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福建省三明市A片区高中联盟校2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理


三明市 A 片区高中联盟校 2015-2016 学年第一学期阶段性考试 高二理科数学试卷
(考试时间:1 月 26 日上午 8:00-10:00 满分 150 分)

一、选择题:本大题 共 1 2 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1. 命题“ ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ”的

否定是( A. ?x ? R, x ? 1 ? 0
2

) B. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 )

C. ?x ? R, x2 ? 1 ? 0 2.已知双曲线 A. y ? ?

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程为( 9 4
B. y ? ?

2 x 3

9 x 4
2

C. y ? ?

3 x 2


D. y ? ?

4 x 9

3.若 a ? R ,则“ 1 ? a ? 2 ”是“ a ? 3a ? 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件

? ? 4.已知向量 a ? (1,1,0) , b ? (?1,0,1) ,且 k a ? b 与 a 互相垂直,则 k =(
A.



1 3

B.

1 2

C. ?

1 3

D. ?

1 2

5.为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况,随机选取该月中的 5 天,将这 5 天中 14 时的气温数据 (单位:℃)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:

①甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温; ②甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温; ③甲地该月 14 时的平均气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差; ④甲地 该月 14 时的平均气温的标准差大于乙地该月 14 时的气 温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为( A. ①③ B. ①④ C. ②③ ) ) D. ②④


开始

a=2

6.运行如图所示程序框图,输出的结果是(

a>23?
是 输出

A. 15 B. 23 C. 47 D. 95 7. 袋中有大小相同 4 个小球,编号分别为 1, 2,3, 4, 从袋中任取两个球(不放回),则 这两个球编号正好相差 1 的概率是( )

结束

1

A.

1 3

B.

1 2
)

C.

2 3

D.

3 4

2 2 8.已知 M( x0 , y0 ) 是双曲线 C:x ? y ? 1 上的一点,F1 , F2 是 C 上的两个焦点, 若 MF1 ? MF2 ? 0 ,

???? ? ?????

则 x0 的取值范围是( A. (? 2, 2)

B. (? 3, 3)

C. (?

6 6 , ) 3 3

D. (?

6 6 , ) 2 2

9.假设关于某设 备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元) ,有如 下的统计资料:

x
y
由资料

1 5

2 6

3 7

4 8

5 10 可知 y 对 x )

? ? 1.2 x ? a , 呈线性相关关系, 且线性回归方程为 y 请估计使用年限为 20 年时, 维修费用约为 (
A. 26.2
2

B. 27 ) B. 45
?

C. 27.6

D. 28.2

10.已知 F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,准线与 x 轴的交点为 M , 点 N 在抛物线上,且 MN ? 2 NF , 则 ?FMN 等于( A. 30
?

C. 60

?

D. 75

?

11. 已知 A ?1 , 2, ?1? , B ?5 , 6, 7? ,则 直线 A B 与平面 xoz 交点的坐标是( A. ? 0 ,, 1 1? B. ? 0 ,, 1 ? 3? C. ? ?1 ,, 0 3? D. ? ?1 ,, 0 ?5?



12.已知 F1 ? ?1, 0 ? , F2 ?1, 0 ? 是椭圆 C1 与双曲线 C 2 共同的焦点,椭圆的一个短轴端点为 B ,直线

F1 B 与双曲线的一条渐近线平行,椭圆 C1 与双曲线 C 2 的离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1 ? e2 取值范围
为( ) B. [4,??) C. (4,??) D. (2,??) A. [2,??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 把答案填在答题卡相应位置上. 13.一个单位共有职工 300 人,其中男职工 180 人,女职工 120 人.用分层抽样的方法从全体职工中 抽取一个容量为 50 的样本,应抽取女职工 人。

14.在四面体 O ? ABC 中, OA ? a , OB ? b , OC ? c , D 为 BC 的中点,则

???? AD =

(用 a,b,c 表示) .

15 .已知 F1 、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A 、B 两点,若

?ABF2 是正三角形,则这个椭圆的离心率为________.
16. 在 区 间 [0,3] 上 随 机 地 选 择 一 个 数 p , 则 方 程 x + 2 px + 3 p - 2 = 0 有 两 个 负 根 的 概 率 为 ________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2 17. (本题满分 10 分)设命题 p :对任意实数 x,不等式 x ? 2 x ? m ? 0 恒成立;命题 q :方程

2

2

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 x 轴上的双曲线. m?3 m
(1)若命题 q 为真命题,求实数 m 的取 值范围; (2)若命题: " p ? q " 为真命题,且“ p ? q ”为假命题,求实数 m 的取值范围.

18. (本题满分 12 分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从某地区随机调查了 100 个用户,得 到用户对产品的满意度评分频率分布表如下: 组别 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 合计 分组 (50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (90,100) 频数 10 20 40 25 5 100 频率 0.1 0.2 0.4 0.25 0.05 1

(1)根据上面的频率 分布表,估计该地区用户对产品的满意度评分超过 70 分的概率; (2)请由频率分布表中数据计算众数、中位数,平均数,根据样本估计总体的思想,若平均分低于 75 分,视为不满意。判断该地区用户对产品是否满意?

19. (本题满分 12 分)如图,在几何体 ABCDE 中,

BE ? 平面 ABC , CD // BE , ?ABC 是等腰直角三角
形, ?ABC ? 90 ,且 BE ? AB ? 4 , CD ? 2 ,点 F 在
0

线段 AC 上,且 AF ? 3FC (1)求异面直线 DF 与 AE 所成角; (2)求平面 ABC 与平面 ADE 所成二面角的余弦值。 20. (本题满分 12 分)已知抛物线 C : y ? 2 px 上一点 A ?
2

?1 ? , a ? 到焦点 F 距离为 1, ?2 ?

( 1)求抛物线 C 的方程;
3

(2)直线 l 过点 ? 0, 2 ? 与抛物线交于 M , N 两点,若 OM ? ON ,求直线的方程。

21. (本题满分 12 分) 某乐园按时段收费, 收费 标准为: 每玩一次不超过 1 小时收费 10 元,超过 1 小时的部分每 小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有 甲、乙二人参与但都不超过 4 小时,甲、乙二人在 每个 时段离场是等可能的。为吸引顾客,每个顾客可以参加 一次抽奖活动。 (1) 用 ?10,10? 表示甲乙玩都不超过 1 小时的付费情况, 求甲、乙二人付费之和为 44 元的概率; (2)抽奖活动的规则是: 顾客通过操作按键使电脑自动产 生两个[0,1]之间的均匀随机数 x, y ,并按如右所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖 ”,则该 顾客中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求顾客中奖的概率. x-2y+1<0

22.(本题满分 12 分)已知椭圆两焦点 F1 ? 3, 0 , F2 (1)求椭圆的方程;

?

? ?

? 3? 3, 0 ,并且经过点 ? ?1, 2 ? ?。 ? ?

?

(2)若过点 A? 0,2? 的直线 l 与椭圆交于不同的 两点 M 、N ( M 在 A 、N 之间) , 试求△ OAM 与 △ OAN 面积之比的取值范围.

4

三明市 A 片区高中联盟校 2015-2016 学年第一学期阶 段性考试 高 二 理 科 数 学 答 案 一、选择题 1-6 B A A B B C 二、填空题 13. 20 14. 7-12 B D C C D D

1? 1? ? b? c?a 2 2

15.

3 3

16.

4 9

三、解答题

x2 y2 ? ? 1表示焦点在 x 轴上的双曲线. 17.解:(1) 因为方程 m?3 m
?m ? 3 ? 0 ,得 m ? 3 ;? 当 m ? 3 时, q 为真命题。 ?? ?m ? 0 2 (2) ? 不等式 x ? 2 x ? m ? 0 恒成立 ? ? ? 4 ? 4m ? 0
--------- 3 分

?m ? 1 ,
--------- 6 分 --------- 7 分

? 当 m ? 1 时, p 为真命题。 ? p ? q 为假命题, p ? q 为真命题,? p, q 一真一假;
①当 p 真 q 假 ?

综上, m 的取值范围是 ?1,3?

?m ? 1 ?1? m ? 3 ?m ? 3

②当 p 假 q 真 ?

?m ? 1 ?m ? 3

无解

--------- 10 分 --------- 3 分

18. 解: (1)用频率估计相应的概率为 0.7. (2)样本众数约为 75, 设中位数约为 a ,则 0.1 ? 0.2 ?

a ? 70 ? 0.4 ? 0.5 ,得 a ? 75 10
----------7 分

? 中位数为 75

-

各组中值分别为 55、65、75、85、95, 故平均值约 55 ? 0.1 ? 65 ? 0.2 ? 75 ? 0.4 ? 85 ? 0.25 ? 95 ? 0.05 ? 74.5 -----10 分

? 74.5 ? 75 ,? 该地区用户对产品是不满意的。---------12 分
19.解:(1)依题得,以点 B 为原点, BA, BC, BE 所在的直线分别为 x, y , z 轴, 建立如图的空间直角坐标系, 则 B(0,0,0) , A(4, 0, 0) , C (0, 4,0) ,

??? ??? ? ??? ?

z E

E(0,0, 4) ,-----1 分
∴ AE ? (?4,0,4) , AC ? (?4,4,0) , ∵ AF ? 3FC

E
D B

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ∴ BF ? BA ? AF ? (1,3,0) ∴ F 的坐标为 (1,3, 0) --------- 3 分 ? CD // BE 且 CD ? 2 ∴ D 的坐标为 (0, 4, 2)

??? ? 3 ???? ∴ AF ? AC ? (?3,3, 0) 4

Dy
C F

F
xA

B

A
5

∴ FD ? (?1,1, 2)

??? ?

------ 4 分

设异面直线 DF 与 AE 所成角为 ? ,则

??? ? ??? ? 4?0?8 12 3 cos? ? cos ? AE, FD ? ? ? ? 2 4 2? 6 8 3
∴异面直线 DF 与 AE 所成角为



??

? 6
--------- 6 分 --------- 7 分

(2) 易知平面 ABC 的一个法向量为 BE ? (0,0, 4) ,

? 6。 ??? ?

设 n ? ( x, y, z) 是平面 ADE 的一个法向量, ? AD ? (?4, 4, 2) 则 n ? AE ? 0 , n ? AD ? 0 ,即 ?

?

????

? ??? ?

? ????

令 y ? 1 ,解得 x ? 2, z ? 2. n ? (2,1, 2)

?

??4 x ? 0 ? 4 z ? 0 ??4 x ? 4 y ? 2 z ? 0
--------- 9 分

设平面 ABC 与平面 ADE 所成二面角为 ? ,由图可知, ? 为锐角,

??? ? ? 0?0?8 2 ? ∴ cos? ? cos ? BE , n ? ? 4?3 3
∴平面 ABC 与平面 ADE 所成二面角的余弦 值为

2 。 3

---------12 分

20.解:(1)依据抛物线的定义知: A 到抛物线焦点 F 的距离为 AF ? 抛物线的方程为 y ? 2 x ;
2

1 p ? ? 1 ,所以 p ? 1 , 2 2

---- ----- 5 分

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), 联立 ? (2) 依题意, 直线 l 的方程设为 y ? kx ? 2 ? k ? 0 ? ,
得 ky ? 2 y ? 4 ? 0 ,
2

? y ? kx ? 2
2 ? y ? 2x

由 ? ? 4 ? 16k ? 0 ,得 k ?

4 1 ; y1 y2 ? k 4

-------- 7 分

? OM ? ON

∴ OM ? ON ? 0 即 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 --------- 9 分

???? ? ????

? y1 y2 ? ∴
4

2

? y1 y2 ? 0



16 4 ? ?0 4k 2 k

解得 k ? ?1 --------- 11 分 --------- 1 2 分

所以直线 l 的方程设为 y ? ? x ? 2 即 x ? y ? 2 ? 0

21. 解:(1)设甲付费 a 元,乙付费 b 元,其中 a, b ? 10,18, 26,34 . 则甲、乙二人的费用构成的基本事件空间为:

?10,10? , ?10,18? , ?10,26? , ?10,34? , ?18,10? , ?18,18? ,

?18,26? , ?18,34? , ? 26,10? , ? 26,18? , ?26,26? , ?26,34? ,
6

?34,10? , ?34,18? , ?34,26? , ?34,34? , 共 16 种情形.

--------- 4 分

其中, ?10,34? , ?18, 26? , ? 26,18? , ?34,10? 这 4 种情形符合题意. 故 “甲、 乙二人付费之和为 44 元” 的概率为 P ? 6分 (2)由已知 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 点 ( x, y ) 如图的正方形 OABC 内,
?x ? 2 y ? 1 ? 0 ? 由条件 ?0 ? x ? 1, ?0 ? y ? 1 ?

4 1 ? . --------16 4

得到的区域为图中阴影部分,--------- 9 分 由 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,令 x ? 0 得 y ? 由条件满足的区域面积 s ?

1 ;令 x ? 1 得 y ? 1 ; 2

1 1 1 ? ? 1 ? 。------- 11 分 2 2 4

1 1 设顾客中奖的事件为 N ,则顾客中奖的概率 p ? N ? ? 4 ? 。--------- 12 分 1 4

x y 22. 解:⑴因为椭圆的焦点在 x 上,所以设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 由定义得 a b
2a ?

2

2

?1 ? 3 ?

2

?

3 ? 4

?1 ? 3 ?

2

?

3 ? 3? ? 3? ?? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ??4 4 ? 2 2 ? ? ? ?
--------- 4 分

, ∴

a?2



b2 ? 4 ? 3 ? 1 ,所以椭圆方程为

x2 ? y 2 ? 1。 4

(2)由题意知直线 l 的斜率存在且不为零,设 l 方程为 y ? kx ? 2 ? k ? 0 ? , 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ),
? y ? kx ? 2 2 2 由? 整理得 (1 ? 4k ) x ? 16kx ? 12 ? 0 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4
?16k 3 ? x1 ? x2 ? ? 由 ? ? 256k ? 48(1 ? 4k ) ? 0 ,得 k ? ; ? 1 ? 4k 2 4 ? 12
2 2
2

--------- 6 分

?x ? x ? ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

1 OA x1 x 令 ? ? S?OAM ? 2 ? 1 ? 0 ? ? ? 1? S?OAN 1 OA x x2 2 2

? x1 x2 ? 0,? x1 , x2 同号,

7

?1 ? ? ? x2 ? x ? 1 ? 4k 2 ? ? ? 1 ? x1 ? ? x2 ,? ? ? x2 12 2
?? x ? ? 2 1 ? 4k 2 ?

?

?16k

--------- 8 分

?

?1 ? ? ?

2

x2 2

? x2 2
2

?1 ? ? ? ?
?
2

16 ?1 ? 4k ? 1? 16 ? 64k 2 1 ? ? ? ? ?1 ? ? 2 2 3 ? 1 ? 4k 2 ? 3 ?1 ? 4k ? 3 ?1 ? 4k ?
2

? ?16k ? 64k 2 ? 2 ? 2 64k 2 1 ? 4k ? ?? ? 1 ? 4k ? 12 3 3 ?1 ? 4k 2 ? 2 1 ? 4k

2

3 ?k ? 4

?1 ? ? ? ?4 ?
?

2

?

1 16 ,解得 ? ? ? 3 , 3 3

--------- 11 分

?0 ? ? ? 1

1 ? ? ? ?1 3

所以△ OAM 与△ OAN 面积之比的取值范围是 ? ,1? 。

?1 ? ?3 ?

--------- 12 分

8


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