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河北省唐山市2016届高三数学第二次模拟考试试题 文


唐山市 2015—2016 学年度高三年级第二次模拟考试 文科数学
说明: 一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题,分为必考和选 考两部分. 二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项” ,按照“注意事项”的规定答题. 三、做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改 动,用橡皮将答案擦干净后,再涂其他答案. 四、考试结

束后,将本试卷与原答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项符合题目要求. (1)已知集合 A={x|-2<x<1},B={x|-1<x<2},则 A∪B= (A)(-2,1) (C)(-2,2) (B)(-1,1) (D)(-1,2)

(2)设复数 z 满足(1+z)(1+2i)=i,则复平面内表示复数 z 的点位于 (A)第一象限 (C)第三象限 (B)第二象限 (D)第四象限 ? (k∈Z)”是“tan α =1”的 4 (B)必要不充分条件 ( D )既不充分
开始

(3)已知 α 为实数,则“α =2kπ + (A)充分不必要条件 (C)充要条件 又不必要条件

输入 M

(4)大学生甲、乙、丙为唐山世园会的两个景区提供翻译 服务,每个景区安排一名或两名大学生,则甲、乙被 安排到不同景区的概率为


S=1,k=1 k≤3 ?

否 输出 S 结束 -1-

M=k|M-4| S=M+S k=k+1

(A) (C)

1 3 5 6

(B) (D)

1 2 2 3

(5)执行右侧的程序框图,若输入 M 的值为 1,则输出的 S= (A)6 (C)14 (B)12 (D)20

(6)已知 a=log34,b=logπ 3,c=5 ,则 a,b,c 的大小关系是 (A)a<b<c (C)b<c<a (B)a<c<b (D)b<a<c

0.5

?x+y≥1, ? (7)若实数 x,y 满足?x+2y≤6,则 z=3x+4y 的最大值是 ?2x-y≤2, ?
(A)3 (C)14 (B)8 (D)15

2π π π (8)函数 f (x)=cos (x+ )+2sin sin (x+ )的最大值是 5 5 5 (A)1 (C)2sin π 5 (B)sin π 5

(D) 5

x2 (9)椭圆 y + 2=1(0<m<1)上存在点 P 使得 PF1⊥PF2,则 m 的取值范围是 m
2

(A)[ (C)[

2 ,1) 2 1 ,1) 2

(B)(0,

2 ] 2 1 ] 2

(D)(0,

(10)在?ABCD 中,AB=2AD=4,∠BAD=60°,E 为 BC 的中点,则→ BD ?→ AE = (A)-12 (C)-6 (B)12 (D)6

(11)在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方 形,PA=AB.该四棱锥被一平面截去一部分后,剩余部分 的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值
正视图 侧视图

俯视图

-2-

为 (A) (C) 1 2 1 4 (B) (D) 1 3 1 5

(12)已知函数 f (x)= (A)-2 (C)1

x

x-1

+sin π x 在上的最小值为 n,则 m+n= (B)-1 (D)2

-3-

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上. (13)已知双曲线 C 的焦点在 x 轴上,渐近线方程是 y=±2x,则 C 的离心率 e=____. (14)已知△ABC 的三边长分别为 2,3, 7,则△ABC 的面积 S=_____. (15)已知函数 f (x)=e -ax-1,若 x 轴为曲线 y=f (x)的切线,则 a=____. (16)已知 AB 是球 O 的直径,C、D 为球面上两动点,AB⊥CD,若四面体 ABCD 体积的最大值为 9,则球 O 的表面积为_____. 三、解答题:本大题共 70 分,其中(17)—(21)题为必考题, (22) , (23) , (24)题为选 考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=-7,S8=0. (Ⅰ)求{an}的前 n 项和为 Sn; (Ⅱ)数列{bn}满足 b1= 1 an ,bnbn+1=2 ,求数列{bn}的通项公式. 16
x

(18) (本小题满分 12 分) 二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数 x(0<x≤10)与销售价格

y(单位:万元/辆)进行整理,得到如下的对应数据:
使用年数 售价 2 16 4 13 6 9.5
n

8 7 ∑xiyi-n?xy
i=1
2

10 4.5

?= (Ⅰ)试求 y 关于 x 的回归直线方程; (参考公式:b

i=1

∑xi-nx
2

n

--b ?x -. ,a ?=y )

2

(Ⅱ)已知每辆该型号汽车的收购价格为 w=0.05x -1.75x+17.2 万元,根据(Ⅰ)中所 求的回归方程,预测 x 为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大?

(19) (本小题满分 12 分) 如下图,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,E 为边 AD 的中点,分别沿 BE,CE 将△ABE,△

-4-

DCE 折叠,使平面 ABE 和平面 DCE 均与平面 BCE 垂直.
(Ⅰ)证明:AD∥平面 BEC; (Ⅱ)求点 E 到平面 ABCD 的距离.
A E D A E B C B C D

-5-

(20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:y =4x,经过点(4,0)的直线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,M(-4,0),O 为坐标原点. (Ⅰ)证明:kAM+kBM=0; (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 k(k<0) ,求
2

k 的最小值. kAM?kBM

(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f (x)= +(1-k)x-kln x. 2 (Ⅰ)讨论 f (x)的单调性; (Ⅱ)若 k 为正数,且存在 x0 使得 f (x0)< 3 2 -k ,求 k 的取值范围. 2

x2

请考生在第(22) , (23) , (24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,AC 与 BD 相交于点 F,AE 与圆 O 相切于点 A, 与 CD 的延长线相交于点 E, ∠ADE=∠BDC. (Ⅰ)证明:A、E、D、F 四点共圆; (Ⅱ)证明:AB∥EF.
B O F A C

D E

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 曲线 C1 的参数方程是?
?x=1+cos φ , ?y=sin φ

(φ 为参数,0<φ <π ) ,曲线 C2 与曲线 C1 关于原

点对称.以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线 C3 的极坐标方程是 ρ =2 (0<θ <π ) .过极点 O 的直线 l 分别与曲线 C1,C2,C3 相交于点 A,B,C. (Ⅰ)求曲线 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)求|AC|?|BC|的取值范围.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f (x)=|x+1|+m|x-1|. (Ⅰ)当 m=2 时,求不等式 f (x)<4 的解集; (Ⅱ)若 m<0,f (x)≥2m,求 m 的最小值.
-6-

唐山市 2015—2016 学年度高三年级第二次模拟考试 文科数学参考答案 一、选择题 A 卷:CBADB DCABA B 卷:CCADB DDABA 二、填空题 (13) 5 三、解答题 (17)解: (Ⅰ)由 S8=0 得 a1+a8=-7+a8=0, ∴a8=7,d= 3 3 (14) 2 (15)1 (16)36π BD BC

a8-a1
8-1

=2,

?3 分

所以{an}的前 n 项和为 Sn=na1+
an

n(n-1) d=-7n+n(n-1) =n2-8n. ?6 分
2
an+1

(Ⅱ)由题设得 bnbn+1=2 ,bn+1bn+2=2 两式相除得 bn+2=4bn,

, ?8 分

a1 1 1 1 又 b1b2=2 = ,b1= ,所以 b2= =2b1, 128 16 8

所以 bn+1=2bn,即{bn}是以 故 bn=2 (18)解:
n-5

1 为首项,以 2 为公比的等比数列, 16 ?12 分



-=6,(Ⅰ)由已知:x y=10,∑xiyi=242, ∑x2 i=220,
i=1 i=1

5

5

^ b=

i=1 n

-y ∑ xiyi-nx
i=1

n

-2 ∑ xi-nx
2

=-1.45,a ?=y-^ bx=18.7;

?6 分

所以回归直线的方程为^ y =-1.45x+18.7 (Ⅱ)z=-1.45x+18.7-(0.05x -1.75x+17.2) =-0.05x +0.3x+1.5 =-0.05(x-3) +1.95,
-72 2 2

所以预测当 x=3 时,销售利润 z 取得最大值.

?12 分

-8-

(19)解:
A E D A E B C B M N C D

(Ⅰ)分别取 BE,CE 中点 M,N,连接 AM,MN,DN, 由已知可得△ABE,△DCE 均为腰长为 4 的等腰直角三角形, 所以 AM⊥BE,且 AM=2 2. 又∵平面 ABE⊥平面 BCE,且交线为 BE, ∴AM⊥平面 BEC, 同理可得:DN⊥平面 BEC,且 DN=2 2. ∴AM∥DN,且 AM=DN, ∴四边形 AMND 为平行四边形. ∴AD∥MN,又∵MN?平面 BEC,AD? / 平面 BEC, ∴AD∥平面 BEC. (Ⅱ)点 E 到平面 ABC 的距离,也就是三棱锥 E- ?6 分

A E B M

D

ABC 的高

h.
连接 AC,MC,

C

在 Rt △

EMC 中有 MC= EM2+EC2=2 10,
在 Rt△AMC 中有 AC= AM +MC =4 3. 可得 AC +AB =BC ,所以△ABC 是直角三角形. 由 VE—ABC=VA—BEC 得 4 6 可知 h= . 3 4 6 ∴点 E 到平面 ABC 的距离为 . 3 (20)解: (Ⅰ)设 l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2). ?12 分 1 1 1 1 ? AB?AC?h= ? BE?EC?AM, 3 2 3 2
2 2 2 2 2

-9-

将 x=my+4 代入 y =4x 得 y -4my-16=0,y1+y2=4m,y1y2=-16.?3 分

2

2

y1 4y1 4y1 4 4 kAM= = = 2 = ,同理 kBM= , x1+4 y2 + 16 y - y y y - y y - y1 1 2 1 2 2 1 1
所以 kAM+kBM=0. (Ⅱ) (y1-y2) 16m +64 4 = = =-m+ ≥4, kAM?kBM -16m -16m -m ?6 分
2 2

k

当且仅当 m=-2 时等号成立, 故

k

kAM?kBM

的最小值为 4.

?12 分

(21)解:

k x2+(1-k)x-k (x+1)(x-k) (Ⅰ)f ?(x)=x+1-k- = = , x x x
(ⅰ)k≤0 时,f ?(x)>0,f (x)在(0,+∞)上单调递增; (ⅱ)k>0 时,x∈(0,k),f ?(x)<0;x∈(k,+∞),f ?(x)>0, 所以 f (x)在(0,k)上单调递减,f (x)在(k,+∞)上单调递增.
2

?5 分

(Ⅱ) 因 k>0, 由 (Ⅰ) 知 f (x)+k -

2

3 3 k 3 2 的最小值为 f (k)+k - = +k-kln k- , 2 2 2 2 ?8 分

3 k 3 由题意得 +k-kln k- <0,即 +1-ln k- <0. 2 2 2 2k 令 g (k)=

k2

k
2

+1-ln k-

3 1 1 3 k -2k+3 ,则 g ?(k)= - + 2 = >0, 2 2k 2 k 2k 2k

2

所以 g (k)在(0,+∞)上单调递增,又 g (1)=0,

k 3 所以 k∈(0,1)时,g (k)<0,于是 +k-kln k- <0; 2 2 k2 3 k∈(1,+∞)时,g (k)>0,于是 +k-kln k- >0.
2 2 故 k 的取值范围为 0<k<1. (22)解: (Ⅰ)因为 AE 与圆 O 相切于点 A,所以∠CAE=∠CBA; 因为四边形 ABCD 内接于圆 O,所以∠CBA=∠ADE; 又已知∠ADE=∠BDC,所以∠BDC=∠CAE, 故 A,E,D,F 四点共圆. (Ⅱ)由(Ⅰ)得∠ADE=∠AFE=∠BDC, 又∠BDC=∠BAC(同弧所对的圆周角相等) ,
- 10 -

2

?12 分

?5 分

所以∠AFE=∠BAC,故 AB∥EF. (23)解: (Ⅰ)由?
?x=1+cos φ , ?y=sin φ .

?10 分

(φ 为参数,0<φ <π )得(x-1) +y =1(0<y≤1) , π ) . 2 π ) , 2 ?5 分

2

2

所以曲线 C1 的极坐标方程为 ρ =2cos θ (0<θ < (Ⅱ)由题意可设 A(ρ 1,θ ),C(2,θ )(0<θ <

则|AC|=2-ρ 1=2-2cos θ ,|BC|=2+ρ 1=2+2cos θ , 所以|AC|?|BC|=4sin θ ∈(0,4). (24)解:
2

?10 分

? ?1-3x, x<-1, (Ⅰ)当 m=2 时,f (x)=?3-x, -1≤x≤1, ? ?3x-1, x>1.
由 f (x)的单调性及 f ( 5 )=f (-1)=4, 3 5 3 y 得

f (x)<4 的解集为{x|-1<x< }.
?5 分 (Ⅱ)由 f (x)≥2m 得|x+1|≥m (2-|x-1|), 因为 m<0, 所以- 1 -1 -2 O 1

3

x

m

|x+1|≥|x-1|-2,

在同一直角坐标系中画出

y=|x-1|-2 及 y=- |x+1|的图像, m
根据图像性质可得- 1

1

m

≥1,即-1≤m<0, ?10 分

故 m 的最小值为-1.

- 11 -


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