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07.推理与证明


深圳市 2016 年高考数学复习参考题
7、推理与证明
编辑:深圳市第二实验学校 何明志
一、选择题: 1、甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为( A.A 【试题解析】选 A B.B ) C.C

D.不能判断

由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市,乙去过 A 城市或 C 城市,结合乙的

回答可得乙去过 A 城市. 【选题意图】本小题主要考查逻辑推理. 在近年全国新课标高考中有涉及到推理与证明的试题. 2、由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则:

b ? b?a ”; ①“ mn ? nm ”类比得到“ a?

c ? a? c + b? c ”; ②“ (m ? n)t ? mt ? nt ”类比得到“ (a + b)? b)?c ? a? (b?c ) ”; ③“ (mn)t ? m(nt ) ”类比得到“ (a?
④“ t ? 0, mt ? xt ? m ? x ”类比得到“ p ? 0, a?p ? x?p ? a ? x ”; ⑤“ m? n ? m ?n ”类比得到“ a? b ? a ?b ”; ⑥“

ac a a?c a ? ”类比得到“ ? ”. bc b b?c b
) C.3 D.4 A.1 B.2

以上的式子中,类比得到的结论正确的个数是(

【试题解析】选 B ①②正确,③④⑤⑥错误. 【选题意图】本小题主要考查类比推理. 在近年全国新课标高考中有涉及到类比推理的试题. 3、在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1 ,外接圆面积为 S2 ,则

S1 1 ? ,推 S2 4 V1 ?( V2
)

广到空间可以得到类似结论; 已知正四面体 P ? ABC 的内切球体积为 V1 , 外接球体积为 V2 , 则

A.

1 8

B.

1 9

C.

1 64

D.

1 27

【试题解析】选 D

正四面体的内切球与外接球的半径之比为 1∶3,故

V1 1 ? . V2 27

【选题意图】本小题主要考查类比推理. 在近年全国新课标高考中有涉及到类比推理的试题. 4、下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )

A.设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .由 an ? 2n ? 1,求出 S1 ? 12 , S2 ? 22 , S3 ? 32 ,? ,推断: Sn ? n2 B.由 f ( x ) ? x cos x 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x) 对 ?x ? R 都成立,推断: f ( x ) ? x cos x 为奇函数 C.由圆 x 2 ? y 2 ? r 2 的面积 S ? ? r ,推断:椭圆
2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的面积 S ? ? ab a 2 b2

D.由 (1 ? 1)2 ? 21,(2 ? 1)2 ? 22 ,(3 ? 1)2 ? 23 ,? ,推断:对 ?n ? N* ,(n ? 1)2 ? 2n 【试题解析】选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论,且注意到数列 {an } 是等差数列,其前 n 项和等于 Sn ?

n(1 ? 2n ? 1) ? n 2 ,选项 D 中的推理属于归纳推理,但结论不正确. 2

【选题意图】本小题主要考查类比推理. 在近年全国新课标高考中有涉及到以数列、三角、解析几何 为知识载体的类比推理的试题. 5、将正奇数按如图所示的规律排列,则第 21 行从左向右的第 5 个数为( 1 3 9 19 … A.809 5 7 11 13 15 17 21 23 25 27 29 31 … … B.852 C.786
2

)

D.893

【试题解析】选 A 前 20 行共有正奇数 1+3+5+…+39= 20 =400 个,则第 21 行从左向右的第 5 个数是第 405 个正奇数,所以这个数是 2× 405-1=809. 【选题意图】本小题主要考查归纳推理. 在近年全国新课标高考中有涉及到三角数阵的归纳推理的试 题. 6.凸 n 多边形有 f ( n ) 条对角线,则凸 n ? 1 边形的对角线的条数 f (n ? 1) 为( A. f ( n ) ? n ? 1 C. f ( n ) ? n ? 1 B. f ( n ) ? n D. f ( n ) ? n ? 2 )

【试题解析】 选 C 边数增加 1, 顶点也相应增加 1 个, 它与和它不相邻的 n ? 2 个顶点连接成对角线, 原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加 n ? 1 条. 【选题意图】本小题主要考查归纳推理. 在近年全国新课标高考中有涉及到以多边形的对角线的归纳 推理的试题. 7 、 利 用 数 学 归 纳 法 证 明 “ (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 ?1 ? 3 ??? (2n ? 1), n ? N ” 时 , 从
n *

“ n ? k ”变到“ n ? k ? 1 ”时,左边应增乘的因式是( A. 2 k ? 1 B. 2(2k ? 1)
*

)

C.

2k ? 1 k ?1

D.

2k ? 3 k ?1

【试题解析】选 B 当 n ? k (k ? N ) 时,左式为 (k ? 1)(k ? 2)?(k ? k ) ;

(k ? 1 ? 2)?(k ? 1 ? k ? 1)? ( k ? 1 ? k )? (k ? 1 ? k ? 1) , 当 n ? k ? 1 时,左式为 (k ? 1 ? 1)?

则左边应增乘的式子是

(2k ? 1)(2k ? 2) ? 2(2k ? 1) . k ?1

【选题意图】本小题主要考查数学归纳法. 数学归纳法中的归纳递推从“ n ? k ”变到“ n ? k ? 1 ” 时是一个难点. 8、设 a , b 是两个实数,给出下列条件: ① a ? b ? 1 ;② a ? b ? 2 ;③ a ? b ? 2 ;④ a ? b ? 2 ;⑤ ab ? 1 .
2 2

其中能推出:“ a , b 中至少有一个大于 1”的条件是( A.②③ C.③ 【试题解析】选 C 若 a ? B.①②③ D.③④⑤

)

1 2 , b ? ,则 a ? b ? 1 ,但 a ? 1, b ? 1 ,故①推不出; 2 3

若 a ? b ? 1 ,则 a ? b ? 2 ,故②推不出;
2 2 若 a ? ?2, b ? ?3 ,则 a ? b ? 2 ,故④推不出;

若 a ? ?2, b ? ?3 ,则 ab ? 1 ,故⑤推不出; 对于③,即 a ? b ? 2 ,则 a , b 中至少有一个大于 1, 反证法:假设 a ? 1 且 b ? 1 ,则 a ? b ? 2 与 a ? b ? 2 矛盾, 因此假设不成立, a , b 中至少有一个大于 1. 【选题意图】本小题主要考查反证法. 正难则反,举反例验证、反证法是间接证明的一个数学问题的 好办法. 9、观察下列算式:

13 ? 1 ,

23 ? 3 ? 5 , 33 ? 7 ? 9 ? 11 , 43 ? 13 ? 15 ? 17 ? 19 ,
?? 若某数 m 按上述规律展开后,发现等式右边含有“ 2016 ”这个数,则 m ? (
3



A. 43 C. 45
3

B. 44 D. 46

【试题解析】选 C 某数 m 按上述规律展开后,等式右边为 m 个连续奇数的和,观察可知每行的最 后 一 个 数 为 1 ? 1 ? 0,5 ? 2 ? 1,11 ? 3 ? 2,19 ? 4 ? 3,?
2 2 2 2

,所以第 m 行的最后一个数为

m2 ? (m ? 1) .因为当 m ? 44 时, m2 ? (m ? 1) ? 1979 ,当 m ? 45 时, m2 ? (m ? 1) ? 2069 ,所以要使
等式右边含有“ 2016 ”这个数,则 m ? 45 . 【选题意图】本小题主要考查归纳推理. 在近年全国新课标高考中有涉及到三角数阵的归纳推理的试 题.

10 . 分 析 法 又 称 执 果 索 因 法 , 若 用 分 析 法 证 明 “ 设 a ? b ? c , 且 a ? b ? c ? 0 , 求 证 :

b2 ? ac ? 3a ”索的因应是(
A. a ? b ? 0 C. (a ? b)(a ? c) ? 0 【试题解析】选 C

) B. a ? c ? 0 D. (a ? b)(a ? c) ? 0

b2 ? ac ? 3a ? b2 ? ac ? 3a2
? (a ? c)2 ? ac ? 3a2
? ?2a 2 ? ac ? c 2 ? 0
? 2a 2 ? ac ? c2 ? 0 ? (a ? c)(2a ? c) ? 0 ? (a ? c)(a ? b) ? 0 .

【选题意图】本小题主要考查分析法. 分析法是证明方法中的重要方法. 11、已知“整数对”按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2), (4,1),?,则第 60 个“整数对”是( A.(7,5) C.(2,10) ) B.(5,7) D.(10,1)

【试题解析】选 B 依题意,把“整数对”的和相同的分为一组,不难得知第 n 组中每个“整数对”的和 均为 n ?1 ,且第 n 组共有 n 个“整数对”,这样的前 n 组一共有

n ( n ? 1) 个“整数对”,注意到 2

10 ? (10 ? 1) 11 ? (11 ? 1) ? 60 ? , 因此第 60 个“整数对”处于第 11 组(每个“整数对”的和为 12 的组)的第 5 2 2
个位置, 结合题意可知每个“整数对”的和为 12 的组中的各对数依次为: (1,11), (2,10), (3,9), (4,8), (5,7), …, 因此第 60 个“整数对”是(5,7). 【选题意图】本小题主要考查归纳推理. 在近年全国新课标高考中常常涉及到以其他知识为载体的归 纳推理的试题,解题的关键是根据所给的条件寻找规律.
* 12 设平面上 n(n ? 1, n ? N ) 个圆周最多把平面分成 f ( n ) 片(平面区域),则 f ( n ) ? (



A. 2

n

B. n ? n ? 2
2

C. 2 n

D . 2n ? 4 n ? 4
2

【试题解析】选 B 易知 2 个圆周最多把平面分成 4 片; n 个圆周最多把平面分成 f ( n ) 片,再放入 第 n ? 1 个圆周,为使得到尽可能多的平面区域,第 n ? 1 个应与前面 n 个都相交且交点均不同,有 n 条公 共 弦 , 其 端 点 把 第 n ? 1 个 圆 周 分 成 2n 段 , 每 段 都 把 已 知 的 某 一 片 划 分 成 2 片 , 即

f (n ? 1) ? f (n) ? 2n(n ? 1) ,所以 f (n) ? f (1) ? (n ? 1)n ,而 f (1) ? 2 ,从而 f (n) ? n2 ? n ? 2 .
【选题意图】本小题主要考查归纳推理. 在近年全国新课标高考中有涉及到以平面图形被分成多少区 域的归纳推理的试题. 二、填空题: 13、在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按下图所标 边长,由勾股定理有: c ? a ? b .设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截
2 2 2

下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O ? LMN ,如果用 S1 , S2 , S3 表示三个侧面面积, S4 表示截面面积,那么类 比得到的结论是________.

【试题解析】将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可得

S12 ? S22 ? S32 ? S42 .
【选题意图】本小题主要考查类比推理. 在近年全国新课标高考中常常考查涉及到从平面几何的性质 类比到立体几何的性质的类比推理的试题. 14、若 {an } 是等差数列, m , n , p 是互不相等的正整数,则有:

(m ? n)a p ? (n ? p)am ? ( p ? m)an ? 0 ,
类比上述性质,相应地,对等比数列 {bn } ,有_____________________________. 【试题解析】 设 {bn } 的首项为 b1 , 公比为 q , 则 bp m?n ? bmn? p ? bn p?m ? (b1q p?1 )m?n ? (b1qm?1 )n? p ? (b1qn?1) p?m

bmn? p ? bn p?m ? 1. ? b10q0 ? 1.所以填 bp m?n ?
【选题意图】本小题主要考查类比推理. 在近年全国新课标高考中常常考查涉及到从等差数列的性质 类比到等比数列的性质的类比推理的试题. 15、观察分析下表中的数据: 多面体 面数( F ) 顶点数( V ) 棱数( E ) 三棱柱 五棱锥 立方体 5 6 6 6 6 8 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F ,V , E 所满足的等式是___________________________. 【试题解析】三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;立方体中 6+8-12=2,由此归纳可得

F ? V ? E ? 2 . 答案: F ? V ? E ? 2
【选题意图】本小题主要考查归纳推理. 在近年全国新课标高考中常常考查涉及到立体几何经典结论 的试题. 16、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10,? ,第 n 个三角形数 为

n( n ? 1) 1 2 1 ? n ? n .记第 n 个 k 边形数为 N (n, k )(k ? 3) ,以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表 2 2 2 1 2 1 n ? n, 2 2

达式: 三角形数 正方形数

N (n,3) ?

2 , N ( n, 4 ? ) n

五边形数 六边形数 ??

N (n,5) ?

3 2 1 n ? n, 2 2
2 , 2 n ? n

N ( n, 6 ? )

可以推测 N (n, k ) 的表达式,由此计算 N (10,24) =________. 【试题解析】 由 N ( n,3) ?

1 2 1 n ? n, 2 2

N (n, 4) ? N ( n,5) ? N ( n,6) ?
推测 N ( n, k ) ?

2 2 0 n ? n, 2 2 3 2 ?1 n ? n, 2 2 4 2 ?2 n ? n, 2 2

k ?2 2 4?k n ? n, k ? 3 .从而 N (10,24) ? 1000 . 2 2

【选题意图】本小题主要考查归纳推理. 在近年全国新课标高考中常常考查涉及到经典结论的试题.


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