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求递推数列通项公式的常用方法


求递推数列通项公式的常用方法
求递推数列通项公式是数列知识的一个重点,也是一个难点,高考也往往通过考查递 推数列来考查学生对知识的探索能力, 求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形, 推得 原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列, 把一些较难处理的数列 问题化为中学中所研究的等差或等比数列,下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一 二,供参考: 一

公式法:利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法,常用的公式有

an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) ,等差数列或等比数列的通项公式。
例一 已知无穷数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn ,并且 an ? Sn ? 1(n ? N * ) ,求 ?a n ? 的通项 公式? 【解析】 ? Sn ? 1 ? an ,? an?1 ? Sn?1 ? Sn ? an ? an?1 ,? an ?1 ? :

1 1 an ,又 a1 ? , 2 2

?1? ? an ? ? ? . ?2?
反思:利用相关数列 ?a n ? 与 ?Sn ? 的关系: a1 ? S1 , an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 与提设条件, 建立递推关系,是本题求解的关键. 跟踪训练 1.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 Sn ,满足关系 lg
? Sn ?1?

n

? n (n ? 1, 2 ???) .试证数列

?an ? 是等比数列.
二 归纳法:由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式,再利用数学归纳法证明 其正确性,这种方法叫归纳法. 例二 已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求数列 ?a n ? 的通项公式. 【解析】 ? a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,? a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 , a3 ? 2a2 ? 1 ? 7 ???? : 猜测 an ? 2n ? 1 (n ? N ) ,再用数学归纳法证明.(略)
*

反思:用归纳法求递推数列,首先要熟悉一般数列的通项公式,再就是一定要用数学归 纳法证明其正确性. 跟踪训练 2.设 ?a n ? 是正数组成的数列, 其前 n 项和为 Sn , 并且对于所有自然数 n ,an 与 1 的等差中项等于 Sn 与 1 的等比中项,求数列 ?a n ? 的通项公式. 三 累加法:利用 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ????(an ? an?1 ) 求通项公式的方法称为累加法。累加法 是求型如 an?1 ? an ? f (n) 的递推数列通项公式的基本方法( f ( n) 可求前 n 项和).

-1-

例三

已 知 无 穷 数 列 ?a n ? 的 的 通 项 公 式 是 an ? ? ? , 若 数 列 ?bn ? 满 足 b1 ? 1 ,

?1? ?2?

n

(n ? 1) ,求数列 ?bn ? 的通项公式.
1 ?1? 【解析】 b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? ? ? (n ? 1) ,? bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? ???(bn ? bn?1 ) =1+ + ?? + : 2 ?2?
n

?1? ? ? ?2?

n?1

?1? =2?? ? ?2?

n?1

.

反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an?1 ? an ? f (n) . 跟踪训练 3.已知 a1 ?

1 ?1? , an ?1 ? an ? ? ? (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 2 ?2?

n



累乘法:利用恒等式 an ? a1

a a2 a3 ??? n (an ? 0, n ? 2) 求通项公式的方法称为累乘法, a1 a2 an?1

累乘法是求型如: an?1 ? g (n)a n 的递推数列通项公式的基本方法(数列 g (n) 可求前 n 项积). 例四 已知 a1 ? 1 , an ? n(an?1 ? an ) (n ? N * ) ,求数列 ?a n ? 通项公式. 【解析】? an ? n(an?1 ? an ) ,? : 1× × ×??? ×

an?1 n ? 1 a a a ,又有 an ? a1 2 3 ??? n (an ? 0, n ? 2) = ? an n a1 a2 an?1

2 3 1 2

n = n ,当 n ? 1 时 a1 ? 1 ,满足 an ? n ,? an ? n . n-1

反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为 an?1 ? g (n)a n . 跟踪训练 4.已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1 , an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ???? ? (n ?1)an?1 (n ? 2) .则

?a n? 的通项公式是.
五 : 构 造 新 数 列 : 将 递 推 公 式 an+1 ? qan ? d ( q, d 为 常 数 , q ? 0 , d ? 0 ) 通 过

(an?1 ? x) ? q(an ? x) 与原递推公式恒等变成 an?1 ?
数列.

d d ? q(an ? ) 的方法叫构造新 q ?1 q ?1

例五 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,求 ?an ? 的通项公式. 【解析】:利用 (an ? x) ? 2( an?1 ? x) ,求得 an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ,? ?an ?1 是首项为 ?

-2-

a1 ? 1 ? 2 ,公比为 2 的等比数列,即 an ? 1 ? 2n ,? an ? 2n ? 1
反思:.构造新数列的实质是通过 (an?1 ? x) ? q(an ? x) 来构造一个我们所熟知的等差或 等比数列. 跟踪训练 5.已知数列 中, a1 ? 1 , an ? 3n?1 ? an-1 (n ? 2) 求数列 ?an ? 的通项公式. 例 7 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ,a 1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:设 a n ?1 ? x ? 5 n ?1 ? 2(a n ? x ? 5 n ) ④

将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n 代入④式,得 2a n ? 3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2a n ? 2x ? 5 n ,等式两边消去

2a n ,得 3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2x ? 5 n ,两边除以 5 n ,得 3 ? x ? 5 ? 2 x ,则 x=-1,代入④式,
得 a n ?1 ? 5 n ?1 ? 2(a n ? 5 n ) ⑤

由 a 1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ≠0 及⑤式,得 a n ? 5 n ? 0 ,则

a n ?1 ? 5 n ?1 a n ? 5n

? 2 ,则数列 {a n ? 5 n } 是

以 a 1 ? 51 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 a n ? 5 n ? 1 ? 2 n ?1 ,故 a n ? 2n ?1 ? 5n 。 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5n 转 化 为

a n ?1 ? 5n ?1 ? 2(a n ? 5n ) ,从而可知数列 {a n ? 5 n } 是等比数列,进而求出数列 {a n ? 5 n } 的
通项公式,最后再求出数列 {a n } 的通项公式。 待定系数法求通项公式: 例 8 已知数列 {a n } 满足 a n ? 1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:设 a n ?1 ? x ? 2 n ?1 ? y ? 3(a n ? x ? 2 n ? y) 将 a n ?1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4 代入⑥式,得 ⑥

3a n ? 5 ? 2 n ? 4 ? x ? 2 n ?1 ? y ? 3(a n ? x ? 2 n ? y)
整理得 (5 ? 2x) ? 2 n ? 4 ? y ? 3x ? 2 n ? 3y 。
-3-

?5 ? 2x ? 3x ?x ? 5 令? ,则 ? ,代入⑥式,得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2

a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 ? 3(a n ? 5 ? 2 n ? 2)
由 a 1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式,



得 a n ? 5 ? 2 n ? 2 ? 0 ,则

a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 a n ? 5 ? 2n ? 2

?3,

故数列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 是以 a 1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列, 因此 a n ? 5 ? 2 n ? 2 ? 13 ? 3n ?1 ,则 a n ? 13 ? 3n ?1 ? 5 ? 2 n ? 2 。 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4 转 化 为

a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 ? 3(a n ? 5 ? 2 n ? 2) ,从而可知数列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 是等比数列,进而求出
数列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {a n } 的通项公式。

例 9 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:设 a n ?1 ? x(n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z

? 2(a n ? xn 2 ? yn ? z)



将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得

2a n ? 3 ? n 2 ? ?4n ? 5 ? x(n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(a n ? xn 2 ? yn ? z) ,则

2a n ? (3 ? x)n 2 ? (2x ? y ? 4)n ? (x ? y ? z ? 5) ? 2a n ? 2xn 2 ? 2yn ? 2z
等式两边消去 2a n ,得 (3 ? x)n 2 ? (2x ? y ? 4)n ? (x ? y ? z ? 5) ? 2xn 2 ? 2yn ? 2z ,
-4-

?x ? 3 ?3 ? x ? 2x ? ? 则得方程组 ?2x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?z ? 18 ? x ? y ? z ? 5 ? 2z ? ?

a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(a n ? 3n 2 ? 10n ? 18)
由 a 1 ? 3 ? 12 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得



a n ? 3n 2 ? 10n ? 18 ? 0
a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 a n ? 3n 2 ? 10n ? 18



? 2 , 故 数 列 {a n ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为 以

a 1 ? 3 ? 12 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为 首 项 , 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 因 此 a n ? 3n 2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2 n ?1 ,则 a n ? 2 n ?4 ? 3n 2 ? 10n ? 18 。
评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5 转 化 为

a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(a n ? 3n 2 ? 10n ? 18)















{a n ? 3n 2 ? 10n ? 18} 是等比数列,进而求出数列 {a n ? 3n 2 ? 10n ? 18} 的通项公式,最后再
求出数列 {a n } 的通项公式。

六 倒数变换: 将递推数列 an?1 ? 式的方法叫倒数变换.

can 1 d 1 1 (c ? 0, d ? 0) ,取倒数变成 ? ? 的形 an ?1 c an c an ? d

例六 已知数列 ?an ? (n ? N ) 中, a1 ? 1 , an ?1 ?
*

an ,求数列 ?an ? 的通项公式. 2an ? 1

【解析】:将 an ?1 ?

?1? an 1 1 1 1 取倒数得: ,? ? 2? ? ? 2 , ? ? ? 是以 an?1 an an?1 an 2an ? 1 ? an ?

1 1 1 ? 1 为首项,公差为 2 的等差数列. ? 1 ? 2(n ? 1) ,? an ? . 2n ? 1 a1 an
反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公 比变化了.

-5-

跟踪训练 6.已知数列 ?an ? 中,

, an ?1 ?

2an ,求数列 ?an ? 的通项公式. an ? 2

小结:求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求 递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训. 参考答案: 1. 证明:由已知可得: Sn ? 10n ?1 ,当 n ? 2 时 an ? S n ? S n ?1 ? 9 ?10 ?
n ?1

, n ? 1 时,

a1 ? S1 ? 9 满足上式. ? ?an ? 的通项公式 an ? 9 ?10 ?

n ?1

,n ? 2时

an ? 10 为常数,所以 an ?1

?an ? 为等比数列.
2. 解:由已知可求 a1 ? 1 , a2 ? 3 , a3 ? 5 ,猜测 an ? 2n ? 1.(用数学归纳法证明).

1 ?1? ?1? 3. 由已知 an ?1 ? an ? ? ? ,? an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ????(an ? an?1 ) = ? ? ? 2 ?2? ?2? ?1? ? ??? ? ? ? ?2?
n?1

n

2

3 ?1? ? ?? ? 2 ?2?

n?1

.

4. n ? 2 时, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ???? ? (n ?1)an?1 , an?1 ? a1 ? 2a2 ???? ? (n ?1)an?1 ? nan 作差得: an?1 ? an ? nan ,?

an?1 a a a ? n ? 1 ,? 3 ? 3 , 4 ? 4 , ??? , n ? n an a2 a3 an ?1

?1????n ? 1 n! an ? . ? ? 3 ? 4 ? 5 ????n , a2 ? 1 ,? an ? (n ? 2) ,? an ? ? n ! 2 a2 ???n ? 2 ?2 ?
5. an ?

3n ? 1 2

6. an ?

2 n ?1

七:利用特征根法求通项公式 例 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? a n ?1 (n ? 2),a 1 ? a 2 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解 : a n ?1 ? 3a n ? a n ?1 (n ? 2) 的 相 应 特 征 方 程 为 ?2 ? 3? ? 1 ? 0 , 解 之 求 特 征 根 是

?1 ?

3? 5 3? 5 3? 5 3? 5 ,? 2 ? ? c2 ? ,所以 a n ? c1 ? 。 2 2 2 2

由初始值 a 1 ? a 2 ? 1 ,得方程组

-6-

? 3? 5 1 3? 5 1 ) ? c2 ( ) ?1 ? c1 ( ? 2 2 ? 3? 5 2 3? 5 2 ? ?1 ? c1 ( 2 ) ? c 2 ( 2 ) ? ? 5?2 5 ?c1 ? ? 5 求得 ? 5?2 5 ? ?c 2 ? 5 ?
从而 a n ?

5?2 5 3? 5 n 5? 2 5 3? 5 n ( ) ? ( ) 。 5 2 5 2

评注:本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出 c1,c 2 ,从而可得数 列 {a n } 的通项公式。 八:利用不动点法求通项公式 例 1 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

21a n ? 24 ,a 1 ? 4 ,求数列 {a n } 的通项公式。 4a n ? 1

解:令 x ?

21x ? 24 21x ? 24 ,得 4x 2 ? 20x ? 24 ? 0 ,则 x 1 ? 2,x 2 ? 3 是函数 f (x) ? 的 4x ? 1 4x ? 1

21a n ? 24 ?2 a n ?1 ? 2 4a n ? 1 21a n ? 24 ? 2(4a n ? 1) 13a n ? 26 13 两个不动点。因为 。 ? ? ? ? 21a n ? 24 a n ?1 ? 3 21a n ? 24 ? 3(4a n ? 1) 9a n ? 27 9 ?3 4a n ? 1
an ? 2 a ?2 a ?2 4?2 13 } 是以 1 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 ,所以数列 { n an ? 3 an ? 3 a1 ? 3 4 ? 3 9 an ? 2 13 ? 2( ) n ?1 ,则 a n ? an ? 3 9

1 13 2( ) n ?1 ? 1 9

? 3。

评注:本题解题的关键是先求出函数 f (x) ? 两个根 x 1 ? 2,x 2 ? 3 , 进而可推出

21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的 4x ? 1 4x ? 1

a n ?1 ? 2 13 a n ? 2 a ?2 ? ? } 为等比数 , 从而可知数列 { n a n ?1 ? 3 9 a n ? 3 an ? 3

列,再求出数列 {

an ? 2 } 的通项公式,最后求出数列 {a n } 的通项公式。 an ? 3
-7-

例 2 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

7a n ? 2 ,a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 2a n ? 3

解:令 x ?

7x ? 2 3x ? 1 ,得 2x 2 ? 4x ? 2 ? 0 ,则 x=1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7
7a n ? 2 5a ? 5 ?1? n ,所以 2a n ? 3 2a n ? 3

因为 a n ?1 ? 1 ?

3 5 2a n ? 3 2 1 2 ? 2 (1 ? 2 ) ? 1 ? 2 , 所 以 数 列 { 1 } 是 以 ? ? ? a n ?1 ? 1 5a n ? 5 5 a n ? 1 5 an ?1 a n ?1 a n ?1 5 an ?
1 1 1 2 2 2n ? 8 ? ? 1 为首项, ? 1 ? (n ? 1) ? , a n ? 以 为公差的等差数列, 则 故 。 a1 ? 1 2 ? 1 an ?1 5 5 2n ? 3
评注:本题解题的关键是先求出函数 f (x) ?

7x ? 2 3x ? 1 的不动点,即方程 x ? 的根 2x ? 3 4x ? 7

x ? 1,进而可推出

1 a n ?1 ? 1

?

1 2 1 ? ,从而可知数列 { } 为等差数列,再求出数列 an ?1 5 an ?1

{

1 } 的通项公式,最后求出数列 {a n } 的通项公式。 an ?1

-8-


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