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27东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--数列(五)数列求和A


东北师大附中 2012-2013 高三数学(文理)第一轮复习导学案 025A

数列(五)
一、知识梳理: 1、特殊数列的前 n 项公式 (1) 、等差数列求和公式:

数列求和(教案)A

Sn =

n(a1 + an ) n(n + 1)d = na1 + = nan+1 n 为奇数

= An2 + Bn(A、B 为常数) 2 2 2

(2) 、等比数列求和公式: a1 1 ? qn sn = 1?q na1 (q ≠ 1) (q = 1)

2、一些常见的求和公式


n = 1 + 2 + 3 + ?+ n =
=1

n(n + 1) 2



n2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ? + n2 =
=1

n n + 1 (2n + 1) 6



2n ? 1 = 1 + 3 + 5 + ? + (2n ? 1) = n2
=1

3、关于数列求和,主要是转化为等差或等比数列求和问题,然后利用公式求和,对 于非等差、等比数列求和,主要方法有:倒序相加,拆项重组,裂项相消,错位相减 等。 二、题型探究 探究一:公式法求和 例 1、等比数列 1,2,4,8,…中的第 3 项到第 9 项的和为 ;

1

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例 2:求和: x + y + x 2 + y 2 + x 3 + y 3 +…+ x n + y n

1

1

1

1

(x≠ 0, x ≠ 1. y ≠ 1)

探究二:拆项分组法求和 例 3:求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n?1 ? 3n ? 2 . a a a

探究三:裂项相消法求和 (1): 求和:
1 1 1 1 . ? ? ??? 1 ? 4 4 ? 7 7 ? 10 (3n ? 2)(3n ? 1)

(2):已知数列{an},an=(+) ,求前 n 项的和 Sn



(3)、已知数列{an},an=



(+)(?)

,求前 n 项和 Sn

2

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(4)、已知数列{an},an=

++

,求前 n 项和 Sn

探究四:错位相减法求和 已知数列{an }的通项公式 an = bn cn ,其中{bn }是等差数列、{cn }是等比数列, 它们的首项依次是 a,b,公差、公比依次为 d、q,求数列{an }的前 n 项的和. (1) 、求数列an =(2n-1)2n 的前 n 项的和。

(2) n =(2n-1)22n?1 的前 n 项的和。 、a

探究五:倒序相加法求和 (1)、设 f ( x) ? ,利用课本中推导等差数列的前 n 项和的公式的方法,可求得 2 ? 2 。 f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? ? ? f (5) ? f (6) 的值为:
x

1

3

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(2)、已知 f(x)=

2 2+2x

类比等差数列前 n 项和的推导方法,求:

f(-2012)+f(-2011)+ f(-2010)+…+ f(0)+f(1)+ … +f(2010)+f(2011) +f(2012) +f(2013)

(3)、求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值。 设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ?? ? sin 2 89? , 又∵ S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? sin 2 87? ? ?? ? sin 2 1? , ∴ 2S ? 89 , S ?

89 . 2

补充方法: 1、周期数列求和:利用数列周期性求和:有的数列是周期数列,把握了数列的周期 则可顺利求和。关键之处是寻找周期。 例1:数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an? 2 ? an?1 ? an ,求S2013.

2、利用数学归纳法:

设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n =1,2,3,…. (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ)求 Sn

4

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三、反思感悟

三、课时作业: (一) 、选择题 (1) 、数列{an }中,a1 =-60,an+1 =an + 3,则数列{an }的前 30 项之和为(C) (A) 、120 (B) 、495 (C) 、765 (D) 、3105

(2) 、求和 n+(n-1)× 2+(n-2)× 22 +(n-3)× 23 +…+2× 2n?2 +1× 2n?1 的结果是 (C) (A) n+1 -n 、2 (B) n+1 -n +2 、2 (C) n+1 -n -2 、2 (D) n -n -2 、2

(3) 、设sn 为数列{an }的前 n 项和,an =2n-49,则sn 达到最小值时,n 的值为(C) (A) 、12 (B) 、13
1 n(n+1)

(C) 、24
2012

(D) 、25

(4) 、数列{an }中,an = (A) 、2011 二、填空题 (5) 、设sn =
1 2+1

,若{an }的前 n 项和sn =2013 ,则项数 n 为(B) (C) 、2013 (D) 、2014

(B) 、2012

+

1 2+ 3

+

1 4+ 3

+…+

1 n+ n+1

,则sn =



(6) 、设sn 为等比数列{an }的前 n 项和,公比 q=2,s99 =77,则{a3 +a6 +a9 +… +a99 = ; (7) 、等差数列{an }中,公差 d= 2 ,且a1 +a3 +a5 +…+a99 =60,则a1 +a2 +a3 +…
1

5

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+a100 = 三、解答题



(8) 、设sn 为等差数列{an }的前 n 项和,a1 > 0,s3 =s11 ,问数列的前几和最大?

(9) 、在数列 ?a n ?中, a1 = 1,an = 2s 的表达式.

2S 2 n
n ?1

(n≥ 2).证明数列

1 sn

是等差数列,并求出 Sn

【证明】∵ a n ? S n ? S n?1 , ∴. S n ? S n ?1 ? 化简,得 Sn-1-Sn= 2 Sn Sn-1

2 2S n (n ? 2). 2S n ? 1

两边同除以. Sn Sn-1,得

1 1 ? ? 2 (n ? 2). S n S n ?1

∴数列 ?

?1 ? 1 1 ? 1 为首项,2 为公差的等差数列. ? 是以 ? a1 S1 ? Sn ?
∴ Sn ?



1 ? 1 ? (n ? 1) 2 ? 2n ? 1, Sn

1 . 2n ? 1

(10) 、设函数 f ( x) ?

2x ? 3 1 , 作数列{bn } : b1 ? 1, bn ? f ( )( n ? 2), 3x bn ?1
n ?1

求和: Wn ? b1b2 ? b2 b3 ? b3b4 ? ? ? (?1) 解析: ? bn ?

? bn bn?1 .

2 2n ? 1 1 ? bn?1 ,? bn ? ,? bn bn?1 ? (4n 2 ? 8n ? 3), 3 3 9 4 ①当 n 为偶数时 Wn ? {(12 ? 2 2 ) ? (32 ? 4 2 ) ? ? ? [( n ? 1) 2 ? n 2 ]} 9

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8 ? {(1 ? 2) ? (3 ? 4) ? ? ? [( n ? 1) ? n]} 9 4 8 n ? ? [3 ? 7 ? 11 ? ? ? (2n ? 1)] ? ? 9 9 2
4 1 n 4 1 ? ? [ (2n ? 2)] ? n ? ? (2n 2 ? 6n); 9 2 2 9 9 4 ②当 n 为奇数时 Wn ? {(12 ? 2 2 ) ? ? ? [( n ? 2) 2 ? (n ? 1) 2 ] ? n 2 } 9
=?

8 1 ? {(1 ? 2) ? (3 ? 4) ? ? ? [( n ? 2) ? (n ? 1)] ? n} ? 9 3 4 8 n ?1 1 ? {?[3 ? 7 ? 11 ? (2n ? 3)] ? n 2 } ? [? ? n] ? 9 9 2 3 4 1 n ?1 8 n ?1 1 1 ? [? ? ? 2n ? n 2 ] ? ? ? ? (2n 2 ? 6n ? 7). 9 2 2 9 2 3 9

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