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心音信号处理


基于小波变换和 经验模式分解的 心音信号研究

主要内容
1

从傅里叶变换到小波变换 小波变换的含义 小波变换的性质 MATLAB中的小波及算法 EMD背景简介

2

3

4

5

主要内容
6

r />EMD原理和步骤 “端点效应”及其影响 端点延拓

7

8

9

三次样条插值 应用实例——心音信号处理

10

从傅里叶变换到小波变换
? 傅里叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率,

不能提供信号在某个时间段上的频率信息;
? 短时傅里叶变换将整个时间域分割成一些小的等时

间间隔,然后在每个时间段上用傅里叶分析,它在 一定程度上包含了时间频率信息,但由于时间间隔 不能调整,因而难以检测持续时间很短、频率很高 的脉冲信号的发生时刻。
? 小波起源: ? “小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集,“波”

是只具有正负交替的波动性,直流分量为0。
? 小波概念:是定义在有限间隔而且其平均值为零的

一种函数。

从傅里叶变换到小波变换
?

傅立叶变换无法作局部分析,为此,人们提 出了短时傅里叶变换(STFT)的概念,即 窗口傅里叶变换。 基本思想是:把信号划分成许多小的时间间 隔,用傅立叶变换分析每一个时间间隔,以 便确定该时间间隔存在的频率。 STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗 (反映滑动窗的位置)后,再作傅立叶变换。 即:

?

?

STFTx (? ,? ) ? ? x(t )? (t ? ? )e? j?t dt
时限 频限

小波变换的含义
设 ? ?t ?? L2 ?R ?,当 ? (t ) 满足允许条件时:

c? ? ?

??

??

? (? ) d? ? ? ?

2

称 ? (t ) 为一个“基小波”或“母小波”。

? ? ? ?

母小波的性质 母小波具有震荡性,即零直流分量 母小波及其生成的小函函数均为带通信号 母小波及其生成的小波函数均随t的延伸而快速衰 减

小波变换的含义
小波变换的含义是: 把基本小波(母小波)的函数 ? (t ) 作位移后,再在 不同尺度下与待分析信号作内积,就可以得到 一个小波序列。

连续情况时,小波序列为:(基本小波的位移与 尺度伸缩)
? a ,b ?t ? ?
1 a

??

?t ?b? ? ? a ?

a, b ? R; a ? 0

其中a为尺度参量,b为平移参量。 离散的情况,小波序列为 :

? j ,k ?t ? ? 2 ? j 2? ?2 ? j t ? k ?

j, k ? z

小波变换的含义
根据容许条件要求,当ω=0时,为使被积函数是有 ? (0) ? 0 ,所以可得到上式的等价条件 效值,必须有? ? 为: ? (0) ? ? ? (t )dt ? 0 ?
??

? (t ) 中不含直流,只含有交流,即具有震 此式表明 荡性,故称为“波”,为了使? (t )具有局部性,即 在有限的区间之外很快衰减为零,还必须加上一个 衰减条件:
? (t ) ?

?1 ? t ?

c

1??

, ? ? 0, c ? 0

小波变换的含义
衰减条件要求小波具有局部性,这种局部性称 为“小”,所以称为小波。 对于任意函数 f ?t ? ? L2 ?R ? 的连续小波变换定义 为:
w f (a, b) ? ? f (t )? a ,b (t )dt ? a
R ?1 2

?

R

?t ?b? f (t )? ? ?dt ?? f ,? a ,b ? ? a ?

逆变换为:

1 f ?t ? ? C?

1 ?t ?b ? W f ?a, b ? ?? ?dadb 2 ? ? a ? a ? RR

a 是尺度因子,b 反映位移。

小波变换的性质
? 线性
WTx ? a, b ? ? ?WTg ? a, b ? ? ? WTh ? a, b ?

? 时移不变性 设 f (t ) 的小波变换为 CWT a ,b,则 f (t ? t 0 ) 的小波 变换为 CWT a ,b?t 。
0

? 尺度变换特性 设 f (t ) 的小波变换为 CWT a ,b ,则 f (ct ) 的小波 变换为 1c CWT 。
ca ,cb

? 微分特性
? ? m f (t ) ?m m CWTa ,b ( ) ? (?1) ? f (t ) m ? a ,b (t )dt m ?? ?t ?t

小波变换的性质
? 能量守恒特性

?
? 冗余度

?

??

1 f (t ) dt ? C?
2

? ?
0

?

?

??

CWTa ,b

2

dadb a2

连续小波变换把一维信号变换到二维空间,因 此小波变换中存在多余的信息,即为冗余度。 度量冗余度的量称为再生核,它反映了小波变 换二维空间两点之间的相关性。

MATLAB中的小波及算法
? 共15种 ? 经典类小波:Harr小波、Morlet小波、Mexican hat小波、Gaussian小波 ? 正交小波:db小波、对称小波、Coiflets小波、 Meyer小波 ? 双正交小波 ? Harr小波

?1 ? ? ( x ) ? ?? 1 ?0 ?

0 ? x ? 1/ 2 1/ 2 ? x ? 1 其它

MATLAB中的小波及算法
? Daubechies小波 Daubechies小波一般简写为dbN,N为小波的阶 数。当N=1时,为Haar小波,当N>1时,dbN 没有显式表达式 ? Mexico hat小波
? ( x) ?
2 3

? ?1 / 4 (1 ? x 2 )e ? x

2

/2

MATLAB中的小波及算法
? MATLAB算法与塔式分解 ? 系数分解的快速算法:
C j ,k ? ? h?m ? 2k ?C j ?1,m
m

d j ,k ? ? g ?m ? 2k ?d j ?1,m
m

MATLAB中的小波及算法
? 系数重构的快速算法:
C j ?1,k ? ? C j ,m h?m ? 2k ? ? ? d j ?1,m g ?m ? 2k ?
m m

EMD背景简介
信号分析与处理一直是最活跃的研究领域 之一。Fourier分析技术自提出以来,一直扮演 着举足轻重的角色,但随着研究对象和研究范 围的不断深入,也逐步暴露了 Fourier变换在研 2 究时变非线性信号时候的局限性。这种局限性 体现在:Fourier变换是一种全局性变换,得到 的是信号的整体频谱,因而无法表述信号的时 频局部特性,而这种特性正是非平稳信号最根 本和最关键的性质。 4

EMD背景简介
为了分析和处理非平稳信号,人们相继提出 并发展了一系列新的信号分析方法:短时Fourier 变换、双线性时频分布、小波分析、分数阶 Fourier变换等。短时Fourier变换、小波分析、分 数阶Fourier变换等算法从不同程度上对非平稳信 号的时变性给予了恰当的描述,大大改进了 Fourier分解的不足,但仍属于全局分析的范畴, 究其原因在于他们都依赖于基函数的选取,基函数 决定了这些方法对信号的分析能力,一旦基函数 确定,与该基函数相适应的信号分析结果就相对 理想,反之就得不到较好的效果。而信号自身千 变万化,不可能找到一种基函数可以与所有类型 的信号相适应。

EMD背景简介
那么,能否找到一种基函数可以随着信号自 身的变化而变化呢?在此背景下,1998年Huang 等人提出了一种用来分析非平稳信号的基于经验 的模式分解算法(EMD)和基于Hilbert变换的时频 谱图。EMD是基于数据时域局部特征的,它可把 复杂的数据分解成有限的、通常是少量的几个内 蕴模式函数分量(Intrinsic Mode Functions, IMF), 通过Hilbert变换对相位进行微分求解瞬时频率, 从而使得瞬时频率这一概念具有了实际的物理意 义。

EMD背景简介
由于分解是基于信号时域局部特征的,因此 分解是自适应的,也是高效的,特别适合用来分 析非平稳非线性的时变过程,它能清晰地分辨出 交叠复杂数据的内蕴模。EMD提出后,很快在许 多领域取得了良好的应用,但是,由于基于经验 进行信号的分析,EMD在理论上目前还无法获得 较好的解释,因此也遭到了许多学者的质疑。实 际上,EMD的最大突破在于不再依赖于基函数, 它是数据驱动的自适应分析方法。

EMD原理和步骤
在EMD分解过程中,一个基本模式分量函数 需要满足如下两个条件:

(1)在整个数据序列中,极值点的数量与过零点的 数量相等,或最多相差不能多于一个。
(2)在任一时间点上,信号的局部最大值和局部最 小值定义的包络均值为零。 满足以上两个条件的基本模式分量被称为内蕴 模式函数(IMF)。

EMD原理和步骤
按照定义,一个基本的内蕴模式函数分量并不 被限定为窄带信号,它可以是幅度和频率调制的, 事实上,它可以是非平稳的。 EMD分解算法的基本思想是:对一给定信号, 先获得信号极值点,通过插值获得信号包络,得到 均值,与均值的差得到分解的一层信号;如此重复, 获得分解结果: l
f (t ) ? ? imfi (t ) ? r
i ?1

即l个IMF和一个残差r.

EMD原理和步骤
对于一个给定的信号s(t),进行有效的EMD分解 步骤如下:
1、计算出信号s(t)所有的局部极值点。

2、用插值法求所有的极大值点构成的上包络线和所 有的极小值点构成的下包络线,分别记为u0 (t ) 和 v0 (t ) .
3、计算上下包络线的均值 u0 (t ) ? v0 (t ) m0 (t ) ? 2 及信号与上下包络线的均值的差

h0 (t ) ? s(t ) ? m0 (t )

EMD原理和步骤
4、判断 h0 (t )是否满足IMF的上述两个条件。若满足, 则h0 (t )为IMF,否则,令h0 (t ) 为s(t),重复上述步骤 1-3,直到得到一个IMF,记为 c1 (t ) . 5、令 r1 (t ) ? s (t ) ? c1 (t ) 为新的待分析信号,重复上 述步骤1-4,得到第二个IMF,记为 c2 (t ) ,此时余 项为 r2 (t ) ? r1 (t ) ? c2 (t ) . 重复上述步骤直到所得余项 rn (t )是一个单调信号或 其值小于预先给定的阈值,分解结束。
c1 (t ), c2 (t ), , cn (t ) 和 如此,最终可得到n个IMF, 余项 rn (t ) ,因此,原信号s(t)可表示为

s(t ) ? ? cn (t ) ? rn (t )
k ?1

n

“端点效应”及其影响
在EMD分解中,求包络平均是通过对原数据 中的上极值点和下极值点分别进行样条插值拟合 然后再平均的,在样条插值时,除非数据的两个 端点处就是数据的极值点,否则就不能确定端点 处的极值点,会在样条插值时产生数据的拟合误差。

“端点效应”及其影响
在EMD分解的过程中,由于端点处极值的不 确定性, 每一次样条插值都有拟合误差,这样, 每一次的拟合会产生误差,误差不停积累,分解 出来的第一个基本模式分量端点处就会有较大的 误差。而第二个基本模式分量的分解是建立在原 始数据减去第一个基本模式分量的残余项的基础 上进行的,这样,由于第一个基本模式分量的误 差,使残余项也产生误差,导致分解的第二个基 本模式分量产生更大的误差。照此类推, 随着分 解的进行, 误差就会由端点处向内逐渐传播最后 在严重的情况下会使分解的数据失去意义。

“端点效应”及其影响
除了样条拟合存在“端点效应”,希尔伯 特变换也有“端点效应”,这是因为用数字方法 实现的希尔伯特变换是基于傅氏变换的。由于第 一点和最后一点的数据值不同,傅氏变换时会出 现频谱泄漏,表现在时频谱图上便是端点效应, 影响时频分析的精度。为了减少泄漏,一般在傅 氏变换时采用加窗的方法,采用此方法会在端点 处影响有效数据,因此采用信号延拓的方法来减 弱希尔伯特变换的端点效应。

若对原数据进行数据延拓,那么分解后的 IMF分量也包含了延拓部分的数据,因此可将该 数据直接进行希尔伯特变换,然后去除延拓部分 获得原数据的时频谱图。由此可知,对于原数据 序列只要一次延拓就可减弱上述的两种端点效应。

端点延拓
由信号序列端点内极值点的规律,求出该序 列在端点处的近似取值作为端点处的极值点估 计。 步骤为:先由信号序列端点处的信号变换趋 势判断出在端点处应为极大值还是极小值,然后 再根据判断结果取相应的极值点来进行拟合求 得拟合函数,再求出此函数在端点处的函数值, 把此函数值作为极值点序列在端点处的近似取 值。

三次样条插值
? 样条函数的定义
设区间[a,b]上给定一个节点划分 a=x0<x1<……<xn-1<xn=b 如果存在正整数k使得[a,b]上的分段函数s(x)满足 如下两条: (1)在[a,b]上有直到k-1阶连续导数。 (2)在每个小区间[xi,xi+1]上是次数不大于k的多项式。 则称分段函数s(x)是以(a,b)为节点的k次样条函数。

三次样条插值
? 三次样条插值函数的定义
如果函数f ( x )在节点x0 , x1 ,? , xn处的函数值为

f ( x j ) ? y j , j ? 0 ,1,? , n

并且关于这个节点集的三次样条函数 s(x)满足插值条件:
S ( x j ) ? y j , j ? 0 ,1,? , n

则称这个三次样条函数s(x)为三次 样条插值函数。
29

三次样条插值
? 三次样条插值函数的边界条件
如果S ( x )是f ( x )的三次样条插值函数 , 则其必满足
插值条件: 连续性条件:

S ( x j ) ? y j , j ? 0 ,1,? , n
x? x j

lim S ( x ) ? S ( x j ) ? y j , j ? 1,? , n ? 1
lim S ?( x ) ? S ?( x j ) ? m j , j ? 1,? , n ? 1 lim S ??( x ) ? S ??( x j ), j ? 1 ,? , n ? 1

一阶导数连续条件:
二阶导数连续条件:

x? x j

x? x j

三次样条插值
通常我们对插值多项式在两端点的状态加 以要求也就是所谓的边界条件。

第一边界条件:由区间端点处的一阶导数给出即

? ( x0 ) ? m0 ? f ?( x0 ), ? s3 ? ? ( xn ) ? mn ? f ?( xn ), ? s3
第二边界条件:由区间端点处的二阶导数给出即

??( x0 ) ? M 0 ? f ??( x0 ), ? s3 ? ??( xn ) ? M n ? f ??( xn ), ? s3

三次样条插值
第三类又称周期边界条件:由区间端点处 的函数值或导数值满足周期条件给出

? s3 ( x0 ? 0) ? s3 ( xn ? 0) ? ? ( x0 ? 0) ? s3 ? ( xn ? 0) ? s3 ? s??( x ? 0) ? s??( x ? 0) 3 n ? 3 0

这样三次样条插值问题就分成了三类, 其实不止这三类。

三次样条插值
? 三次样条插值函数的求法
通常有三转角法、三弯矩法、B样条基函 数法。这三种方法的基本思想是类似的,都是 通过待定某些参数来确定插值函数,比如:待 定一阶导数、待定二阶导数、采用基函数方法 来确定插值函数。

应用实例——心音信号处理
心音信号是一种典型的非平稳、非线性信 号。对于心音信号的研究,传统的处理方法一 般是在假设心音信号为平稳或分段平稳的前提 下进行的,这就需要用虚假的高频成分去补偿 信号的非平稳性,容易引起能量的扩散,以致 得到错误的信息。 经验模式分解方法(EMD)是1998年由 HUANG 等提出的,它是基于信号的局部特征时间尺度,把 复杂的信号分解为固有模态函数(IMF)之和,每一 个IMF 所包含的频率成分不仅与频率有关还随信 号本身变化而变化。因此,该方法具有自适应性, 非常适合处理非线性与非平稳信号。基于这样的 特性,EMD也被广泛用于心音信号特征信息的提 取。

应用实例——心音信号处理
在初步掌握了小波变换和EMD经验模式分解 之后,结合阅读的参考文献,我借助MATLAB编 写程序完成了结合小波变换与经验模式分解处理 心音信号的任务。

程序编写思路如下:以从网上下载的一段含 有噪声的心音信号为原始数据,先对其进行二次 采样以减少数据量,然后进行小波分解将噪声去 除。接下来以小波去噪重构后的信号为材料,按 照前文中所述的经验模式分解的步骤对其进行 EMD分解。分解完毕后共得到9个IMF,选取了 前五个进行重构并与去除噪声后的原信号进行比 对,比对后发现其已经与原信号非常接近,可以 用于进一步的分析和研究。

应用实例——心音信号处理
以下为程序运行后的结果展示:

应用实例——心音信号处理
以下为程序运行后的结果展示:

应用实例——心音信号处理
以下为程序运行后的结果展示:

应用实例——心音信号处理
以下为程序运行后的结果展示:

请批评指正, 谢谢!


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