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【全国百强校】江苏省清江中学2016届高三10月月考数学试题


江苏省清江中学 2016 届高三 10 月月考 数学试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. ) 1、若集合 ? ? ?0,1? ,集合 ? ? ?0, ?1? ,则 ? ? ? ? 2、命题“ ?x ? R , x 2 ? x ? 0 ”的否定是“ 3、函数 f ? x ? ? sin 2 x 的最小正周期为 . . ” . .

>
? 2? 4、若幂函数 f ? x ? ? x? ( ? ? Q )的图象过点 ? ? 2, 2 ? ? ,则 ? ? ? ?

5、若等差数列 ?an ? 满足 a2 ? 3 , a4 ? 9 ,则 a6 ? . ? ? ? ? ? ? ? 6、若 a , b 均为单位向量,且 a ? a ? 2b ,则 a , b 的夹角大小为

?

?



7、若函数 f ? x ? ?

2 x ?1 ? m 是奇函数,则 m ? 2x ?1



8、已知点 ? 是函数 f ? x ? ? cos x( 0 ? x ? 的切线斜率的最小值为 .

?
3

)图象上一点,则曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 处

9、 已知函数 f ? x ? ? ln x ? 2x , 若 f ? x 2 ? 2 ? ? f ? 3x ? , 则实数 x 的取值范围是



10、在 ??? C 中, a ,b , c 分别为角 ? , ? , C 的对边,若 a ? 4 ,b ? 3 , ? ? 2? , 则 sin ? ? . 11、若直线 l : y ? x ? a 被圆 ? x ? 2 ? ? y 2 ? 1 截得的弦长为 2 ,则 a ?
2



? ? 1 1? 1 ?? 1? 12 、已知正实数 x , y , z 满足 2 x ? x ? ? ? ? yz ,则 ? x ? ?? x ? ? 的最小值 y z? y ?? z? ? ?
为 . 13、已知 ?an ? ,?bn ? 均为等比数列,其前 n 项和分别为 Sn ,?n ,若对任意的 n ? ?? , 总有
a Sn 3n ? 1 ,则 3 ? ? b3 ?n 4



14、设点 ? , ? , ? 分别在函数 y ? 2 x ? 2 , y ? 4 x ? x 2 , y ? x ? 3 的图象上,且 ???? ? ??? ? ?? ? 2?? ,则点 ? 横坐标的取值范围为 . 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
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步骤. ) 15、 (本小题满分 14 分)已知 f ? x ? ? sin x ? a cos x .

?1? 若 a ?

3 ,求 f ? x ? 的最大值及对应的 x 的值;

? 2? 若 f ? ?

1 ,求 tan x 的值. ? ? 0 , f ? x? ? 5 ( 0 ? x ? ? ) ?4?

??

16、 (本小题满分 14 分)已知三棱锥 ? ? ?? C 中, ?? ? 平面 ?? C , ?? ? ?C , D 为 ?? 中点, ? 为 ? C 的中点. ?1? 求证: ? C// 平面 ?D? ;

? 2 ? 求证:平面 ??D ? 平面 ??? .

?? ? 100 17、 (本小题满分 14 分) 清中校园生活区内建有一块矩形休闲区域 ?? CD , 米, ?C ? 50 3 米,为了便于学生平时休闲散步,学校后勤部门将在这块区域内铺 设三条小路 ?? 、 ? F 和 ? F ,考虑到学校的整体规划,要求 ? 是 ?? 的中点,点 ? 在 边 ? C 上,点 F 在边 ?D 上,且 ?? ? ?F ,如图所示. ?1? 设 ???? ? ? ,试将 ???F 的周长 L 表示成 ? 的函数关系式,并求定义域;

? 2 ? 经核算,三条路每米铺设费用均为 800 元,试问如何设计才能使铺路的总费用最
低?并求出最低总费用.

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18、 (本小题满分 16 分)如图,椭圆的中心在原点 ? ,已知右准线 l 的方程为 x ? 4 , 右焦点 F 到它的距离为 2 . ?1? 求椭圆的标准方程;

? 2 ? 设圆 C 经过点 F ,且被直线 l 截得的弦长为 4 ,求使 ? C 长最小时圆 C 的方程.

19、 (本小题满分 16 分)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,且点 ? ? an , an?1 ? ( n ? ?? )在直 线 x ? y ? 1 ? 0 上.

?1? 求数列 ?an ? 的通项公式;
? 2 ? 若函数 f ? n ? ?
1 1 1 1 (n?? , 且n ? 2) , 求函数 f ? n ? ? ? ? ??? ? n ? a1 n ? a2 n ? a3 n ? an

的最小值; 1 ? 3? 设 bn ? , Sn 表示数列 ?bn ? 的前 n 项和,试问:是否存在关于 n 的整式 g ? n ? , an 存在,写出 g ? n ? 的解析式,并加以证明;若不存在,试说明理由.

使得 S1 ? S 2 ? S 3 ????? Sn? 1 ? ? Sn ?1? ? g ? n? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立?若

20、 (本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x , g ? x ? ? ?

?1? 若 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 在 ? 2, f ? 2?? 处的切线方程; ? 2 ? 设函数 h ? x? ? f ? x? ? g ? x? ,求函数 h ? x ? 的单调区间; ? 3? 若在 ?1, e? ( e ? 2.718 ??? )上存在一点 x0 ,使得 f ? x0 ? ? g ? x0 ? 成立,求 a 的取值
范围.

1? a ( a?R ) . x

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江苏省清江中学 2016 届高三 10 月月考 数学试题参考答案
一、填空题 1、 ?0,1, ?1? 6、 2、 ?x ? R , x 2 ? x ? 0 8、 ?
3 3

3、 ? 10、

4、 ?

1 2

5、 15

? 3

7、 2 12、 2

9、 ?1, 2 ?

11、 ?2 二、解答题

13、 9

5 3 ? 5 2 2 ? 3? 14、 ? ? , ? 2 ? ? 2

第 4 页 共 7 页

第 5 页 共 7 页

解: (1)当 a=1 时,f(x)=x﹣lnx,

, (2 分)

f ? ? 2? ?

2 ?1 1 ? , f ? 2? ? 2 ? ln 2 2 2

所以函数 f ? x ? 在 2, f ? 2? 处的切线方程是 y ? ? 2 ? ln 2 ? ? 即 x ? 2 y ? 2 ? 2ln 2 ? 0 (4 分) (2) ,

?

?

1 ? x ? 2? 2

(6 分) ①当 a+1>0 时,即 a>﹣1 时,在(0,1+a)上 h'(x)<0,在(1+a,+∞)上 h'(x)>0, 所以 h(x)在(0,1+a)上单调递减,在(1+a,+∞)上单调递增; (8 分)
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②当 1+a≤0,即 a≤﹣1 时,在(0,+∞)上 h'(x)>0, 所以,函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增. (10 分) (3)在[1,e]上存在一点 x0,使得 f(x0)<g(x0)成立,即在[1,e]上存在一点 x0,使得 h (x0)<0, 即函数 在[1,e]上的最小值小于零. (11 分)

由(2)可知 ①即 1+a≥e,即 a≥e﹣1 时,h(x)在[1,e]上单调递减, 所以 h(x)的最小值为 h(e) , 由 可得 ,

因为



所以

; (13 分)

②当 1+a≤1,即 a≤0 时,h(x)在[1,e]上单调递增, 所以 h(x)最小值为 h(1) ,由 h(1)=1+1+a<0 可得 a<﹣2; (14 分) ③当 1<1+a<e,即 0<a<e﹣1 时,可得 h(x)最小值为 h(1+a) , 因为 0<ln(1+a)<1, 所以,0<aln(1+a)<a 故 h(1+a)=2+a﹣aln(1+a)>2 此时,h(1+a)<0 不成立. (15 分) 综上讨论可得所求 a 的范围是: 或 a<﹣2. (16 分)

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