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2018版高考数学大一轮复习第七章不等式第2讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件理


第2讲

二元一次不等式(组)与简单的线性 规划问题

最新考纲

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;

2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二 元一次不等式组;3.会从实际情境中抽象出一些简单的二 元线性规划问题,并能加以解决.

知识梳理
1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中 表示直线 Ax + By + C= 0 某一侧的所有点组成的平面区域 ( 半平 面)不含边界直线.不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平

面)包括边界直线.
(2)对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y),使得Ax+By +C 的值符号相同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适

合同一个不等式Ax +By+C>0;而位于另一个半平面内的点,
其坐标适合另一个不等式Ax+By+C<0. (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域,是各个不

等式所表示的平面区域的公共部分.

2.线性规划的有关概念 名称 意义

线性约束条 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不
件 目标函数 等式组,是对x,y的约束条件

关于x,y的解析式
关于x,y的一次解析式 线性约束条件 的解(x,y) 满足_____________

线性目标函


可行解

可行域 最优解

可行解 组成的集合 所有________ 最小值 的可行解 最大值 或_______ 使目标函数达到_______ 最小值的问题 或______

最大值 线性规划 求线性目标函数在线性约束条件下的_______
问题

诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) C=0的上方.( ) ) 精彩PPT展示

(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+ (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.( 上.( )

(3) 线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界 (4)在目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by

-z=0在y轴上的截距.(

)
)

(5)不等式x2-y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和 二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.(

解析

(1)不等式 x-y+1>0 表示的平面区域在直线 x-y+1

=0 的下方. z (4)直线 ax+by-z=0 在 y 轴上的截距是b.

答案 (1)× (2)√

(3)√ (4)× (5)√

2.下列各点中,不在x+y-1≤0表示的平面区域内的是( A.(0,0) C.(-1,3) B.(-1,1) D.(2,-3)

)

解析 把各点的坐标代入可得(-1,3)不适合,故选C. 答案 C

3.(必修

? ?x-3y+6≥0, 5P86T3)不等式组? 表示的平面区域是( ? x - y + 2<0 ?

)

解析

x - 3y + 6≥0 表示直线 x - 3y + 6 = 0 及其右下方部

分, x - y +2 < 0 表示直线 x - y + 2 = 0 左上方部分,故不

等式表示的平面区域为选项B.
答案 B

?x-y+1≥0, ? 4.(2016· 全国Ⅱ卷)若 x,y 满足约束条件?x+y-3≥0,则 z=x-2y ?x-3≤0, ? 的最小值为________.

解析 画出可行域,数形结合可知目 标函数的最小值在直线x=3与直线x-

y+1=0的交点(3,4)处取得,代入目
标函数z=x-2y得到-5. 答案 -5

?y≤x, ? 5.若变量 x, y 满足约束条件?x+y≤4,且 z=2x+y 的最小值为 ?y≥k, ? -6,则 k=________.

解析

作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所

示, z = 2x + y ,则 y =- 2x + z. 易知当直线 y =- 2x + z 过点 A(k,k)时,z=2x+y取得最小值,即3k=-6,所以k=-2.

答案 -2

考点一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
【例 1】 (1)(2017· 郑州预测)若不等式 x2+y2≤2 所表示的平面 ?x-y≥0, ? 区域为 M,不等式组?x+y≥0,表示的平面区域为 N,现随 ?y≥2x-6 ? 机向区域 N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为 ________. ?x+y-2≤0, ? (2)(2015· 重庆卷)若不等式组?x+2y-2≥0,表示的平面区域 ?x-y+2m≥0 ? 4 为三角形,且其面积等于3,则 m 的值为( 4 A.-3 B.1 C. D.3 3 )

解析

(1)作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部 1 分所示, 平面区域 N 的面积为2×3×(6+2)=12, 区域 M 在 π 2 1 π π 2 区域 N 内的面积为4π( 2) =2,故所求概率 P=12=24.

(2) 如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则 -2m<2,则m>-1,

? ? ?x+y-2=0, ?x=1-m, 由? 解得? 即 ? ? ?x-y+2m=0, ?y=1+m,

A(1-m, 1+m).

? 2 4 ? ?x=3-3m, ?x+2y-2=0, 由? 解得? ? ?x-y+2m=0, ?y=2+2m, ? 3 3



?2 4 2 2 ? B?3-3m,3+3m?,所围成的区域为△ABC, ? ?

1 1 则 S△ABC=S△ADC-S△BDC=2(2+2m)(1+m)-2(2+2m)· 2 1 4 2 3(1+m)=3(1+m) =3, 解得 m=-3(舍去)或 m=1.故选 B.

π 答案 (1) (2)B 24

规律方法

二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法:

直线定界,测试点定域,注意不等式中不等号有无等号,

无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.测试点可
以选一个,也可以选多个,若直线不过原点,则测试点常

选取原点.

?x≥0, ? 【训练 1】 若不等式组?x+3y≥4,所表示的平面区域被直线 y ?3x+y≤4 ? 4 =kx+3分为面积相等的两部分,则 k 的值是( ) 7 3 4 3 A.3 B.7 C.3 D.4

解析 不等式组表示的平面区域如图所示.

? 4? 4 由于直线 y=kx+3过定点?0,3?.因此只有直线过 AB ? ? 4 中点时,直线 y=kx+3能平分平面区域. ?1 5? 因为 A(1,1),B(0,4),所以 AB 中点 D?2,2?. ? ? ?1 5? 4 5 k 4 ? ? 当 y=kx+ 过点 2,2 时, = + , 3 2 2 3 ? ? 7 所以 k= . 3

答案 A

考点二 线性规划相关问题(多维探究) 命题角度一 求目标函数的最值
?2x-y+1≥0, ? 【例 2-1】(1)(2016· 全国Ⅲ卷)设 x, y 满足约束条件?x-2y-1≤0, ?x≤1, ? 则 z=2x+3y-5 的最小值为________. ?x-1≥0, ? y (2)(2015· 全国Ⅰ卷)若 x,y 满足约束条件?x-y≤0, 则x的最 ?x+y-4≤0, ? 大值为________.

解析

(1) 画出不等式组表示的平面区域

如图中阴影部分所示.由题意可知, 2 5 z 当直线 y=-3x+3+3过点 A(-1,-1) 时,z 取得最小值,即 zmin=2×(-1)+ 3×(-1)-5=-10.

(2)作出可行域如图中阴影部分所示,由 y 斜率的意义知,x是可行域内一点与原点 连线的斜率,由图可知,点 A(1,3)与原 y 点连线的斜率最大,故x的最大值为 3.

答案 (1)-10 (2)3

?x+y≥0, ? 【例 2-2】 (2015· 福建卷)变量 x,y 满足约束条件?x-2y+2≥0, ?mx-y≤0. ? 若 z=2x-y 的最大值为 2,则实数 m 等于( C ) A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析 如图所示, 目标函数 z=2x-y 取最大值 2,
? ?x+y≥0, 时,画出? 表示的区域, ? ?x-2y+2≥0

命题角度二 求参数的值或范围

即 y=2x-2

由于 mx-y≤0 过定点(0,0),要使 z=2x-y 取 最大值 2,则目标函数必过两直线 x-2y+2=0 与 y=2x-2 的交点 A(2,2),因此直线 mx-y=0 过点 A(2,2),故有 2m-2=0,解得 m=1.

规律方法

线性规划两类问题的解决方法

(1)求目标函数的最值:画出可行域后,要根据目标函数的几何 意义求解,常见的目标函数有:①截距型:形如 z=ax+by; ②距离型:形如 z= (x-a)2+(y-b)2;③斜率型:形如 y -b z= . x -a

(2) 求参数的值或范围:参数的位置可能在目标函数中,也可 能在约束条件中.求解步骤为:①注意对参数取值的讨论,将 各种情况下的可行域画出来;②在符合题意的可行域里,寻 求最优解.

【训练 2】 (1)设 x,y

? ?x+y≥a, 满足约束条件? 且 ? x - y ≤- 1 , ?

z=x

+ay 的最小值为 7,则 a=( ) A.-5 B.3 C.-5 或 3 D.5 或-3 ?2x-y≤0, ? (2)(2017· 西安检测)已知变量 x, y 满足?x-2y+3≥0,则 ?x≥0, ? z=( 2)2x y 的最大值为________.


解析 (1) 二元一次不等式组表示的平面区域如图所示,其中 ?a-1 a+1? 1 z ? ? A? , 2 ?.由 z=x+ay 得 y=-ax+a. ? 2 ?

1 由图可知当-1≤-a≤1 时, z 可取得最小值, 此时 a≥1 或 a≤ a-1 1 z -1.又直线 y=-ax+a过 A 点时,z 取得最小值,因此 2 + a+1 a× =7,化简得 a2+2a-15=0,解得 a=3 或 a=-5, 2 当 a=3 时,经检验知满足题意;当 a=-5 时,目标函数 z =x+ay 过点 A 时取得最大值,不满足题意,故选 B.

(2)作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示. 令 m=2x+y,由图象可知当直线 y=-2x+m 经过点 A 时, 直线 y=-2x+m 的纵截距最大,此时 m 最大, 故z
? ? ?2x-y=0, ?x=1, ? 最大.由 解得? ? ? ?x-2y+3=0, ?y=2,
+ ×1+2

即 A(1,2).代入目标函数 z=( 2)2x y 得,z=( 2)2

=4.

答案 (1)B (2)4

考点三 实际生活中的线性规划问题 【例3】 (2016· 全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品 A和产品B需要

甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材
料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材 料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生 产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材 料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品

B的利润之和的最大值为________元.

解析 设生产 A 产品 x 件, B 产品 y 件,根据所耗费的材料要求、工 时要求等其他限制条件, 得线性约 ? ?1.5x+0.5y≤150, ?x+0.3y≤90, ? 束条件为?5x+3y≤600, ? * x ≥ 0 , x ∈ N , ? * ? ?y≥0,y∈N ,

目标函数z=2 100x+900y.
作出可行域为图中的阴影部分 ( 包括边界 ) 内的整数点,图中 阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100),(0,200),(0,0), (90 , 0) , 在 (60 , 100) 处 取 得 最 大 值 , zmax = 2 100×60 + 900×100=216 000(元). 答案 216 000

规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤: (1)分析题意,设出未知量; (2)列出线性约束条件和目标函数; (3)作出可行域并利用数形结合求解; (4)作答.

【训练3】 (2015· 陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用A, B两种原料,已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可

用限额如表所示,如果生产 1吨甲、乙产品可获利润分别为 3
万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( 甲 A(吨) B(吨) A.12万元 3 1 B.16万元 乙 2 2 原料限额 12 8 C.17万元 D.18万元 )

解析

设每天生产甲、乙产品分别为 x 吨、y 吨,每天所获 ?3x+2y≤12, ? 利润为 z 万元, 则有?x+2y≤8, 目标函数 z=3x+4y, 线 ?x≥0,y≥0, ? 性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示:

可得目标函数在点 A 处取到最大值.
? ?x+2y=8, 由? 得 ? ?3x+2y=12,

A(2,3).

则 zmax=3×2+4×3=18(万元).

答案 D

[思想方法] 1.求最值:求二元一次目标函数 z=ax+by(ab≠0)的最值,将 a z z=ax+by 转化为直线的斜截式: y=-bx+b, 通过求直线的 z 截距b的最值间接求出 z 的最值.最优解在顶点或边界取得.

2. 解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好
列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件; 写出要研究的函数,转化成线性规划问题. 3. 利用线性规划的思想结合代数式的几何意义可以解决一 些非线性规划问题.

[易错防范] 1. 画出平面区域 . 避免失误的重要方法就是首先使二元一次 不等式标准化.
z 2.在通过求直线的截距b的最值间接求出 z 的最值时,要注意: z z 当 b>0 时,截距b取最大值时,z 也取最大值;截距b取最小 z 值时,z 也取最小值;当 b<0 时,截距b取最大值时,z 取最 z 小值;截距b取最小值时,z 取最大值.



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