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立体几何方法技巧


立体几何
【考点透视】 不论是求空间距离还是空间角,都要按照“一作,二证,三算”的步骤来完成。 求解空间距离和角的方法有两种:一是利用传统的几何方法,二是利用空间向量。 【例题解析】 考点 1 点到平面的距离 求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度,其关键在于确定点在平面内的垂足,当然别忘了转化 法与等体积法的应用. 例 1 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C

1 的所有棱长都为 2 , D 为 CC1 中点. (Ⅰ)求证: AB1 ⊥平面 A1BD ; (Ⅱ)求二面角 A ? A1D ? B 的大小; (Ⅲ)求点 C 到平面 A1BD 的距离. B C D A

A1

C1 B1

考点 2 异面直线的距离 此类题目主要考查异面直线的距离的概念及其求法,考纲只要求掌握已给出公垂线段的异面直线的距离. 例 2 已知三棱锥 S ? ABC ,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长为 2,且垂直于底面. E、D 分别为

BC 、AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离.

考点 3 直线到平面的距离 此类题目再加上平行平面间的距离,主要考查点面、线面、面面距离间的转化.

例 3. 如图,在棱长为 2 的正方体 AC1 中,G 是 AA1 的中点,求 BD 到平面 GB1 D1 的距离.

考点 4 异面直线所成的角 此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角, 然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的 重点. 例 4、如图,在 Rt△ AOB 中,?OAB ? π ,斜边 AB ? 4 .Rt△ AOC 可以通过 Rt△ AOB 以直线 AO 为轴旋转得到,
6

且二面角 B ? AO ? C 的直二面角.D 是 AB 的中点. 求证: 平面 COD ? 平



AOB ;
求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小.

A

D

O
C

E

B

考点 5 直线和平面所成的角 此类题主要考查直线与平面所成的角的作法、证明以及计算.线面角在空间角中占有重要地位,是高考的常 考内容. 例 5. 四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC ? 底面 ABCD .已知∠ABC ? 45 , AB ? 2 ,
BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 .
S

(Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小.
D C A B

考点 6 二面角 此类题主要是如何确定二面角的平面角,并将二面角的平面角转化为线线角放到一个合适的三角形中进行 求解.二面角是高考的热点,应重视. 例 6.如图,已知直二面角 ? ? PQ ? ? , A ? PQ , B ? ? , C ? ? , CA ? CB , ?BAP ? 45 ,直线 CA 和 平面 ? 所成的角为 30 .

? C
P (I)证明 BC ⊥ PQ ; (II)求二面角 B ? AC ? P 的大小. A B Q

?

考点 7 利用空间向量求空间距离和角 众所周知, 利用空间向量求空间距离和角的套路与格式固定.当掌握了用向量的方法解决立体几何问题这套 强有力的工具时,不仅会降低题目的难度,而且使得作题具有很强的操作性. 例 7.如图,已知 ABCD ? A1B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 上,且 AE ? FC1 ? 1 . (1)求证: E,B,F,D1 四点共面; (2)若点 G 在 BC 上, BG ?

2 ,点 M 在 BB1 上, GM ⊥ BF ,垂足为 H ,求证: EM ⊥平面 BCC1B1 ; 3

(3)用 ? 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1B1 所成的锐二面角的大小,求 tan ? .


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