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2-平面直角坐标系中的距离公式和中点公式


教 案
授课日期 授课课时 授课章节 名 称 授课班级 授课形式

平面直角坐标系中的距离公式和中点公式

使用教具

教学目的

1. 了解平面直角坐标系中的距离公式和中点公式的推导过程. 2. 掌握平面直角坐标系中的距离公式和中点公式,并能熟练应用这两 个公式解决有关问题. 3. 培养学

生勇于发现、勇于探索的精神以及合作交流等良好品质.

教学重点

平面直角坐标系中的距离公式、中点公式.

教学难点

距离公式与中点公式的应用.

内容更删 课外作业
这节课主要采用问题解决法和分组教学法.本节教学中,将平面(二 维)的数量关系转化为轴(一维)上的数量关系是关键.先从复习上节内

教学后记

容入手,通过构建直角三角形,将两点间的距离转化为直角三角形的斜边 长,从而利用勾股定理求出两点间的距离.最后讨论了平面直角坐标系中 的中点公式.教学过程中,通过分组抢答的形式,充分调动学生的积极性.

授课主要内容或板书设计

教 学 过 程
环节 教学内容 1.一般地,如果 A(x1),B(x2),则这两点的 距离为 |AB|=|x2-x1|. 2.一般地,在数轴上,A(x1),B(x2)的中点 坐标 x 满足关系式 x=x1+x22. 1. 距离公式 探究一 如图,设 A(x1,y1),B(x2,y2).
y B2 B

师生互动

设计意图

引 入

师:上节我们学习了数 提 出 问 轴上两点的距离公式与中 题,激发学生 点公式.那么在平面直角坐 的学生兴趣. 标系内, 已知两点 A(x1, y1), B(x2,y2),如何求这两点的 距离?如何计算这两点的 对称中心的坐标? 教师提出探究问题,学 生根据已有的知识探究问 题的解: ( 1 )以上四个垂足的 坐标分别是多少? ( 2 ) |AC| 与 |A1B1| 关系 如何?如何求|A1B1|? (3)|BC|等于多少? (4)在直角三角形 ABC 中,如何求|AB|? ( 5 )你能表示出 |AB| 吗? 教师在学生探究的基 础上,投影距离公式,并让 学生记忆. 将探究 问题细化为 5 个小问题,层 层递进,降低 了问题的难 度,从而有利 于学生解答. 为了学 生便于理解, 课件中将过 A, B 两点向 x 轴和 y 轴做垂 线的过程,分 解为分别向 x 轴做垂线和 向 y 轴做垂线 两步.

A

A2 O

C B1 x

新 课

A1

过 A,B 分别向 x 轴、y 轴作垂线 AA1,AA2 和 BB1,BB2,垂足分别为 A1,A2,B1,B2,其中 直线 BB1 和 AA2 相交于点 C. 两点的距离公式 |AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2. 探究二 求两点之间的距离的计算步骤: S1 给两点的坐标赋值 x1=?,y1=?,x2=?,y2=? S2 计算两个坐标的差,并赋值给另外两个 变量,即 dx=x2-x1,dy=y2-y1; S3 计算 d=2x2yd+d; S4 给出两点的距离 d.

师:你能说出求平面上 两点间距离的步骤吗? 教师引导学生探究依 据公式求两点距离的步骤.

在探究 过程中,进一 步深化对公 式的理解与 掌握. 通过例 题的解答,使 学生明确求 两点间距离 的步骤.

例 1 已知 A(2,-4),B(-2,3),求|AB|. 解 因为 x1=2,x2=-2,y1=-4,y2=3, 所以 教师引导学生结合求 dx=x2-x1=-2-2=-4, 平面上两点间的距离的步 dy=y2-y1=3-(-4)=7. 骤解答. 因此 |AB|=2x2yd+d =(-4)2+72

=65. 练习一 求两点之间的距离: (1)A(6,2),B(-2,5); (2)C(2,-4),D(7,2). 新 课 2. 中点公式 探究三 如图所示,若已知 A(x1,y1),B(x2,y2),那 么怎么求它们的对称中心的坐标?
y B2 M2 A A2 A1 O M1 B1 x M B

学生练习,教师巡视指 导.

检验学 生对公式掌 握情况.

设 M(x,y)是 A,B 的对称中心,即线段 AB 的中点.过 A,B,M 分别向 x 轴,y 轴作垂线, AA1,AA2,BB1,BB2,MM1,MM2,垂足分别是 A1,A2,B1,B2,M1,M2. 在平面直角坐标系内,两点 A(x1,y1),B(x2, y2)的中点 M(x,y)的坐标满足 x=x1+x22,y=y1+y22.

教师提出要探究的问 题,学生解答以下问题: (1) 你能说出垂足 A1, A2 ,B1 ,B2 , M1, M2 的坐 标吗? (2)点 M 是 AB 中点 吗? M1 是 A1 , B1 的中点 吗?它们的坐标有怎样的 关系? (3)M2 是 A2,B2 的中 点吗?它们的坐标有怎样 的关系? (4)你能写出点 M 的 坐标吗?

将问题 细化为 4 问, 降低难度,学 生容易在解 答过程中得 到公式.

教师投影结论,学生理 例 2 求证:任意一点 P(x,y)与点 P?(-x, 解掌握. -y)关于坐标原点成中心对称. 证明 设 P 与 P?的对称中心为(x0,y0),则 x0=x+(-x)2=0, 师:例 2 中,点 P 与 P′ y0=y +(-y)2=0. 的对称中心是 P 与 P′的中点 所以坐标原点为 P 与 P′的对称中心. 吗?坐标怎么求?是多 少? 练习二 求下列各点关于坐标原点的对称点: 教师强调本例题的结 A(2,3), B(-3,5), C(-2,-4),D(3, 论. -5). 例 3 已知坐标平面内的任意一点 P(a,b), 分别求它关于 x 轴的对称点 P′,关于 y 轴的对称 点 P′′的坐标.
y ● P?? ● P(a,b)

将问题 化归为求点 P 与 P?的中点 坐标.

学生抢答,教师点评.

检验对 例 2 所得结论 的掌握.

师:(1)如果点 P 与

O

M



x

新 课

P′关于 x 轴对称, PP′与 x 轴 垂直吗?P′的横坐标是多 少? (2)PP′与 x 轴的交点 M 是线段 PP′的中点吗?M 点的纵坐标是多少? (3)你能求出 P′的纵 坐标吗?怎么求的? 练习三 (4) 由以上分析, 点 P′ 求下列点关于 x 轴和 y 轴的对称点坐标: 的坐标是多少? A(2,3), B(-3,5), C(-2,-4),D(3, (5)你能求出 P′′的坐 -5). 标吗? 教师在学生探究的基 例 4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 础上进行总结. A(-3,0),B(2,-2),C(5,2),求顶点 D 的坐 标. 学生抢答,教师点评. 解 因为平行四边形的两条对角线的中点相 同,所以它们的坐标也相同.设点 D 的坐标为(x, y),则 x+22-3+52y-220+22==1 ==1) 教师引导学生解答,强 解得 x=0y=4) 调 AC 的中点与 BD 的中点 所以顶点 D 的坐标为(0,4). 相同. 练习四 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,0), B(2,-4),C(6,2),求顶点 D 的坐标. 教师规范解题步骤.

检验例 3 的掌握情况.

利用中 点公式解决 实际问题,进 一步强化对 公式的理解 和掌握.

新 课 1.直角坐标系中两点间的距离公式. 2.直角坐标系中两点的中点公式. 3.点的对称.

学生练习,教师巡视. 教师引导学生回顾总 结本节所学内容.

强化训练. 简洁明 了地概括本 节课的重要 知识,学生易 于理解记忆. 针对学 生实际,对课 后书面作业 实施分层设

小 结

标记作业. 作 业 教材 P70 练习 A 组第 1 题,第 2 题. 教材 P70 练习 B 组第 3 题(选做).

置.


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