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2008中国西部数学奥林匹克


2 0 0 9年 第 6期 

3 9  

2 0 0 8中国西部数学奥 林匹克 
第 一 天 
1 . 实 数数 列  满足 

第 二 天 
5 . 在 一直线 上 相 邻 两 点 的距 离 郡 等 于 l   的【 八 j 个点 上 各 有 一 只青 蛙 , 允 许 任 意 一 只肯

  蛙 以其余 三 只青 蛙 中的某 一 只 为中心跳 到  对称 点 f   . 讧 E 明: 无 论 跳 动 多少 次后 , 四 只青  蛙 所在 的点 中相邻 婀点 之 间 的距 离  能 都 等  于2   0 0 8 .   ( 刘诗 雄 供题 )   6 . 设  、   z ∈( 0 . 1 ) , 满 足 

“ ( ) ≠ 0. 1. “I= 1一 n『 l ,  

“ ,   + I =1 一n   ( 1 一Ⅱ   ) ( n=1 . 2 , …) .  

证【 I 『 j : 对f E 意 的  整数 n , 都 有 
“  , n .… n,  

(  +  + … +  ) =   .  

( 李胜 宏 供题 )   2 . 如  1 ,   △ B C【 } I . A B=A C. 其 内切  ( 三 ) , 分 别切 边 B C、 ( 5 1 、 A B 于点 D、  、 F, P   为  ( 小 禽 点 
D的j J 厦 )l   一  

√  一 + √l  — _   -  + + ^ v f _   i - - -  ̄ : 2 . ?  
求  的最 大值 .   ( 唐 立华 供题 )   7 . 设  为给 定 的 1 I I : 整数 . 求 最 大 的  数  . 使得 存 在 一 个 由仆 负 格 数 纰 成 的  元  集 
=  I,   2 ,… ,   ,  

点. 设线段 B P  
父 ④ i予  一  _   ,   线  A   E P、 E O 分 圳 

B= { ,   】 ,  2 , …, ) ‘   ,  

交 “线 B C 于  点  、 J  ̄.   【 』 l j :   ( 1 ) P、  、 B、 M  点  ( \  , 2 )   E N   : 一   B P   . ‘  

C= {  l , 。 ! , …,   :  

满足 x , t f + 意的 J ( 1 ≤  ≤厶 ) , 1 I } I 5 钉 
;  


+  一 。 , =  

( 李胜 宏

供题 )  

( \ 边红 平 ≈  I   供题 l , 、  , )  


8 . 没 P为  ”边 肜 。 / l : …A ,   1 人 J 的 任 意  点. 直线 / 4   P( i =1 。 2 , …, 1 + 1 ) 交 正 凡边 形 
/ t 。 A   …/ 4  的边 界 于另一 点 B   . 证 明:  

3 . 没棒 数 , n ( m≥2 ) , n   J , n 2 , …, n  都 足  正整数 . 证明: 存 在 九 穷 多 个 正整 数  使得 
数 
血】X   1   +r 上 2× 2  +… + ( z  ×,  

∑P A   ≥、 、   P B   .  
i =I   : l  

( 冯志刚  供题)  

都 是合 数 .  

( 陈永 高

供题 )  

参 考 答 案 
第 一 天 
1 . 由条件 _ u T 知  1 一Ⅱ   + I =n   ( 1 一n   ) :n   0 一l ( 1 —0   一 J )  
=… = ( z n n   一 I …r 上 l ( 1一n1 )=( z   …n I   n o ,  

4 . 设  数 I l l ( m≥2 )   为  实 数 , b为  非零 实 数 , 数列  定 义如下 :  
l =6 ,  ,   + I =“   - t - 6 ( 凡=l , 2 . …) .  

证明: ( 1 ) 当 b<0且 / 7 / 为偶数时 , 数 列  有 界的 允要 条件 是 。 b 一  ≥ 一2 ;   ( 2 )   b<0   f 1 .  z 为奇 数 , 或 『 J > 0时 , 数  列  有 界 的充 要 条件 址 
, 一 , ≤… ( / 7 / -
一  

臣 l J   n ,   + l =1 一n ( ) n I …“ ,   ( n=1 , 2 , …) .   下i 白 I 对 凡归纳 证 叫 .   n=l 时, 命题 显 然成 立 .   假设 n=  时, 命题 成 立.   对 n:   +1 的t 奇 形, 有 

.  

, n 

( 朱华伟

付云 皓

供题 )  

中 等 数 学 

a o ( / I …   t   I  +  
,  l   l  

一  一 a k +   J  
I  、  

大,   此, 是无界 的 .  

a 0   a I …“   I  +  
nf l n I … “ 

一 +  J 。   +  

若 n 厶 Ⅲ   ≥ 一2 , 用 归纳 法证 明: 数 列  { %} 的每 一 项 都落 在 区间 [ b , 一b ] 巾.  
第一项 b已经 在 区 问 [ b , 一b ] 中, 如  某项 ,   满足 b ≤   ≤ 一b , 则0 ≤   ≤b  . 故 
b= n ×0   + b≤  + l ≤  ”   + b≤ 一 b.  

= r 上   I+ Ⅱ ( } nI … “  = 1.  

故 命题 埘 n=k+l 成立 .   所以, 对 仔意 的正 整数 n, 命题都 成立 .  

此时 , 数列 {   } 有 界的 充要 条件 为 
n 6 一  ≥ 一 2.  

2 . ( 1 ) 联结 F  . 由条件町知 E F / / B C . 故 
ABC =   AFE =   / I  
=  

+   PF E  F PE . ~  

( 2 ) 当 b >0时 , 数列 {  ,   } 的每 一项 都 足 
正数 .  

P  ’ +   PFE = 1 8 O 。一  

所以, P、  、  、 M 四点共 圆 .   ( 2 ) r f { ( 1 ) 及利用 正 弦定理知 
E M  s i n/ E N M 
s i n  


s i l 1/ F E N 

E N —s i n   E MN —s i n ( 7 c 一   P f ' B)  
F PB   BF  s i n   Pk   B 一 8P 。  

先 证明 : 数列 {   } 有 界 的 充 要 条件 足  程a x  +b=   有i E 实根 .   如果 方 程 仳 +b=   无  实 根 , 那么,   函数 P(  ) =似 +b一戈在 ( 0 , +∞)卜的最  小值大 于 0 , 不妨没为 t . 则对于数列『 f | l 的f E   意连续 两项  . , 有 
+ I一  = ( L 1 ; m  ,


结合 B F=B D 即知命 题成  .  
3 . 取数 n I +2 Ⅱ 2 +… +m a ,  的质  子 P.   由费 i J J 小定理 知. 对任意 的 k ( 1 ≤ k≤   m) , 有 
=  ( I l l O ( 1   p ) .  

‘   + b.  

放数 列 {  ,   } 中后 一项 至 少 比  一 项 大 
£ . 此时l 尤界 .   如果  +b:  仃I I   楸, 设其一  根  为  .  

所以, 对仃 意的  擎数 凡都有 
a1× 1   +a 2× 2   +… +a , ”x   n l t  

接 下来 利川  纳 法  叫 : 数列 {   川  的  何一项 5 小 于  .   先 第一项 b   然 小 于  . 假 没某 项  <  ( 1 ,   ( 1 2 Y …+b在 『 0 , +∞)I   足增  数 ,   知  I =   n   +b<似 +b=  【 J .   此, 数 列 
,  

兰 口l +2 “ 2+… +D / a  - =0 ( n l o ( { P) .  

从而 , 数 0 I ×1   +n ! ×2   +… +a  ×  

m  ( n=I , 2 , …) 郁足 合数 .   4 . ( 1 )   b<0且 m 为 偶 数 时 , 如 果  n 6 Ⅲ   <一2 , 那么, 首 先有 n 6  +b> 一b>0 ,  
于是 , a ( a b  +b )  +b>a b  +b> 0 , 即 
3>   2> 0.  

有界 .   而 a x   +b=   有 正 根 的 充 要 条 件 足 
一 ’+


旦在 ( 0 , +o 。 ) 上 的 最小 值 不 大 于 l ,  

利片 j   +b在 ( 0 , +∞) 一 _ f   单 调 增 可  知, 数列 {   } 的每一 项都 比前一 项大 , 并且 从 

而 似一 +旦的最小 值 可 以由平 均 值 不 等式 
^ 

给出, 即 
ax  
1 .

第二项 起每 一项都 大于 一b .   考 察数 列 {   } 中 的 连 续 三项  、  + , 、  
+  

b  

J - — — 

( n= 2 , 3 , …) , 有 
,   + 2 一  + I :r 上 (  : + l 一戈   n   )  

= 毗   一

l+  + 

+ … . . ?+  + 

=a ( x   + l 一  )  m - : +   m   - + 2 l   ,   + …+  一 。  
>Ⅱ , m =   一 。 (   l —   )  
≥ 玑  .  

>a m( 一b )  一 ‘ (   + l —   )  
>2 m(  ,   + f 一   ) >   + f 一   ,  

此时 , 数列 :   } 有 界 
甘   甘 m m 

/  

a b m- i

这表 明 , 数列 {   } 中相 邻 两项 的差 距 越来 越 

二 

≤ 一.   

2 0 0 9年 第 6期 
甘   一 一 ≤ 
.  

4 1  

, n 

因 此 ,   ≤ 【  】 + 1 .   下 面 给 出k : 【  j + 1 的 例 子 .  
若n : 3 m, 对l ≤   ≤m+1 , 令 , =  一1 ,  
=m +  一1 ,   =2 m一   +2 ; 对 m +2 ≤. , ≤  

当 b<0 , m 为 奇数 时 , 令   =一% . 则 
Y l =一b>0 ,  + l =   :+   ( 一b ) .  

注意 到 {   } 有 界的充要 条件 是 { y n } 有  界, 故可 转化 为 上述情 形 .  
综上 , 可知( 2 ) 成立 .  

2 m+1 , 令  =J 一1 ,   = J—m 一2 ,   =4 m一   +3即可 .  

第 二 天 
5 . 将青 蛙 放在 数 轴上讨 论 .   不妨设 最 初 四 只青 蛙 所 在 的 位 置 为 1 ,   2 , 3 , 4 . 注意到 , 处 于奇 数 位 置 上 的 青 蛙 每 次 

若  =3 ,  +1 , 对 1 ≤   ≤m, 令 , =  一1 ,  
=m +_ , ,   =2 m一   +2 ; 对 m+1 ≤   ≤2  ,  

令  = _ 『 +1 ,  :  一m一1 ,   =4 m一2  +1 , 而 
2   + I =m, Y 2   + l =2 m+1 ,   2   + l =0即可 .  

跳动后仍处 于奇数位 置上 , 处于偶数位置上  的青蛙每次跳动后仍处于偶数位置上 . 因此 ,   任意 多次跳 动后 , 四只 青 蛙 中总 有 两 只 处 于  奇 数 位置 上 , 另两 只处 在偶 数 位置 上 . 如果 若  干次跳动后 , 青蛙所在位 置 中每相邻 两只之  间的距 离 都是 2   0 0 8 , 则要 求 它们 处 于具 有 相  同奇偶 性 的位 置 上 , 不可能 .  
6 . 记 “=   可 知  . 则 由条 件 及 均 值 不 等 式 

若  =3 m +2 ,对 1 ≤  ≤ m +1 , 令 , =  


I ,   =m+ J ,   =2 m一   +3 ; 对 m +2 ≤_ ,  

≤2 m +1 , 令  =  ,   =_ , 一m 一2 ,   =4 m一  
+4 , 而  2   + 2  2 m +2 , Y 2   + 2 =m , z 2   + 2 =0  

即可.  

综 上 , k 的 最 大 值 为 [  】 + 1 .  

2 u   = 2  
∑ 

=   1 ∑ 
=   一  ( x + y + z )  

8 . 记  【 号 】 + 1 , 并 设  
A   + 产  (  =1 , 2 , …, n ) .  

注意 到 , 正 凡边形 的任 意 一 个 顶 点 与 边  界 上任 意一 点 之 间的距 离 不大 于其 最长 的 对  角 线 的长度 d . 因此 , 对任意的 i ( 1 ≤i ≤尼 ) ,  
有  A   P+P B   A £ B   ≤d .   ① 

≤  一 , / 5 .   : 掣一  z 。  
故4 Ⅱ   +2   一3   ≤O , 即 

( 2 u一 , / 5) ( 2 u  +2 √   +3 ) ≤0 .  
所以 , Ⅱ≤   .  

另一 方 面 , 由三 角 形 两边 之 和大 于 第 三 
边, 知对 任 意 的 ( 1 ≤i ≤ ) , 有 
A f P+P A … ≥A   A “j =d.   ② 

依此 知  ~6 2 7 4 等号 在  =y=  =   时 


对 式① 、 ② 分别 对 i =1 , 2 , …, 厅求 和得 

可 以取 到 .  

∑( A   P +   …) ≥ n d  
.  

因此 , 所求最大值为  .  
7 . 由条件 可知 

≥∑ ( A   P +   ) ,  

k n = ∑( 甄+ Y   + z f )  

即2 ∑P A   ≥ ∑A I P + ∑P B   .  
依此可知命题成立 .  
( 朱 华伟 提供 )  

≥ 3 ∑ k - I   i :  
. 


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