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2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 8.3 直线、平面平行的判定与性质


§ 8.3

直线、平面平行的判定与性质

1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 条件 结论 a∩α=? a∥α a?α,b?α,a∥b b∥α a∥α a∩α=? a∥α,a?β,α∩β=b a∥ b 定理 性质

2.面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 a?β, b?β, a∩b =P,a∥α,b∥α

α∥β α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b 定理 性质

条件 结论 【思考辨析】

α∩β=? α∥β

α∥β,a?β a∥ α

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( × (2)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √ (3)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a∥α.( × ) ) ) )

(4)空间四边形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,AD 的中点,则 EF∥平面 BCD.( √ (5)若 α∥β,直线 a∥α,则 a∥β.( × )

1. 设 α, β, γ 为三个不同的平面, m, n 是两条不同的直线, 在命题“α∩β=m, n?γ, 且________, 则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组,使该命题为真命题. ①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ. 可以填入的条件有( )

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A.①或② C.①或③ 答案 C

B.②或③ D.①或②或③

解析 由面面平行的性质定理可知,①正确;当 n∥β,m?γ 时,n 和 m 在同一平面内,且没 有公共点,所以平行,③正确.故选 C. 2.下列命题中,错误的是( )

A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行,则这两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.若两个平面平行,则位于这两个平面内的直线也互相平行 D.若两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 答案 C 解析 由面面平行的判定定理和性质知 A、B、D 正确.对于 C,位于两个平行平面内的直线 也可能异面. 3.空间中,下列命题正确的是( A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α B.若 a∥α,b∥α,a?β,b?β,则 β∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β D.若 α∥β,a?α,则 a∥β 答案 D 解析 对于 A,b 可以在 α 内,A 错;对于 B,当 a,b 相交时才能有 β∥α,B 错;对于 C,b 可能在 β 内,C 错;由面面平行的性质知,D 正确. 4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________. 答案 2 )

解析 因为直线 EF∥平面 AB1C,EF?平面 ABCD, 且平面 AB1C∩平面 ABCD=AC,所以 EF∥AC, 又 E 是 DA 的中点,所以 F 是 DC 的中点, 1 由中位线定理可得 EF= AC, 2 又在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2, 所以 AC=2 2,所以 EF= 2.

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题型一 直线与平面平行的判定与性质 例 1 (2014· 山东改编)如图,四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,AB=BC 1 = AD,E,F,H 分别为线段 AD,PC,CD 的中点,AC 与 BE 交于 O 2 点,G 是线段 OF 上一点. (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:GH∥平面 PAD. 思维点拨 (2)中可证明平面 OFH∥平面 PAD. 证明 (1)连接 EC, 1 ∵AD∥BC,BC= AD, 2 ∴BC 綊 AE, ∴四边形 ABCE 是平行四边形, ∴O 为 AC 的中点. 又∵F 是 PC 的中点, ∴FO∥AP, FO?平面 BEF,AP?平面 BEF, ∴AP∥平面 BEF. (2)连接 FH,OH, ∵F,H 分别是 PC,CD 的中点, ∴FH∥PD,∴FH∥平面 PAD. 又∵O 是 BE 的中点,H 是 CD 的中点, ∴OH∥AD,∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH=H,∴平面 OHF∥平面 PAD. 又∵GH?平面 OHF,∴GH∥平面 PAD. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法:(1)利用线面平行的定义(无公共点);(2)利用线

面平行的判定定理(a?α, b?α, a∥b?a∥α); (3)利用面面平行的性质定理(α∥β, a?α?a∥β); (4)利用面面平行的性质(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).

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(2013· 福建改编)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD, AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60° . (1)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (2)求三棱锥 D—PBC 的体积. 方法一 (1)证明 如图①,取 PB 中点 N,连接 MN,CN.

在△PAB 中,∵M 是 PA 的中点, 1 ∴MN∥AB,MN= AB=3, 2 又 CD∥AB,CD=3, ∴MN∥CD,MN=CD, ∴四边形 MNCD 为平行四边形, ∴DM∥CN. 又 DM?平面 PBC,CN?平面 PBC, ∴DM∥平面 PBC. 1 (2)解 VD—PBC=VP—DBC= S△DBC· PD, 3 又 S△DBC=6,PD=4 3, 所以 VD—PBC=8 3. 方法二 (1)证明 如图②,取 AB 的中点 E,连接 ME,DE. 在梯形 ABCD 中,BE∥CD,且 BE=CD, ∴四边形 BCDE 为平行四边形, ∴DE∥BC,又 DE?平面 PBC,BC?平面 PBC, ∴DE∥平面 PBC. 又在△PAB 中,ME∥PB, ME?平面 PBC,PB?平面 PBC, ∴ME∥平面 PBC,又 DE∩ME=E, ∴平面 DME∥平面 PBC.又 DM?平面 DME, ∴DM∥平面 PBC. (2)同方法一.

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题型二 平面与平面平行的判定与性质 例 2 (2013· 陕西)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 为底面中心,A1O⊥平面 ABCD,AB=AA1= 2. (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积. (1)证明 由题设知,BB1 綊 DD1, ∴四边形 BB1D1D 是平行四边形,∴BD∥B1D1. 又 BD?平面 CD1B1,B1D1?平面 CD1B1, ∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC, ∴四边形 A1BCD1 是平行四边形,∴A1B∥D1C. 又 A1B?平面 CD1B1,D1C?平面 CD1B1, ∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B=B, ∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)解 ∵A1O⊥平面 ABCD, ∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 又∵AO= AC=1,AA1= 2, 2
2 ∴A1O= AA2 1-OA =1.

1 又∵S△ABD= × 2× 2=1, 2 ∴ VABD-A1B1D1 =S△ABD×A1O=1. 思维升华 证明面面平行的方法: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个 平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

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如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E、 F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点,求证: (1)直线 EG∥平面 BDD1B1; (2)平面 EFG∥平面 BDD1B1. 证明 (1)如图,连接 SB, ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点, ∴EG∥SB. 又∵SB?平面 BDD1B1, EG?平面 BDD1B1, ∴直线 EG∥平面 BDD1B1. (2)连接 SD, ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点,∴FG∥SD. 又∵SD?平面 BDD1B1,FG?平面 BDD1B1, ∴FG∥平面 BDD1B1,由(1)知, EG∥平面 BDD1B1,且 EG?平面 EFG, FG?平面 EFG,EG∩FG=G, ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1. 题型三 平行关系的综合应用 例 3 如图所示,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位置时其截面面积最大? 思维点拨 利用线面平行的性质可以得到线线平行,可以先确定截面形

状,再建立目标函数求最值. 解 ∵AB∥平面 EFGH, 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH. ∴AB∥FG,AB∥EH, ∴FG∥EH,同理可证 EF∥GH, ∴截面 EFGH 是平行四边形. 设 AB=a,CD=b,∠FGH=α (α 即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角). x CG y BG x y b 又设 FG=x,GH=y,则由平面几何知识可得 = , = ,两式相加得 + =1,即 y= (a a BC b BC a b a -x), ∴S?EFGH=FG· GH· sin α b bsin α =x· · (a-x)· sin α= x(a-x). a a ∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值,
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bsin α absin α ∴当且仅当 x=a-x 时, x(a-x)= , a 4 a b 此时 x= ,y= . 2 2 即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大. 思维升华 利用线面平行的性质,可以实现与线线平行的转化,尤其在截面图的画法中,常

用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决. 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正方形,侧 棱 PA⊥底面 ABCD,在侧面 PBC 内,有 BE⊥PC 于 E,且 BE= AB 上找一点 F,使 EF∥平面 PAD. 解 在平面 PCD 内,过 E 作 EG∥CD 交 PD 于 G, 连接 AG,在 AB 上取点 F,使 AF=EG, ∵EG∥CD∥AF,EG=AF, ∴四边形 FEGA 为平行四边形, ∴FE∥AG. 又 AG?平面 PAD,FE?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD. ∴F 即为所求的点. 又 PA⊥面 ABCD,∴PA⊥BC, 又 BC⊥AB,∴BC⊥面 PAB. ∴PB⊥BC. ∴PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2. 设 PA=x 则 PC= 2a2+x2, 由 PB· BC=BE· PC 得: 6 a2+x2· a= 2a2+x2· a, 3 ∴x=a,即 PA=a,∴PC= 3a. 又 CE= ∴ a2-? 6 2 3 a? = a, 3 3 6 a,试在 3

PE 2 GE PE 2 = ,∴ = = , PC 3 CD PC 3

2 2 2 即 GE= CD= a,∴AF= a. 3 3 3 2 即 AF= AB. 3

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立体几何中的探索性问题 典例:(12 分)如图,在四棱锥 S-ABCD 中,已知底面 ABCD 为直角梯形, 其中 AD∥BC, ∠BAD=90° , SA⊥底面 ABCD, SA=AB=BC=2.tan∠SDA 2 = . 3 (1)求四棱锥 S-ABCD 的体积; (2)在棱 SD 上找一点 E,使 CE∥平面 SAB,并证明. 规范解答 2 解 (1)∵SA⊥底面 ABCD,tan∠SDA= ,SA=2, 3 ∴AD=3.[2 分] 由题意知四棱锥 S-ABCD 的底面为直角梯形,且 SA=AB=BC=2,[4 分] 1 1 VS-ABCD= ×SA× ×(BC+AD)×AB 3 2 1 1 10 = ×2× ×(2+3)×2= .[6 分] 3 2 3 (2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时, 可使 CE∥平面 SAB.[8 分] 取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E,取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F,连接 CE,EF,BF, 2 2 则 EF 綊 AD,BC 綊 AD, 3 3 ∴BC 綊 EF,∴CE∥BF.[10 分] 又∵BF?平面 SAB,CE?平面 SAB, ∴CE∥平面 SAB.[12 分] 答题模板 解决立体几何中的探索性问题的步骤 第一步:写出探求的最后结论. 第二步:证明探求结论的正确性. 第三步:给出明确答案. 第四步:反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 温馨提醒 (1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究,对条件和结论不完

备的开放性问题的探究,解决这类问题一般根据探索性问题的设问,假设其存在并探索出结 论,然后在这个假设下进行推理论证,若得到合乎情理的结论就肯定假设,若得到矛盾就否

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定假设. (2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤:从结论出发“要使??成立”,“只需 使??成立”.

方法与技巧 1.平行问题的转化关系

2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β. 失误与防范 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平 行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要 注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”. 3.解题中注意符号语言的规范应用.

A 组 专项基础训练 (时间:45 分钟) 1.设 α,β 是两个不同的平面,m,n 是平面 α 内的两条不同的直线,l1,l2 是平面 β 内的两条 相交直线,则 α∥β 的一个充分而不必要条件是( A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β 答案 D 解析 m∥l1,且 n∥l2?α∥β,但 α∥β?/ m∥l1 且 n∥l2,∴“m∥l1,且 n∥l2”是“α∥β” 的一个充分不必要条件. 2.若直线 a 平行于平面 α,则下列结论错误的是( ) B.l1∥α 且 l2∥α D.m∥l1 且 n∥l2 )

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A.a 平行于 α 内的所有直线 B.α 内有无数条直线与 a 平行 C.直线 a 上的点到平面 α 的距离相等 D.α 内存在无数条直线与 a 成 90° 角 答案 A 解析 若直线 a 平行于平面 α,则 α 内既存在无数条直线与 a 平行,也存在无数条直线与 a 异 面且垂直,所以 A 不正确,B、D 正确.又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等,所以 C 正确. 3.在空间四边形 ABCD 中,E、F 分别是 AB 和 BC 上的点,若 AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则 对角线 AC 和平面 DEF 的位置关系是( A.平行 C.在平面内 答案 A AE CF 解析 如图, 由 = 得 AC∥EF.又因为 EF?平面 DEF, AC?平面 DEF, EB FB 所以 AC∥平面 DEF. 4.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α、β、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α,m?β,则 α∥β; ②若 α∥β,l?α,m?β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m.γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为( ) B.相交 D.不能确定 )

A.3 B.2 C.1 D.0 答案 C 解析 ①中当 α 与 β 不平行时,也可能存在符合题意的 l、m;②中 l 与 m 也可能异面;③中 l∥γ ? ? ?l?α ? ?α∩γ=n

?l∥n,同理,l∥m,则 m∥n,正确.

5.下列四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是( )

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A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 答案 B 解析 ①中易知 NP∥AA′,MN∥A′B, ∴平面 MNP∥平面 AA′B 可得出 AB∥平面 MNP(如图). ④中,NP∥AB,能得出 AB∥平面 MNP. 6.在四面体 A-BCD 中,M,N 分别是△ACD,△BCD 的重心,则四面体的四个面中与 MN 平行的是________. 答案 平面 ABD 与平面 ABC 解析 如图,取 CD 的中点 E. 则 EM∶MA=1∶2, EN∶BN=1∶2, 所以 MN∥AB. 所以 MN∥平面 ABD, MN∥平面 ABC. 7.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下底 a 面的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P、 3 M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________. 答案 2 2 a 3

解析 ∵平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1,∴MN∥PQ. a ∵M、N 分别是 A1B1、B1C1 的中点,AP= , 3 a 2a 2 2 ∴CQ= ,从而 DP=DQ= ,∴PQ= a. 3 3 3 8.在四面体 ABCD 中,截面 PQMN 是正方形,则在下列结论中,错误的 为________. ①AC⊥BD; ②AC∥截面 PQMN; ③AC=BD; ④异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45° . 答案 ③

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解析 ∵PQMN 是正方形, ∴MN∥QP,则 MN∥平面 ABC, 由线面平行的性质知 MN∥AC,则 AC∥截面 PQMN, 同理可得 MQ∥BD,又 MN⊥QM,则 AC⊥BD, 故①②正确. 又∵BD∥MQ,∴异面直线 PM 与 BD 所成的角即为∠PMQ=45° ,故④正确. 9.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E 分别是 AA1 和 B1C 的中点.

(1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求三棱锥 E-BCD 的体积. (1)证明 取 BC 中点 G,连接 AG,EG. 1 因为 E 是 B1C 的中点,所以 EG∥BB1,且 EG= BB1. 2 由直棱柱知,AA1 綊 BB1,而 D 是 AA1 的中点,所以 EG 綊 AD, 所以四边形 EGAD 是平行四边形.所以 ED∥AG. 又 DE?平面 ABC,AG?平面 ABC, 所以 DE∥平面 ABC. (2)解 因为 AD∥EG,EG?平面 BCE,AD?平面 BCE,所以 AD∥平面 BCE, 所以 VE-BCD=VD-BEC=VA-BCE=VE-ABC, 由(1)知,DE∥平面 ABC. 1 1 所以 VE-ABC=VD-ABC= AD· BC· AG 3 2 1 = ×3×6×4=12. 6 10.如图,E、F、G、H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、 C1D1、AA1 的中点.求证: (1)EG∥平面 BB1D1D; (2)平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明 (1)取 B1D1 的中点 O,连接 GO,OB, 易证四边形 BEGO 为平行四边形,故 OB∥GE,

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由线面平行的判定定理即可证 EG∥平面 BB1D1D. (2)由题意可知 BD∥B1D1. 如图,连接 HB、D1F, 易证四边形 HBFD1 是平行四边形, 故 HD1∥BF. 又 B1D1∩HD1=D1, BD∩BF=B, 所以平面 BDF∥平面 B1D1H. B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟) 11.对于平面 α 和共面的直线 m,n,下列命题中为真命题的是( A.若 m,n 与平面 α 所成的角相等,则 m∥n B.若 m∥α,n∥α,则 m∥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m?α,n∥α,则 m∥n 答案 D 解析 正三棱锥 P-ABC 的侧棱 PA,PB 与底面所成角相等,但 PA 与 PB 相交,应排除 A; 若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 平行或相交,应排除 B;若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,应排 除 C;因为 m,n 共面,设经过 m,n 的平面为 β,因为 m?α,所以 α∩β=m.因为 n∥α,所 以 n∥m. 12.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、CD 的 中点,N 是 BC 的中点,动点 M 在四边形 EFGH 上及其内部运动,则 M 满足条件________时, 有 MN∥平面 B1BDD1. )

答案 M∈线段 FH 解析 因为 HN∥BD,HF∥DD1,所以平面 NHF∥平面 B1BDD1,故线段 FH 上任意点 M 与 N 相连,都有 MN∥平面 B1BDD1. 13.空间四边形 ABCD 的两条对棱 AC、BD 的长分别为 5 和 4,则平行 于两条对棱的截面四边形 EFGH 在平移过程中,周长的取值范围是

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________. 答案 (8,10) DH GH AH EH 解析 设 = =k,∴ = =1-k, DA AC DA BD ∴GH=5k,EH=4(1-k),∴周长=8+2k. 又∵0<k<1,∴周长的范围为(8,10). 14.平面 α 内有△ABC,AB=5,BC=8,AC=7,梯形 BCDE 的底 DE= 2, 过 EB 的中点 B1 的平面 β∥α, 若 β 分别交 EA、 DC 于 A1、 C1, 求△A1B1C1 的面积. 解 ∵α∥β, ∴A1B1∥AB,B1C1∥BC. 又因∠A1B1C1 与∠ABC 同向, ∴∠A1B1C1=∠ABC. 52+82-72 1 又∵cos∠ABC= = , 2×5×8 2 ∴∠ABC=60° =∠A1B1C1. 又∵B1 为 EB 的中点,∴B1A1 是△EAB 的中位线, 1 5 ∴B1A1= AB= , 2 2 同理知 B1C1 为梯形 BCDE 的中位线, 1 ∴B1C1= (BC+DE)=5. 2 1 则 S? A1B1C1 = A1B1· B1C1· sin 60° 2 15 3 25 = ·· 5· = 3. 22 2 8 25 故△A1B1C1 的面积为 3. 8 15.如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为矩形, PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M, 使得 PA∥平面 EDM?若存在, 求出 AM 的长; 若不存在,请说明理由. 解 (1)因为 PD⊥平面 ABCD,所以 PD⊥AD. 又因 ABCD 是矩形,所以 AD⊥CD. 因 PD∩CD=D,所以 AD⊥平面 PCD, 所以 AD 是三棱锥 A—PDE 的高.
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因为 E 为 PC 的中点,且 PD=DC=4, 1 1 1 ×4×4?=4. 所以 S△PDE= S△PDC= ×? ? 2 2 ?2 又 AD=2, 1 1 8 所以 VA—PDE= AD· S△PDE= ×2×4= . 3 3 3 (2)取 AC 中点 M,连接 EM,DM,因为 E 为 PC 的中点,M 是 AC 的中点, 所以 EM∥PA. 又因为 EM?平面 EDM,PA?平面 EDM, 所以 PA∥平面 EDM. 1 所以 AM= AC= 5. 2 即在 AC 边上存在一点 M,使得 PA∥平面 EDM,AM 的长为 5.

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