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全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导:第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题


全国高中数学联赛

金牌教练员讲座

兰州一中数学组

第六讲 不等式的应用、参数取值范围问题
知识、方法、技能
I.排序不等式(又称排序原理) 设有两个有序数组 a 1 ? a 2 ? ? ? a n 及 b1 ? b 2 ? ? ? b n . 则 a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a

n b n (同序和)
? a 1 b j 1 ? a 2 b j 2 ? ? ? a n b jn (乱序和)
? a 1 b n ? a 2 b n ?1 ? ? ? a n b1 (逆序和)

其 中 j1 , j 2 , ? , j n 是 1 , 2 , ? , n 的 任 一 排 列 . 当 且 仅 当 a 1 ? a 2 ? ? ? a n 或
b1 ? b 2 ? ? ? b n 时等号(对任一排列 j1 , j 2 , ? , j n )成立.

证明:不妨设在乱序和 S 中 j n ? n 时(若 j n ? n ,则考虑 j n ? 1 ) ,且在和 S 中含有项
a k b n ( k ? n ), 则 a k b n ? a n b j n ? a n b jn ? a n b n .



事实上,左-右= ( a n ? a k )( b n ? b j ) ? 0 ,
n

由此可知,当 j n ? n 时,调换 S ? a 1 b j ? ? ? a k b j ? ? ? a n b j ( j n ? n )中 b n 与 j n
1 k n

位置(其余不动) ,所得新和 S 1 ? S . 调整好 a n 及 b n 后,接着再仿上调整 a n ? 1 与 b n ? 1 ,又得
S 2 ? S 1 . 如此至多经 n ? 1 次调整得顺序和

a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? a 1 b j 1 ? a 2 b j 2 ? ? ? a n b jn



这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然,当 a 1 ? a 2 ? ? ? a n 或 b1 ? b 2 ? ? ? b n 时②
-1-

中等号成立.反之,若它们不全相等,则必存在 j n 及 k,使 b n ? b j , a n ? a k . 这时①中不等号
n

成立.因而对这个排列②中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”. II.应用排序不等式可证明“平均不等式” : 设有 n 个正数 a 1 , a 2 , ? , a n 的算术平均数和几何平均数分别是
An ? a1 ? a 2 ? ? ? a n n 和Gn ?

n

a1a 2 ? a n

此外,还有调和平均数(在光学及电路分析中要用到
H ? n 1 a1 ? 1 a2 ?? ? 1 an

n



和平方平均(在统计学及误差分析中用到)
Qn ? a1 ? a 2 ? ? ? a n
2 2 2

n

这四个平均值有以下关系 H n

? G n ? An ? Q n .

* ○

其中等号成立的充分必要条件都是 a 1 ? a 2 ? ? ? a n . 下面首先证明算术平均数一几何平均数不等式: A n
a1 G a1a 2 G a1 a 2 ? a n G
n

? Gn.

记 x1 ?

, x2 ?

,? , x n ?

? 1;

y1 ?

1 x1

, y2 ?

1 x2

,? , y n ?

1 xn

.

由于数组 x 1 , x 2 , ? , x n 和数组 y 1 , y 2 , ? , y n 中对应的数互为倒数,由排序不等式得
x 1 y 1 ? x 2 y 1 ? ? ? x n y n (逆序和)

?

x 1 y n ? x 2 y 1 , ? ? ? x n y n ?1 ,
a1 Gn a2 Gn an Gn

即 n?

?

?? ?

.

从而 A n

? G n . 等号当且仅当 x 1 ? x 2 ? ? ? x n

或 y 1 ? y 2 ? ? ? y n 时成立,而这两者都

-2-

可得到 a 1 ? a 2 ? ? ? a n . 下面证明 G n
? H n .对 n

个正数

1

,

1

,? ,

1 an

a1 a 2

应用 G n

? An ,



1 a1

?

1 a2

?? ? n

1 an ? 1
n

?

1 a2

?? ?

1 an

.

a1

即G n
2

? H n . (符号成立的条件是显然的).最后证明 A n ? Q n ,
2 2 2

它等价于

n ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? ( a1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? 0 .

而上式左边= ( a 1 ? a 2 ) 2 ? ( a 1 ? a 2 ) 2 ? ? ? ( a 1 ? a n ) 2 ? ( a 2 ? a 3 ) 2 ? ? ? ( a 2 ? a n ) 2 ? ?
? ( a n ?1 ? a n ) ? 0 ,于是不等式及等号成立的条件都是显然的了.从上述证明可见, A n ? Q n
2

对一切 a 1 , a 2 , ? , a n ? R 成立. III.应用算术平均数——几何平均数不等式,可用来证明下述重要不等式. 柯西(Cavchy)不等式:设 a 1 、 a 2 、 a 3 ,?, a n 是任意实数,则
( a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n )
2

? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n )( b1 ? b 2 ? ? ? b n ).
2 2 2 2 2 2

等号当且仅当 b i ? ka i ( k 为常数, i ? 1, 2 , ? , n ) 时成立. 证明:不妨设 a i ( i ? 1, 2 , ? , n ) 不全为 0,b i 也不全为 0(因为 a i 或 b i 全为 0 时,不等式 显然成立). 记 A= a 1 ? a 2 ? ? ? a n ,B= b1 ? b 2 ? ? ? b n .
2 2 2 2 2 2

且令 x i ?
2 2

ai A

, yi ?

bi B
2

( i ? 1, 2 , ? , n ),

则 x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1, y 1 ? y 2 ? ? ? y n ? 1 . 于是原不等式成为
2 2 2

x1 y 1 ? x 2 y 2 ? ? ? x n y n ? 1 .

即 2 ( x 1 y 1 ? x 2 y 2 ? ? ? x n y n ) ? x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? y 1 ? y 2 ? ? ? y n .它等价于
2 2 2 2 2 2

-3-

( x1 ? y 1 ) ? ( x 2 ? y 2 ) ? ? ? ( x n ? y n ) ? 0 .
2 2 2

其中等号成立的充要条件是 x i ? y i ( i ? 1, 2 , ? , n ). 从而原不等式成立,且等号成立的充 要条件是 b i ? ka i ( k ?
A B ).

IV.利用排序不等式还可证明下述重要不等式. 切比雪夫不等式:若 a 1 ? a 2 ? ? ? a n , b1 ? b 2 ? ? ? b n ,
a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n n ? b1 ? b 2 ? ? ? b n n



.

证明:由题设和排序不等式,有 a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n = a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ,
a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? a 1 b 2 ? a 2 b 3 ? ? ? a n b1 ,

??
a 1 b1 ? a 2 b 2 ? ? ? a n b n ? a 1 b n ? a 2 b1 ? ? ? a n b n ? 1 .

将上述 n 个不等式叠加后,两边同除以 n2,即得欲证的不等式.

赛题精讲
I.排序不等式的应用 应用排序不等式可以简捷地证明一类不等式,请看下述例题.
? 例 1:对 a , b , c ? R ,比较 a ? b ? c 与 a b ? b c ? c a 的大小.

3

3

3

2

2

2

【思路分析】要应用“排序不等式” ,必须取两组便于排序的数,这要从两式的结构上 去分析. 【略解】 取两组数
a , b, c; a , b , c .
2 2 2

不管 a , b , c 的大小顺序如何, a ? b ? c 都是同序和
3 3 3

a b ? b c ? c a 都是乱序和
2 2 2




a ?b ?c
3 3 3

? a b?b c?c a.
2 2 2

【评述】 找出适当的两组数是解此类题目的关键.

-4-

? 例 2: a , b , c ? R ,求证 a ? b ? c ?

a

2

?b 2c

2

?

b ?c
2

2

?

c ?a
2

2

?

a

2

?

b

2

?

c

2

.

2a

2b

bc

ca

ab

【思路分析】 应先将 a 、 b 、 c 三个不失一般性地规定为 a ? b ? c ? 0 . 【略解】由于不等式关于 a 、 b 、 c 对称,可设 a ? b ? c ? 0 . 于是 a
2

?b

2

? c ,
2

1 c

?

1 b

?

1 a
2

.
1 b 1 c
2

由排序不等式,得 a ?
2

1 a

?b ?
2

?c ?
2

( 逆序和 ) ? a ?
2

1 b

?b ?
2

1 c

?c ?
2

1 a

(乱序和).

及a ?
2

1 a

?b ?
2

1 b

?c ?
2

1 c

? a ?

1 c

?b ?

1 a

?c ?
2

1 b

.

以上两个同向不等式相加再除以 2,即得原式中第一个不等式.再考虑数组
a
3

? b

3

? c

3

? 0, 及

1 bc

?

1 ca

?

1 ab

,仿上可证第二个不等式,请读者自己完成.

【评述】应用排序不等式的技巧在于构造两个数组,而数组的构造应从需要入手来设计. 这一点应从所要证的式子的结构观察分析,再给出适当的数组. ? aA ? bB ? cC ? ? . 例 3:在△ABC 中,试证: ?
3 a?b?c 2

【思路分析】 可构造△ABC 的边和角的序列,应用排序不等式来证明之. 【详解】 不妨设 a ? b ? c ,于是 A ? B ? C . 由排序不等式,得
aA ? bB ? cC ? aA ? bB ? cC , aA ? bB ? cC ? bA ? cB ? aC , aA ? bB ? cC ? cA ? aB ? bC .

相加,得 3 ( aA ? bB ? cC ) ? ( a ? b ? c )( A ? B ? C ) ? ? ( a ? b ? c ) , 得
aA ? bB ? cC a?b?c ?

?
3



又由 0 ? b ? c ? a , 0 ? a ? b ? c , 0 ? a ? c ? b , 有
0 ? A (b ? c ? a ) ? C ( a ? b ? c ) ? B ( a ? c ? b ) ? a ( B ? C ? A ) ? b ( A ? C ? B ) ? c ( A ? B ? C ) ? a (? ? 2 A ) ? b (? ? 2 B ) ? c (? ? 3 C ) ? ( a ? b ? c )? ? 2 ( aA ? bB ? cC ).



aA ? bB ? cC a?b?c

?

?
2

.



由①、②得原不等式成立. 【评述】此题后半部分应用了不等式的性质来证明. 例 4:设 a 1 , a 2 , ? , a n 是互不相同的自然数,试证 1 ?
-5-

1 2

?? ?

1 n

? a1 ?

a2 2
2

?? ?

an n
2

.

【思路分析】 应先构造两个由小到大的排序. 【略解】 a 1 , a 2 , ? , a n 按由小到大的顺序排成 a j ? a j ? ? ? a j 其中 j1 , j 2 , ? , j n 是 将
1 2 n

1,2,?,n 的一个排列,则 a j ? 1, a j ? 2 , ? a j ? n . 于是由排序不等式,得
1 2 n

a1 ?

a2 2
2

?? ?

an n
2

? a j1 ?

a j2 2
2

?? ?

a jn n
2

?1?

1 2

?? ?

1 n

.

例 5:设 b1 , b 2 , ? , b n 是正数 a 1 , a 2 , ? , a n 的一个排列,求证

a1 b1

?

a2 b2

?? ?

an bn

? n.

【思路分析】 应注意到 a i ?

1 ai

? 1 ( i ? 1, 2 , ? , n )

【 略 证 】 不 妨 设 a 1 ? a 2 ? ? ? a n , 因 为 a 1 , a 2 , ? , a n 都 大 于 0. 所 以 有
1 a1 ? 1 a2 ?? ? 1 an


1 bn 1 1 1 an 1 an ? a1 ? 1 b1 ? a2 1 b2 ? ? ? an 1 bn



1

,

1

,? ,



,

,? ,

的任意一个排列,于是得到

b1 b 2 n ? a1 ? 1 a1

a1 a 2 1 a2 ? ? ? an ?

? a2 ?

.

【评述】 此题比较简单,但颇具启发意义,读者应耐心体会. 例 6:设正数 a , b , c 的乘积 abc ? 1 ,试证: ( a ? 1 ? 【略解】设 a ?
x y ,b ? y z ,c ? z x

1 b

)( b ? 1 ?

1 c

)( c ? 1 ?

1 a

) ? 1.

,这里 x , y , z 都是正数,则原需证明的不等式化为

( x ? y ? z )( y ? z ? x )( z ? x ? y ) ? xyz , 显然 x ? y ? z , y ? z ? x , z ? x ? y 中最多只有一个

非 负 数 . 若 x ? y ? z, y ? z ? x, z ? x ? y 中 恰 有 一 个 非 正 数 , 则 此 时 结 论 显 然 成 立 . 若 x ? y ? z , y ? z ? x , z ? x ? y 均为正数,则 x , y , z 是某三角形的三边长.容易验证
( x ? y ? z )( y ? z ? x )( z ? x ? y ) ? 1 3 [( x ( y ? z ? x ) ? y ( z ? x ? y ) ? z ( x ? y ? z )].
2 2 2

故得 ( x ? y ? z )( y ? z ? x )( z ? x ? y ) ? xyz . 【评述】 利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题:设正数 a 、 b 、 c 的乘积
-6-

abc ? 1, 证明

1 a (b ? c )
2

?

1 b (c ? a )
2

?

1 c (a ? b)
2

?

3 2

.

证明:设 a ?

1 x

,b ?

1 y

,c ?

1 z

, 则 xyz ? 1 ,且所需证明的不等式可化为

x

2

y? z

?

y

2

z? x

?

z

2

x? y

?

3 2

,现不妨设 x ? y ? z ,则

x y? z
x
2

?

y z? x
y
2

?

z x? y
z
2

,据排序不等式



y? z x
2

?

z? x y
2

?

x? y z
2

? z?

x y? z x y? z

? x?

y z? x y z? x

? y?

z x? y z x? y



y? z

?

z? x

?

x? y

? y?

? z?

? x?

两式相加并化简可得
2( x
2

y? z

?

y

2

z? x

?

z

2

x? y

) ? x ? y ? z ? 3 3 xyz ? 3 .

例 7:设实数 x 1 ? x 2 ? ? ? x n , y 1 ? y 2 ? ? ? y n , z 1 , z 2 , ? , z n 是 y 1 , y 2 , ? , y n 的一个 置换,证明:

?

n

( xi ? yi )

2

i ?1

?? ( xi ? zi ) .
2 i ?1

n

【略解】 显然所需证不等式等价于 ? x i y i ? ? x i z i , 这由排序不等式可直接得到.
i ?1 i ?1

n

n

【评述】 应用此例的证法可立证下题: 设 a k 是两两互异的正整数( k ? 1, 2 , ? ) ,证明对任意正整数 n ,均有 ?
n

ak k
2

i ?1

??

n

1 k

.

i ?1

证明:设 b1 , b 2 , ? , b n 是 a 1 , a 2 , ? , a n 的一个排列,使 b1 ? b 2 ? ? ? b n ,则从条件知对 每个 1 ? k ? n , b k ? k ,于是由排序不等式可知 ?
-7n

ak k
2

i ?1

??

n

bk k
2

i ?1

??

n

1 k

.

i ?1

II.柯西不等式的应用 应用柯西不等式,往往能十分简捷地证明某些不等式. 例 8:设 x 1 , x 2 , ? , x n ? R ,求证:
?

x1

2

?

x2

2

?? ?

x n ?1 xn

2

?

xn

2

x2

x3

x1

? x1 ? x 2 ? ? ? x n .

【思路分析】 注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之. 【评述】注意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之. 【详解】 ∵ x 1 , x 2 , ? , x n ? 0 ,故由柯西不等式,得
( x 2 ? x 3 ? ? ? x n ? x 1 )( x1
2

?

x2

2

?? ?

x n ?1 xn

2

?

xn

2

)

x2

x3
?? ? xn ?

x1
? x1 ? xn x1
2

? (

x2 ?

x1 x2

?

x3 ?

x2 x3

x n ?1 xn

)

? ( x 1 ? x 2 ? ? ? x n ?1 ? x n ) ,
2



x1

2

?

x2

2

?? ?

x n ?1 xn

2

?

xn

2

x2

x3

x1

? x1 ? x 2 ? ? ? x n .

【评述】这是一道高中数学联赛题,还可用均值不等式、数学归纳法、比较法及分离系 数法和构造函数法等来证之.

-8-

针对性训练题
1.设 a 、 b 、 c ? R ,利用排序不等式证明: (1) a b ? a b ( a ? b ) ;
a b b a

?

(2) a b c (3)
a b?c
a
12

2a

2b

2c

? a

b?c

b

c?a

c

a?b

; ;

?
b

b c?a
12

?
12

c a?b
? a
10

?

3 2

(4)

?

?

c

?b

10

?c .
10

bc

ca

ab

2.设 a 、 b 、 c 是三角形三边的长,求证:
*

a b?c?a

?

b c?a?b

?

c a?b?c

? 3.

3.已知 a 、 b 、 c ? N ,并且 b ? c ? a , c ? a ? b , a ? b ? c , 求证:
(1 ? b?c a ) (1 ?
a

c?a b

) (1 ?
b

a?b c

) ? 1.
c
n ?1

* 4.设 n ? N , n ? 1, 求证: C n ? C n ? ? ? C n ? n ? 2
1 2 n

2

.

5.若 a ? 0 , b ? 0 , 且 a ? 2 b ? 6 , 求 lg a ? 2 lg b 的最大值. 6.若 a ? 2 b ? 12 , 求 2 ? 2
a b ?1

的最小值.
1 y
3

7.已知 x ? y ? 1( x ? 1), 求 u ( x , y ) ?

? x ? 1 的最小值.

8. x ? 2 y ? 1, 求 u ( x , y ) ? x ? 2 y 的最值.
2 2

-9-


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