较多, 不少学生做这部分习题有一种惧怕感, 找不着切入点.实际上,只要掌握了每一类习题的解题技巧,困难就迎刃而解了.下面就本 章的不同类型习题的解法作以归类分析. 一、求天体的质量(或密度) 1.根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力,由天体表面上的重力加 速度和天体的半径求天体的质量

r />
Mm R2g 由 mg=G 2 得 M ? .(式中 M、g、R 分别表示天体的质量、天体表面的重力加 G R
速度和天体的半径.) [例 1]宇航员站在一星球表面上的某高处,沿水平方向抛出一小球,经过时间 t,小球 落在星球表面,测得抛出点与落地点之间的距离为 L,若抛出时的初速度增大到 2 倍,则抛 出点与落地点间的距离为 3 L,已知两落地点在同一水平面上,该星球的半径为 R,引力常 量为 G,求该星球的质量 M 和密度ρ. [解析]此题的关键就是要根据在星球表面物体的运动情况求出星球表面的重力加速度, 再根据星球表面物体的重力等于物体受到的万有引力求出星球的质量和星球的密度.

1 2 gt 2 1 2 2 2 2 设初始平抛小球的初速度为 v,则水平位移为 x=vt.有 ( gt ) ? (vt ) ? L ○ 1 2 1 2 2 2 2 当以 2v 的速度平抛小球时,水平位移为 x'= 2vt.所以有 ( gt ) ? (2vt ) ? ( 3L) 2
根据平抛运动的特点得抛出物体竖直方向上的位移为 y ? ② 在星球表面上物体的重力近似等于万有引力,有 mg=G

Mm R2



联立以上三个方程解得 M ?

2 3LR 2 3Gt 2

而天体的体积为 V ?

4 3 M 3L ?R ,由密度公式 ? ? 得天体的密度为 ? ? 。 3 V 2?Gt 2 R

2.根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径,求中心天体的质量 卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供,利用牛顿第二定律得

G

Mm v2 4? 2 ?m ? m r? 2 ? m r 2 r r2 T

若已知卫星的轨道半径 r 和卫星的运行周期 T、角速度 ? 或线速度 v,可求得中心天体 的质量为 M ?

rv 2 4? 2 r 3 ? 2 r 3 ? ? G G GT 2

[例 2]下列几组数据中能算出地球质量的是(万有引力常量 G 是已知的)( )

-1-

A.地球绕太阳运行的周期 T 和地球中心离太阳中心的距离 r B.月球绕地球运行的周期 T 和地球的半径 r C.月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离 r D.月球绕地球运动的周期 T 和轨道半径 r [解析]解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚,要区分天体半径和天体圆周运动的 轨道半径. 已知地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径只能求出太阳的质量, 而不能求出 地球的质量,所以 A 项不对.已知月球绕地球运行的周期和地球的半径,不知道月球绕地球 的轨道半径,所以不能求地球的质量,所以 B 项不对.已知月球绕地球运动的角速度和轨道

Mm Mm 4? 2 2 半径, G 2 ? mr ? 可以求出中心天体地球的质量, 由 所以 C 项正确. G 2 ? m r 2 由 r r T
求得地球质量为 M ?

4? 2 r 3 ,所以 D 项正确. GT 2

二、人造地球卫星的运动参量与轨道半径的关系问题 根据人造卫星的动力学关系 G

Mm v2 4? 2 ? m ? m r? 2 ? m r 2 ? m a r r2 T

可得 v ?

GM GM 4? 2 r 3 GM ,? ? ,T ? ,a ? 2 3 r GM r r

由此可得线速度 v 与轨道半径的平方根成反比; 角速度 ? 与轨道半径的立方的平方根成 反比,周期 T 与轨道半径的立方的平方根成正比;加速度 a 与轨道半径的平方成反比. [例 3 两颗人造卫星 A、B 绕地球做圆周运动,周期之比为 TA : TB ? 1 : 8 ,则轨道半径之 比和运动速率之比分别为( ) A. RA : RB ? 4 : 1, v A : v B ? 1 : 2 B. RA : RB ? 4 : 1, v A : v B ? 2 : 1 C. RA : RB ? 1 : 4, v A : v B ? 2 : 1 D. RA : RB ? 1 : 4, v A : v B ? 1 : 2 [解析]由 T ?

4? 2 r 3 可得卫星的运动周期与轨道半径的立方的平方根成正比,由 GM
GM 得线速度 v A : vB ? 2 : 1 。 r

TA : TB ? 1 : 8 可得轨道半径 RA : RB ? 1 : 4 ,然后再由 v ?

所以正确答案为 C 项. 三、地球同步卫星问题 卫星在轨道上绕地球运行时, 其运行周期 (绕地球一圈的时间) 与地球的自转周期相同, 这种卫星轨道叫地球同步轨道,其卫星轨道严格处于地球赤道平面内,运行方向自西向东,

-2-

运动周期为 23 小时 56 分(一般近似认为周期为 24 小时),由 G

Mm 4? 2 ? m r 2 得人造地 r2 T
4

球同步卫星的轨道半径 r ? 4.24 ? 10 km ,所以人造同步卫星离地面的高度为 3.6 ? 10 km ,
4

利用 G

Mm v2 ? m 可得它运行的线速度为 3.07 km/s.总之,不同的人造地球同步卫星的 r r2

轨道、线速度、角速度、周期和加速度等均是相同的.不一定相同的是卫星的质量和卫星所 受的万有引力. 人造地球同步卫星相对地面来说是静止的,总是位于赤道的正上空,其轨道叫地球静止 轨道.通信卫星、广播卫星、气象卫星、预警卫星等采用这样的轨道极为有利一颗静止卫星 可以覆盖地球大约 40%的面积,若在此轨道上均匀分布 3 颗卫星,即可实现全球通信或预 0 警.为了卫星之间不互相千扰,大约 3 左右才能放置 1 棵,这样地球的同步卫星只能有 120 颗.可见,空间位置也是一种资源。 [例 4]关于“亚洲一号”地球同步通讯卫星,下述说法正确的是( ) A.已知它的质量是 1.24 t,若将它的质量增为 2.84 t,其同步轨道半径变为原来的 2 倍 B.它的运行速度为 7.9 km/s C.它可以绕过北京的正上方,所以我国能利用其进行电视转播 D.它距地面的高度约为地球半径的 5 倍,所以卫星的向心加速度约为其下方地面上物体 的重力加速度的

1 36

[解析]同步卫星的轨道半径是一定的,与其质量的大小无关.所以 A 项错误.因为在地 面附近绕地球做匀速圆周运动的卫星的速度近似等于 7.9 km/ s,而卫星的线速度随轨道半 径的增大而减小,所以同步卫星的线速度一定小于 7.9 km/s,实际计算表明它的线速度只有 3.07 km/s。所以 B 项错误.因同步卫星的轨道在赤道的正上方,北京在赤道以北,所以同 步轨道不可能过北京的正上方.所以 C 项错误.同步卫星的向心加速度 a ? 地面上的重力加速度 g ?

GM ,物体在 r2

GM 1 g 。D 选项正确。 ,依题意 r ? 6 R ,所以 a ? 2 36 R

四、求天体的第一宇宙速度问题 人造地球卫星的线速度可用 G

Mm v2 GM ? m 求得 v ? 可得线速度与轨道的平方 2 r r r

根成反比,当 r=R 时,线速度为最大值,最大值为 7.9 km/s. (实际上人造卫星的轨道半径 总是大于地球的半径,所以线速度总是小于 7.9 km/s)这个线速度是地球人造卫星的最大 线速度, 也叫第一宇宙速度. 发射人造卫星时, 卫星发射的越高, 克服地球的引力做功越大, 发射越困难,所以人造地球卫星发射时,一般都发射到离地很近的轨道上,发射人造卫星的 最小发射速度为 7. 9 km/ s. 在其他的星体上发射人造卫星时,第一宇宙速度也可以用类似的方法计算,即

v?

GM ? Rg ,式中的 M、R、g 分别表示某星体的质量、半径、星球表面的重力加速 r

-3-

度. [例 5]若取地球的第一宇宙速度为 8 km/s,某行星的质量是地球质量的 6 倍,半径是地 球的 1.5 倍,这顺行星的第一宇宙速度约为( ) A. 2 km/s B. 4 km/s C. 16 km/s D. 32 km/s [解析]由 G

Mm v2 GM ? m 得v ? ? 8 m/s,某行星的第一宇宙速度为 2 R R R

v? ?

GM ? 6GM ? ? 16 m/s R? 1.5R

五、人造卫星的变轨问题 发射人造卫星要克服地球的引力做功,发射的越高,克服地球的引力做功越多,发射越 困难.所以在发射同步卫星时先让它进入一个较低的近地轨道(停泊轨道)A,然后通过点 火加速,使之做离心运动,进入一个椭圆轨道(转移轨道)B,当卫星到达椭圆轨道的远地 点时,再次通过点火加速使其做离心运动,进人同步轨道 C。 [例 6]如图所示,轨道 A 与轨道 B 相切于 P 点,轨道 B 与轨道 C 相 切于 Q 点,以下说法正确的是( ) A.卫星在轨道 B 上由 P 向 Q 运动的过程中速率越来越小 B.卫星在轨道 C 上经过 Q 点的速率大于在轨道 A 上经过 P 点的速率 C.卫星在轨道 B 上经过 P 时的向心加速度与在轨道 A 上经过 P 点的 向心加速度是相等的 D.卫星在轨道 B 上经过 Q 点时受到地球的引力小于经过 P 点的时受到地球的引力 [解析]卫星在轨道 B 上由 P 到 Q 的过程中,远离地心,克服地球的引力做功,所以要做 减速运动,所以速率是逐渐减小的,A 项正确.卫星在 A、C 轨道上运行时,轨道半径不同, 根据 v ?

GM 可知轨道半径越大,线速度小,所以有 vP ? vQ ,所以 B 项错误.卫星在 A、 r

B 两轨道上经过 P 点时,离地心的距离相等,受地球的引力相等,所以加速度是相等的,C 项正确、 卫星在轨道 B 上经过 Q 点比经过 P 点时离地心的距离要远些, 受地球的引力要小些, 所以 D 项正确. 六、人造天体的交会对接问题 交会对接指两个航天器 (宇宙飞船、 航天飞机等) 在太空轨道会合并连接成一个整体. 它 是实现太空装配、回收、补给、维修、航天员交换等过程的先决条件.空间交会对接技术包 括两部分相互衔接的空间操作, 即空间交会和空间对接. 所谓交会是指两个或两个以上的航 天器在轨道上按预定位置和时间相会,而对接则为两个航天器相会后在结构上连成一个整 体. [例 7]关于航天飞机与空间站对接问题,下列说法正确的是( ) A.先让航天飞机与空间站在同一轨道上,然后让航天飞机加速,即可实现对接 B.先让航天飞机与空间站在同一轨道上,然后让航天飞机减速,即可实现对接 C.先让航天飞机进入较低的轨道,然后再对其进行加速,即可实现对接 D.先让航天飞机进入较高的轨道,然后再对其进行加速,即可实现对接 [解析]航天飞机在轨道运行时,若突然对其加速时,地球对飞机的万有引力不足以提供 航天飞机绕地球做圆周运动的向心力,航天飞机就会做离心运动,所以选项 A、B、D 不可能

-4-

实现对接。正确答案为 C 项。 七、双星问题 两棵质量可以相比的恒星相互绕着旋转的现象,叫做双星.双星中两棵子星相互绕着旋 转看作匀速圆周运动的向心力由两恒星间的万有引力提供. 由于力的作用是相互的, 所以两 子星做圆周运动的向心力大小是相等的, 因两子星绕着连线上的一点做圆周运动, 所以它们 的运动周期是相等的,角速度也是相等的,线速度与两子星的轨道半径成正比. [例 8]两棵靠得很近的天体称为双星,它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动,因而 不至于由于万有引力而吸引到一起,以下说法中正确的是( ) A.它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比 B.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比 C.它们做圆周运动的半径与其质量成正比 D.它们做圆周运动的半径与其质量成反比 [解析]两子星绕连线上的某点做圆周运动的周期相等,角速度也相等.由 v ? r? 得线 速度与两子星圆周运动的半径是成正比的. 因为两子星圆周运动的向心力由两子星间的万有 引力提供,向心力大小相等,由 G

M 1M 2 ? M 1 r1? 2 可知 M1r1? 2 ? M 2 r2? 2 ,所以它们的 L2

轨道半径与它们的质量是成反比的. 而线速度又与轨道半径成正比, 所以线速度与它们的质 量也是成反比的.正确答案为 B、D 选项. 八、地面上物体随地球自转做圆周运动问题 因地球自转, 地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运 动,这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用,物 体做圆周运动的向心力是由这两个力的合力提供,受力分析如图 所示. 实际上, 物体受到的万有引力产生了两个效果, 一个效果是维 持物体做圆周运动,另一个效果是对地面产生了压力的作用,所 以可以将万有引力分解为两个分力:一个分力就是物体做圆周运 动的向心力,另一个分力就是重力,如图所示.这个重力与地面 对物体的支持力是一对平衡力.在赤道上时这些力在一条直线上. 在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时,由万有引力定律和牛顿第二定律可得其动力 学关系为 G

Mm 4? 2 ? N ? m R? 2 ? m a向 ? m R 2 ,式中 R、M、 ? 、T 分别为地球的半径、 R2 T

质量、自转角速度以及自转周期。 当赤道上的物体“飘”起来时,必须有地面对物体的支持力等于零,即 N=0,这时物体做 圆周运动的向心力完全由地球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来的 条件是: 由地球对物体的万有引力提供向心力。 以上的分析对其它的自转的天体也是适用的。 [例 9]地球赤道上的物体重力加速度为 g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为 a, 要使赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的( ) A.

a g

B.

g?a a

C.

g ?a a

D.

g a

[解析]设地球原来自转的角速度为 ?1 ,用 F 表示地球对赤道上的物体的万有引力, N 表

-5-

示地面对物体的支持力,由牛顿第二定律得 F ? N ? mR 1 ? ma ?
2

① ②

而物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力,所以有 N ? G ? mg

当当赤道上的物体“飘”起来时,只有万有引力提供向心力,设此时地球转动的角速度 为 ? 2 ,有 F ? mR 2 ?
2



联立①、②、③三式可得

?2 ? ?1

g?a ,所以正确答案为 B 项。 a

-6-


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