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高二平面向量


知识点归纳 一. 向量的基本概念与基本运算
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1 向量的概念:
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? ? ? ①向量:既有大小又有方向的量 向量一般用 a , b , c ??来表示,或用有向线
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??? ? ??? ? ? 段的起点与终点的大写字母表示,如: AB 几何表示法 AB , a ;坐标表示
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??? ? ? 法 a ? xi ? yj ? ( x, y) 向量的大小即向量的模(长度),记作| AB | 即向量的 ? 大小,记作| a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ? ? ②零向量: 长度为 0 的向量, 记为 0 , 其方向是任意的,0 与任意向量平行 零
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? ? ? ? ? 向量 a = 0 ? | a |=0 由于 0 的方向是任意的, 且规定 0 平行于任何向量,
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故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条 件.(注意与 0 的区别) ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量 ? ? 向量 a 0 为单位向量 ? | a 0 |=1 ?
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④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量 任意一组平行向量都 ? ? 可以移到同一直线上 方向相同或相反的向量, 称为平行向量 记作 a ∥ b 由于
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向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线 上,故平行向量也称为共线向量 ? 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任 意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的 含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,
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? x1 ? x 2 ? ? 记为 a ? b 大小相等,方向相同? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? ? y1 ? y 2
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2 向量加法
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求两个向量和的运算叫做向量的加法

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? ? ??? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ??? ???? 设 AB ? a , BC ? b ,则 a + b = AB ? BC = AC ? ? ? ? ? (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ;

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(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始 点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是 从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最 后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终 点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接 时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加: ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? CD ? ? ? PQ ? QR ? AR ,但这时必须“首尾相连”.
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3 向量的减法
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? ? ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量 ? 记作 ? a ,零向量的相反向量仍是零向量 ? ? ? ? ? ? ? 关于相反向量有: (i) ? (?a ) = a ; (ii) a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;
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? ? ? ? ? ? ? ? ? (iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0

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? ? ? ? ②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,
? ? ? ? 记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向量差的运算,叫做向量的减法
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? ? ? ? ? ? ③作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共

同起点) 4 实数与向量的积:
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? ? ①实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下:

(Ⅰ) ?a ? ? ? a ;
? ? ? (Ⅱ)当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向

?

?

? ? ? 与 a 的方向相反;当 ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的
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②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5 两个向量共线定理: ? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a
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6 平面向量的基本定理: ? ? 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量, 那么对这一平面内的任一向
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? ? ? ? ? ? 量a, 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 使:a ? ?1e1 ? ?2 e2 , 其中不共线的向量 e1 , e2 叫

做表示这一平面内所有向量的一组基底
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7 特别注意: (1)向量的加法与减法是互逆运算 (2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向 量平行则包括共线(重合)的情况 (4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关, 只与其相对位置有关 学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代 数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向 量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断 两向量是否垂直等 由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不 等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点
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二. 平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的 ? ? 两个单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向量
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? ? ? ? ? a 可表示成 a ? xi ? yj ,由于 a 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向 ? ? ? 量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上 的坐标 (1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关, 只与其相对位置有关
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2 平面向量的坐标运算: ? ? ? ? (1) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ?
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??? ? (2) 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ? ? (3) 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y) ? ? ? ? (4) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? ? ? ? (5) 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? x1 ? x2 ? y1 ? y2

? ? 若 a ? b ,则 x1 ? x2 ? y1 ? y 2 ? 0

3 向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各 运算的坐标表示和性质
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?
运 算 类 型 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 几何方法 坐标方法 运算性质

1 平行四边形法则 2 三角形法则
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? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ?b ? b ?a
? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c )

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??? ??? ??? ? ? ? AB ? BC ? AC

三角形法则

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

? ? ? ? a ? b ? a ? (?b )

??? ? ??? ? AB ? ? BA

??? ??? ??? ? ? ? OB ? OA ? AB

向 量 的 乘 法

?a 是一个向量,
满足: ? ? ? >0 时, ?a 与 a 同 向; ? ? ? <0 时, ?a 与 a 异 向; ? ? ? =0 时, ?a = 0
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?

?a ? (?x, ?y)

? (?a ) ? (?? )a

?

?

? ? ? (? ? ? )a ? ?a ? ?a

? (a ? b ) ? ?a ? ?b
? ? ? ? a ∥ b ? a ? ?b

?

?

?

?

向 量 的 数 量 积

? ? a ? b 是一个数

? ? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

? ? ? ? a ?b ? b ?a
? ? ? ? ? ? ( ?a ) ? b ? a ? ( ?b ) ? ? ( a ? b )

? ? ? ? a ? 0 或 b ? 0 时, ? ? a ? b =0
? ? ? ? a ? 0 且 b ? 0 时,
? ? ? ? ?? a ? b ?| a || b | cos ? a, b ?

? ? ? ? ? ? ? (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? ? a 2 ?| a | 2 , | a |? x 2 ? y 2
? ? ? ? | a ? b |?| a || b |

三.平面向量的数量积 1 两个向量的数量积: ? ? ? ? ? ? b 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · =︱ a ︱· b ︱cos ? ︱
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? ? ? ? 叫做 a 与 b 的数量积(或内积) 规定 0 ? a ? 0
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? ? ? ? a ?b ? 2 向量的投影:︱ b ︱cos ? = ? ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的 |a|
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绝对值称为射影
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? ? ? ? ? b 3 数量积的几何意义: a · 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积
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? ? ? ? 4 向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2
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5 乘法公式成立: ? ? ? ? ? ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? a2 ? b 2 ? a ? b ;
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?

??

?

? ?a ? b ?
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?

2

? ? ? ? ?2 ? ? ?2 ? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b

6 平面向量数量积的运算律: ? ? ? ? ①交换律成立: a ? b ? b ? a
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? ? ? ? ? ? ②对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ? b ? ? ? R ?

?

?

? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ③分配律成立: a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? a ? b

?

?

?

? ? ? ? ? ? 特别注意:(1)结合律不成立: a ? b ? c ? a ? b ? c ;

? ? ?

? ? ? ? ? ? (2)消去律不成立 a ? b ? a ? c 不能得到 b ? c ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? b =0 不能得到 a = 0 或 b = 0
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7 两个向量的数量积的坐标运算: ? ? ? ? b 已知两个向量 a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a · = x1 x2 ? y1 y2
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??? ? ??? ? ? ? ? ? 8 向量的夹角:已知两个非零向量 a 与 b ,作 OA = a , OB = b ,则∠AOB= ?
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? ? ( 0 0 ? ? ? 180 0 )叫做向量 a 与 b 的夹角 ? ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? ? a ?b cos ? = cos ? a , b ?? ? ? = 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
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? ? ? ? 当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ =00,当且仅当 a 与 b 反方向时θ
? =1800,同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题
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? ? ? ? ? ? 9 垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b
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10 两个非零向量垂直的充要条件: ? ? ? ? a ⊥ b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 巩固练习
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例 1 给出下列命题: ? ? ? ? ① 若| a |=| b |,则 a = b ;

??? ???? ? ② 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平

行四边形的充要条件; ? ? ? ? ? ? ③ 若 a = b , b = c ,则 a = c ,

? ? ? ? ? ? ④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ; ? ? ? ? ? ? ⑤ 若 a // b , b // c ,则 a // c ,
其中正确的序号是 例 2 设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点,试化简: ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ① AB ? BC ? CD ,② DB ? AC ? BD ③ ?OA ? OC ? OB ? CO
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 3 设非零向量 a 、b 不共线,c =k a + b ,d = a +k b (k?R),若 c ∥ d ,

试求 k

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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 4 已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x,1), u ? a ? 2b ,v ? 2a ? b ,且 u // v ,求实数 x 的值
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例 5 已知点 A(4,0), B(4,4), C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐 标原点)交点 P 的坐标
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? ? ? ? ? ? ? ? 例 6 已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 0 ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试

? ? 求 c 与 d 的夹角

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? ? ? ? ? ? ? ? 例 7 已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求

实数 ? 的值

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? ? ? ? ? ? (1) m ? n ;(2) m // n ; (3) m ? n

例 8 已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求
⑴ ( a ? 2b) ? ( a ? b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a ? b 的夹角。

例 9 已知向量 a = (1,2) , b = (?3,2) 。
⑴求 | a ? b | 与 | a ? b | ;⑵ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直? ⑶ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此时它们是同向还是反 向?

例 10 已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O
是坐标原点 ⑴求使 MA? MB 取最小值时的 OM ; ⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦 值。

例 11 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM ? 2
求: OA ? (OB ? OC ) 的最小值。

平面向量的基本定理:如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么 对该平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数 ?1 、?2 , a= ?1 e1+ ?2 e2。 使 如 ? ? ? ? (1)若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1, 2) ,则 c ? ______ (答: a ? b ); (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 ?? ?? ? ?? ?? ? A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10)
?? ?? ?

1? 2

3? 2

D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? ) (答:B);

??

?? ?

1 2

3 4

???? ??? ? ???? ? ??? ? ? (3)已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC, AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b , ? ? ??? ? 则 BC 可用向量 a, b 表示为_____ 2? 4? (答: a ? b ); 3 3

(4) 已知 ?ABC 中, D 在 BC 边上, CD ? 2 DB ,CD ? r AB ? s AC , 点 且 则 r ? s 的值是___ (答:0) 2.平面向量的数量积:如果两个非零向量 a , b ,它们的夹角为 ? ,我们把 数量
? ? | a || b | cos ? 叫做 a 与 b 的数量积 (或内积或点积) 记作:a ? b , a ? b , 即 ? ? = a b cos ? 。规定:零向量与任一向量的数量积是 0,注意数量积是一个实

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

数,不再是一个向量。如 (1)△ABC 中,| AB |? 3 ,| AC |? 4 ,| BC |? 5 ,则 AB ? BC ? _________ (答:-9); ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 1 ? (2)已知 a ? (1, ), b ? (0, ? ), c ? a ? kb, d ? a ? b ,c 与 d 的夹角为 ,则 k
2 2 4
? ?? ? ?? ? ??

等于____
? ? ? ? ? ? (3)已知 a ? 2, b ? 5, a ?b ? ?3 ,则 a ? b 等于____

(答:1); (答: 23 );

? ? ? ? ? ? ? ? ? (4)已知 a, b 是两个非零向量,且 a ? b ? a ? b ,则 a与a ? b 的夹角为

____ (答: 30? ) ? 3. b 在 a 上的投影为 | b | cos ? ,它是一个实数,但不一定大于 0。如 已知 | a |? 3 ,| b |? 5 , a ? b ? 12 , 且 则向量 a 在向量 b 上的投影为______ 12 (答: ) 5 5.向量数量积的性质:设两个非零向量 a , b ,其夹角为 ? ,则: ? ? ? ? ① a ? b ? a ?b ? 0; ? ? ?2 ? ? ? 2 ? ?2 ②当 a , b 同向时, a ? b = a b ,特别地, a ? a ? a ? a , a ? a ; ? ? ? ? b 当 a 与 b 反向时,a ? b =- a b ;当 ? 为锐角时,a ? b >0,且 a、 不同向, ? ? ? ? a ? b ? 0 是 ? 为锐角的必要非充分条件;当 ? 为钝角时, a ? b <0,且 a、 不 b ? ? 反向, a ? b ? 0 是 ? 为钝角的必要非充分条件; ? ? ? ? ? ? a ?b ③非零向量 a , b 夹角 ? 的计算公式: cos ? ? ? ? ;④ | a ? b |?| a || b | 。 a b 如 (1)已知 a ? (? ,2? ) , b ? (3? ,2) ,如果 a 与 b 的夹角为锐角,则 ? 的 取值范围是______ 4 1 (答: ? ? ? 或 ? ? 0 且 ? ? ); 3 3 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? 1 3 (2) 已知 ?OFQ 的面积为 S , OF ? FQ ? 1 , 且 若 ?S? , OF , FQ 则 2 2 夹角 ? 的取值范围是_________
? ?
? ? ? ?

? ?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? k a b? 3 ? a 其中 ? k b , ?k 0 ,①用 k 表示 a ? b ;②求 a ? b 的最小值,并求此时 ? ? a 与 b 的夹角 ? 的大小 ? ? k2 ?1 1 (答:① a ? b ? (k ? 0) ;②最小值为 , ? ? 60? ) 4k 2

x n ( 3 ) 已 知 a ? ( c o xs , s i ?b ) ,

(答: ( , ) ); 4 3 ? ? y ( c oys与, b i之 间 , 关 系 式 s n ) 有 a

? ?

12、向量中一些常用的结论: (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;

? ? ? ? ? 0 ? | a ? b |?| a | ? | b |

? ? ? ? ? ? ? ? ( 2 ) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | , 特 别 地 , 当 a、 同 向 或 有 b

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? || a | ? | b ||?| a ? b | ;当 a、 反向或有 0 ? | a ?b |?| a| ?| b| ? | a| ? b | ? a ?|b ;当 | | ? ? ? ? ? ? ? ? a、 不共线 ? | a| ? b | ? a ?|b| ?|a | ?| b (这些和实数比较类似). b | | (3)在 ?ABC 中,①若 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? ,则其重心的坐标
? x ? x ? x y ? y ? y3 ? 为G? 1 2 3 , 1 2 ? 。如 3 3 ? ? 若⊿ABC 的三边的中点分别为(2,1)(-3,4) 、 、 ⊿ABC 的重心的坐标为_______

(-1,-1) ,则
2 4 (答: (? , ) ) ; 3 3

??? ? ??? ??? ??? ? ? ? ② PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的 重 心 , 特 别 地 ??? ??? ??? 3 ? ? ? ? PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 的重心; ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ???? ??? ? AC AB ? ④向量 ? ( ??? ? ???? )(? ? 0)所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角 | AB | | AC | 平分线所在直线); ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ⑤ | AB | PC ? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心;
(4)向量 PA、 、 中三终点 A、B、C 共线 ? 存在实数 ?、? 使得 PB PC ??? ? ??? ? ??? ? PA ? ? PB? ? PC且 ? ? ? ? 1 .如 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) ,若点 C 满 足 OC ? ?1 OA ? ?2 OB , 其 中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1 , 则 点 C 的 轨 迹 是 _______
? ??

??? ??? ??? ? ? ?

? ??

? ??


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