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定积分的概念导学案


河北饶阳中学导学案

编制人:

使用日期

审核: 高二数学组

没有差生只有差异

山高我为峰

§ 定积分的概念 1.5
学习目标
1.理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤; 2.了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件;

3.明确定积分的几何意义和物理意义; 4.无限细分和无穷累积的思维方法. 学习重点与难点 1.理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤; 2. 明确定积分的几何意义和物理意义;

4.定积分的性质: (1) ? kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx ( k 为常数) (2) ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x )dx ? ? f 2 ( x )dx
b b a a

b

b

b

a

a

a

(3) ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a ? c ? b )
a a c

b

c

b

试试:求直线 x ? 0, x ? 2, y ? 0 与曲线 y ? x 2 所围成的曲边梯形的面积.

学习过程
一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:函数 y ? (sin x 2 )3 的导数是 反思:在求曲边梯形面积过程中,你认为最让你感到困难的是什么?(如何分割,求和逼近是两大 难点)

典型例题
复习 2:若函数 y ? loga ( x2 ? 2 x ? 3) 的增区间是 (??, ?1) ,则 a 的取值范围是 例 1 利用定积分的定义,计算 ? x 3 dx 的值
0 1

二、新课导学 学习探究 探究任务一:曲边梯形的面积 问题:下图的阴影部分类似于一个梯形,但有一边是曲线 y ? f ( x) 的一段,我们把直线 x ? a , x ? b (a ? b) ,y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形. 如何计算这个曲边梯形的面积呢?

研究特例:对于

x ? 1 , y ? 0 , y ? x 2 围成的图形(曲边三角形)的面积如何来求呢?
变式:计算 ? x 3dx 的值,并从几何上解释这个值表示什么?
0 2

新知:1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程 分割 ? 近似代替 ? 求和 ? 取极限 n b b?a f (?i ) 2.定积分的定义: ? f ( x)dx ? lim? a n ?? n i ?1 3.定积分的几何意义:
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河北饶阳中学导学案

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审核: 高二数学组

没有差生只有差异

山高我为峰

例 2 计算定积分 ? (2 x ? x 2 )dx
0

1

三、总结提升 学习小结 1. 求曲边梯形的面积; 2. 会计算定积分. 3.定积分把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题的结果, 表示成了同样的形成.这显示这定积分的强大威力,也再一次表明了数学的威力. 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分:
1. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,且 ( F ( x) ? C )? ? f ( x) , C 为常数) ( ,则 lim
?x ?0

变式:计算定积分 ? (1 ? x)dx
1

2

A. F ( x)

B. f ( x)

C.0

D. f ?( x)

F ( x ? ?x) ? F ( x) ?( ?x



2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,则 f ( x) 在 [a, b] 上的平均值为( ) b f (a) ? f (b) 1 b A. B. ? f ( x ) dx C. ? f ( x)dx a 2 2 a
a ?a

D.

1 b f ( x)dx b ? a ?a

3. 设 f ( x) 是连续函数,且为偶函数,在对称区间 [?a, a] 上的定积分 ? f ( x )dx ,由定积分的几何意 义和性质 ? f ( x )dx =(
?a a


0 ?a

A.0 4.

B. 2 ? f ( x ) dx
1 x2 0

C. ? f ( x )dx
?a

0

D. ? f ( x )dx
0

a

? e dx 与 ? e
x 0

1

dx 的大小关系为

动手试试
计算 ? x 3 dx ,并从几何上解释这些值分别表示什么.
0 1

5.

?

3

?3

1 (sin 5 x ? )dx = 2

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