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6弯曲应力


第六章 弯曲应力
§6-1 概 述

dA ? dA

? dA
? dA ? M ? ? M ? dA ? Q ? ? Q

在横截面上,法向内力元素dN=σdA合成弯矩 M,切向内力元素dQ=τdA合成剪力Q

1.纯弯曲:(CD段)
Q = 0,M = const



P
A

P
D B

横截面上只有正应力 而无切应力 2.横力弯曲:(AC和DB段)

P Q P

a

C

l

a

P

Q≠0,M≠0
横截面上既有正应力 又有切应力

M

Pa

P
CL8TU1

§6-2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
变形几何关系

从三方面考虑: 物理关系
静力学关系 一、变形几何关系

用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁
作纯弯曲试验:

m

m a
b m

n a
b n

m

m

m

观察到以下变形现象: (1)aa、bb弯成弧线,aa缩短,bb伸长
(2)mm 和 nn 仍为直线, 并且仍然与已经成为弧 线的 aa和 bb 垂直, 只是相对转过了一个角度 梁在纯弯曲时的平面假设: 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面, 并仍垂直于变形后的轴线,只是横截面绕某一 轴旋转了一个角度。

再作单向受力假设:假设各纵向纤维之间互不
挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压 的状态。 推论:

梁在弯曲变形时,上面部分纵向纤维缩短,
下面部分纵向纤维伸长,必有一层纵向纤维既

不伸长也不缩短,保持原来的长度,这一纵向纤
维层称为中性层。

中性层与横截面的交线称为中性轴

中性轴 中性层

CL8TU3-1

中性层

一、变形几何关系:

y ( ? ? y)d? ? ? d? ? ?? ? ? d?

d?

?

y
dx

z
y

y
CL8TU3-2

二、物理关系

? ? E? ? E

y

?

横截面上的正应力分布规律

M

1 沿高度方向线性分布
2 以中性轴为界,一侧为拉应力,另一侧为压应力

3 中性轴上的点(y=0)正应力为零
4 距离中性轴最远的点上有最大的正应力值

三、静力学关系
FN ? ? ?dA ? 0
A

M y ? ? z ? ? dA ? 0
A

? dA

M z ? ? y ? ? dA ? M
A

FN ? ? ?dA ? 0 ? E dA ? 0 ? ? y dA ? 0 ? A
A

y

?

A

Sz =yC A = 0

中性轴过形心

M y ? ? z ? ? dA ? 0 ? ? z ? E dA ? 0 ? I yz ? 0
A

y

A

?

M z ? ? y ? ? dA ? M ? ? y ? E dA ? M
A

y

A

?

M ? ? EI z

1

EI z ——抗弯刚度

中性轴过截面形心

中性层的曲率公式:

M ? ? EI z
M y ?? Iz

1

正应力计算公式:

正应力计算公式:

公式适用条件: 1)平面弯曲时的纯弯曲 (平面假设: 横截面具有一根对称轴) 2)? ? ?p ( 材料服从胡克定律 — 略去横向挤压应力)

M y ?? Iz

My 对? ? Iz
中性轴上 ? ? 0

沿y方向,线性分布 中性轴两侧 ? ? 0 ? ?0

离中性轴最远点

M ? max ? ? ymax Iz

M、y绝对值代入,由变形判断 m ? ?0 (M>0) ? ?0

?

符号

M ? 0, 上压下拉 M ? 0, 下压上拉

m

? ?0
(M<0) ? ?0

横截面上的最大正应力:

M y2 M y1 , ?c ? ?t ? IZ IZ
当中性轴是横截面的对称轴时:

y1 ? y2 ? y max

? t ? ? c ? ? max

? max

M y max M ? ? IZ WZ

Iz Wz ? y max
Wz 称为抗弯截面模量

bh IZ ? 12

3

bh , WZ ? 6
4

2

IZ ?
IZ ?

?d

64
4

, WZ ?
4

?d
4

3

32
(1 ? ? )
4

? (D ? d )
64

?

?D
64
4

WZ ?

?D
32

3

(1 ? ? )

§6-3 横力弯曲时的正应力 正应力强度计算
M y ?? Iz
? 上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推 导的,实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。 ? 对于横力弯曲,由于剪力的存在,横截面产生 剪切变形,使横截面发生翘曲,不再保持为平

面。

? 弹性力学精确分析结果指出:当梁的跨度大于梁的 横截面高度5倍(即l>5h)时,剪应力和挤压应力对 弯曲正应力的影响甚小,可以忽略不计。因此由纯 弯曲梁导出的正应力计算公式,仍可以应用于横力

弯曲的梁中。
纯弯曲的正应力公式可以推广适用于: (1)小变形; (2)材料处于比例极限范围内; (3)纯弯曲的梁或的l>5h横力平面弯曲的梁; (4)直梁或小曲率的梁( r > 5h )

二、梁的正应力强度条件

? max

M max ? ? [? ] WZ

利用上式可以进行三方面的强度计算: ①已知外力、截面形状尺寸、许用应力,校核 梁的强度 ②已知外力、截面形状、许用应力,设计梁的 截面尺寸 ③已知截面形状尺寸、许用应力,求许可载荷

例1:两矩形截面梁,尺寸和材料的许用应力 均相等,但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强

度条件确定两者许可载荷之比 P1/P2=?

l

解:

? max 1 ?

M max 1 Wz 1 M max 2 Wz 2

P1l ? 2 bh 6 P2 l ? 2 hb 6

? max 2 ?

由 ? max 1 ? ? max 2 ? [? ] 得:
P1 h ? P2 b

例2: 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍, 宽度减小一半时,从正应力强度条件考虑,该

梁的承载能力将是原来的多少倍?
解: 由公式

? max

M max M max ? ? 2 Wz bh 6

可以看出, 该梁的承载能力将是原来的 2 倍。

例3:主梁AB,跨度为l,采用加副梁CD的方法
提高承载能力,若主梁和副梁材料相同,截面尺

寸相同,则副梁的最佳长度a为多少?

A

C
l 2

a 2

P a
2 l 2

D

B

解:最大弯矩相等时,副梁材料得到充分利用

P 主梁AB的最大弯矩 M max AB ? (l ? a ) 4 Pa 副梁CD的最大弯矩 M max CD ? 4 Pa P (l ? a ) ? 由 M max AB ? M max CD 即 4 4 l 得 a? 2

例4:图示梁的截面为T形,材料的许用拉应力 和许用压应力分别为[σt]和[σc],则 y1 和

y2 的最佳比值为多少?(C为截面形心)

P
y1
y2
C

z

解:

M max y1 ?t ? ? [? t ] Iz
M max y2 ?c ? ? [? c ] Iz (1) 得: ( 2) y1 [? t ] ? y2 [? c ]

(1)
(2)

例5:图示外伸梁,受均布载荷作用,材料的 许用应力[σ]=160MPa,校核该梁的强度。

10 kN / m

200 2m 4m 100

10 kN / m

200 2m 4m Q( kN) 25 45kN 100
15kN 解:由弯矩图可见 M max ? 20kN ? m

20 M ( kN ? m)

3 M 20 ? 10 15 ? ? max ? max 2 W 01 . ? 0 . 2 z 1125 . 6 ? 30MPa < [? ]

20

该梁满足强度条件,安全

例6:已知铸铁杆m=3kN·m,E=175GPa。求:① 最大拉 应力、最大压应力 ②曲率半径 ?
90 解:①确定中性轴: m=3kN· m 20

40

y1 A1 ? y2 A2 yC ? A1 ? A2 50? 90? 20 ? 20? 30? 40 ? 90? 20 ? 30? 40 ? 38(m m)

30

(mm)

· Ⅰ 50 z · Ⅱ
yC

20

z’

求对中性轴的惯性矩:

I z ? ? ( I z ' ? Ai ai )
2

1 1 3 2 ? [ ? 90? 20 ? 90? 20?12 ] ? [ ? 30? 403 ? 30? 40?182 ] 12 12 ? 868?10?9 m 4
· Ⅰ 50 20 z · Ⅱ
yC

z’

②求最大拉应力和压应力:
? t max ? ? A ?
M ? yA Iz

m=3kN· m

3 ?103 ? 22?10?3 ? ? 76.0MPa ?9 868?10

A

(Tensile stress)

22mm
38mm

? c max ? ? B ? ?
??
3

M ? yB Iz
?3

3 ?10 ? 38?10 ? ?131.3MPa ?9 868?10

B
m

? t max

(Compressive Stress)

? c max

③求曲率半径:

M 3 ?10 ? ? ? EI 175?109 ? 868?10?9 1
3

? 19.75?10?3 / m
? ? ? 50.6m

例7:图示三种截面梁,材质、截面内Mmax、
σmax全相同,求三梁的重量比。并指出哪种截面

最经济。

2b A1 b

a

A2

A3

d

a

解:由题意可知 Wz1 ? Wz 2 ? Wz 3

? ?d b(2b) a ?b ? 0.6300a ?? ? ? 即 6 6 32 ? . a ? d ? 1193 2 2 2 ?d ? 0.794 :1:112 . A1 : A2 : A3 ? 2b : a : 4
2 3 3

2b A1 b

a

A2

A3

d

a

例8:图示铸铁梁,许用拉应力[σt ]=30MPa,
许用压应力[σc ]=60MPa,Iz=7.63×10-6m4,试

校核此梁的强度。

A

4 kN 52 B C D 88 1m 1m 1m

9 kN

C

z

4 kN 52 B A z C D C 88 1m 1m 1m 2.5 kN 10.5 kN M ( kN ? m) 2.5 ? 88 ?t ? C截面: ? 288 . MPa 2.5 Iz 2.5 ? 52 ?c ? ? 17.0 MPa I z 4 4 ? 52 ? 27.3 MPa B截面:? t ? Iz 4 ? 88 ?c ? ? 461 . MPa Iz

9 kN

例9:T形截面梁,已知如下条件: 6 4 P ? 8 kN , P ? 20 kN , a ? 0 . 6 m , I ? 5 . 33 ? 10 mm 1 2 z ? t ? 240MPa, ? c ? 600MPa, n ? 4 校核强度
P1
A a a C a

P2
B
· 40 80

解:①支反力 RA ? 22kN

RB ? 6kN

P1
A a 22 a C

P2
B a 6 14 8 3.6 4.8 6

② 内力图
M A ? ?4.8kN ? m M C ? 3.6kN ? m

③ 强度校核
[? c ] ? [? t ] ?

?c
n

? 150MPa ? 60MPa

Q (kN)

?t
n

? c max ? ? A下 ? 72MPa ? [? c ]

M (kN· m)

? A上 ? 36MPa ?? ? t max ? 54MPa ? C下 ? 54MPa ? [? t ]
∴ 强度满足要求

例10:简支梁AB在C截面下边缘贴一应变片,
测得其应变ε= 6×10-4,材料的弹性模量

E=200GPa,求载荷P的大小。

P

A
0.5 m

C D
0.4 m 1m

B
20

40

解:C点的应力 ? C ? E ? ? 200 ? 10 ? 6 ? 10
3

?4

? 120MPa C截面的弯矩 M C ? ? C Wz ? 640 N ? m

. P ? 640 N ? m . ? 04 . P ? 02 由 M C ? 0.5R A ? 05
得 P ? 3.2 kN

P

A
0.5 m

C D
0.4 m 1m

B
20

40

例11:简支梁受均布荷载,在其C截面的下边 缘贴一应变片,已知材料的E=200GPa,试问

该应变片所测得的应变值应为多大?

q ? 40 kN / m

A C

300 B 200

15 . m

15 . m

ql 解:C截面的弯矩 M C ? ? 45kN ? m 8

2

MC ? 15MPa C截面下边缘的应力 ? C ? Wz 6 ?C 15 ? 10 ?5 ? 7 . 5 ? 10 ? 应变值 ? ? E 200 ? 10 9 q ? 40 kN / m
300 B 200

A C

15 . m

15 . m

例12:图示木梁,已知下边缘纵向总伸长为 10
mm,E=10GPa,求载荷P的大小。

P A
300 B 200

C

2m

2m

? AC ? ? ? ( x ) ? d x ? 解:
0 l /2

l /2

l /2

?
0

? ( x)
E

l /2

dx ?

?
0

M ( x) dx Wz E

2 P l Px ? ? dx ? 2 Wz E 16Wz E 0

P?

16Wz E ? AC

l2 ? 150 kN

16 0.2 ? 0.32 ? 2 ? 1010 ? 5 ? 10 ?3 6 4

P

A

x

dx

C

300 B 200

2m

2m

例13:已知16号工字钢 , Wz=141cm3 , l=1.5m , a=1m , [?]=160MPa , E=210GPa , 在梁的下边缘 C 点沿轴向贴一应变片, 测得 C 点轴向线应变 ? c ? 400 ?10?6 。 求:载荷 F , 并校核梁正应力强度。
l/2
F

A

a
l

C

B

z

NO.16

l/2

F

A

a
l

C

B

z

NO.16

解:

1. ? C ? E? C ? 210 ?109 ? 400 ?10?6 ? 84 ?106 Pa ? 84MPa
?C ?
3

M C ? FB (l ? a) ? 0.25F

M C 0.25F 0.25F ? ? Wz Wz 141?10?6

? F ? 47.4 ?10 N ? 47.4kN
2. M max
? max

1 ? FL ? 17.8kN ? m 4

M max 17.8 ?103 6 ? ? ? 126 ? 10 Pa ? 126MPa ? [? ] ?6 Wz 141?10

例14:我国营造法中,对矩形截面梁给出的尺 寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明:

从圆木锯出的矩形截面梁,上述尺寸比例接近
最佳比值。

解: b ? h ? d

2

2

2

bh 2 b(d 2 ? b 2 ) Wz ? ? 6 6

? Wz d 2 b 2 ? ? ?0 ?b 6 2
d 由此得 b ? 3

d b

h

2 h ? d ?b ? d 3 h ? 2 ? 1.5 d
2 2

§6-6 提高梁弯曲强度的措施
控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力,即 以

? max

M max ? ? [? ] WZ

作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可 能地小,使WZ尽可能地大。

一、梁的合理截面
? 合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面

模量较大。

P
h
b

z

b

h

z

Wz 由小到大排序:

P
y1
y2
C

z

y1 [? t ] ? y 2 [? c ]

二、合理安排梁受力情况(减小最大弯矩值)

q
l

q
x
l
2

x

M

ql 8

x ? 0.207 l

M

0.0214ql

2

P
l 2 l 2 l 2

a 2

P

a 2 l 2

M

Pl / 4

M

l a? 2 Pl / 8

三. 合理设计梁的外形(等强度梁) 1. 变截面梁的概念: 前面所讨论的梁都是等截面梁, 对于这种梁, 只有在 弯矩为最大值的截面上, 最大应力才接近许用应力。 其余截面上弯矩较小, 应力也较低, 材料没有充分利用。 为了节约材料, 减轻自重, 可改变截面的尺寸, 使抗弯截 面模量随弯矩而变化。在弯矩较大处采用较大截面,在 弯矩较小处采用较小截面。这种截面沿轴线变化的梁, 称为变截面梁。对于变截面梁, 其正应力计算仍可近似的 利用等截面梁的公式。

2.梁的各横截面上的最大正应力相等,都等于

材料的许用应力[σ]时,称为等强度梁。

P
l 2 l 2

设:

M ?x ?

——梁在任一截面上的弯矩

W ?x ? ——为抗弯截面模量

根据等强度梁的概念,则有:
? max
M ?x ? ? ? ?? ? W ?x ? ?  W ?x ? ? M ?x ?

?? ?


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