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7第七讲 学生版 数论复习(1)


第七讲 数论练习(1)
本讲概述
1 做点习题 不会太难 恩: )

例题精讲
【例1】 试求所有的素数 p, q ,使得同余式 a3 pq ? a(mod3 pq) 对所有整数 a 成立.

l 【例2】 设 k , l 是给定的两个正整数.证明:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 Ck m 与 互素.<

br />
【例3】 n 个同学围坐在一个圆桌旁,老师先给一个同学一块糖,隔一个同学给下一个同学一块糖,再隔 两个学生,等等,一直下去.问对怎样的 n 每个学生都可拿到糖?

【例4】 求出不定方程

(n ?1)! ? nk ?1
的全部正整数解.

(1)

【例5】 证明:如果方程

x2 ? y 2 ? 1 ? xyz
有正整数解 ? x, y, z ? ,则必有 z ? 3 .



【例6】 求 所有 的三 元正 整数 数组 ( x, y, z ) , 使 得 y 为 质数 ,且 3 和 y 都 不 是 z 的 约数 ,并满足

x3 ? y 3 ? z 2 .

【例7】 求所有具有下述性质的正整数 n :它被 ?

n 的所有正整数整除.

【例8】 求不定方程:

x3 ? x2 y ? xy 2 ? y3 ? 8( x2 ? xy ? y 2 ? 1)
的全部整数解.

大显身手
1. 设 m ? n ? 1 ,证明:

(m, n) n Cm 是整数. m

2.

在两个相邻的完全平方数 n 与 (n ? 1) 2 之间任取若干个不同整数,证明它们中两两乘积互不相 同.
2

3.

证明:对任意整数 n ? 1 ,数 n ? 4 不是素数.
4 n

4.

设 ?an ? 为一个整数数列,对于任意整数 n ,均有 (n ? 1)an?1 ? (n ? 1)an ? 2(n ? 1) .若 2000|a1999, 求最小的正整数 n ,使得 2000| a n .

5.

求证曲线 y 2 ? x3 ? x2 上有无穷多个有理点

6. 证明:存在连续 1000 个正整数,其中恰有 10 个素数.

学习之外

发信人:ukim(我没有理想) ,信区:Mathemtics 标 题:从今天开始连载数学家们的故事 发信站:北大未名站(2002 年 04 月 06 日 14:20:15 星期六) ,转信 先介绍一个人,L.V.Ahlfors, 和另一个美国的数学家共同分享了第一届的 Feilds 奖。 欧知道他的一部分工作,就是展示给大家复分析和双曲几何之间的深刻联系,把曲率之类 的几何概念引入了复分析,给出了 Schwarz 引理的几何上的漂亮解释。他还在共形映射, Riemann 曲面领域都是贡献非凡。 下面是一个很传奇的事情,欧希望那些认为数学没有“用”的看看数学家是如何认为数学有 用的。hehe L.V.Ahlfors 说这些话的时候,正是二战受封锁的时候 “Feilds 奖章给了我一个很实在的好处, 当被允许从芬兰去瑞典的时候, 我想搭火车去见一下我的妻子, 可是身上只有 10 元钱。 我翻出了 Fields 奖章, 把它拿到当铺当了, (! ! ! ! ) 从而有了足够的路费 …… 我确信那是唯一一个在当铺呆过的 Feilds 奖章……” E.Landau 是后来的 Gottingen 的数学系系主任,此人不仅解析数论超强,而且超级有钱。 曾有人问他怎么能在 Gottingen 找到他,他很轻描淡写的说:“这个没有任何困难,它是城 里最好的那座房子。” Gottingen 1909-1934 年的数学系主任是 Edmund Landau。Landau 的工作习惯很奇 怪,用 6 个小时工作,6 个小时休息,如此交替。他收到过无穷多关于证明了 Fermat 大 定理的信件,后来实在没有精力处理,就印了一批卡片,样子大概是这个样子的 --------------------------------------------------------亲爱的_____ 谢谢您寄来的关于 Fermat 大定理的证明。 第一个错误在 ______页 ______行 这使得证明无效。 E.M.Landau --------------------------------------------------------尽管有很多的稿件都退了,据说剩下的还有 3 米多高。 美丽有两种 一是深刻又动人的方法 一是你泛着倦意淡淡的笑容


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