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等比数列知识点总结与典型例题


等比数列 1、等比数列的定义: 2、通项公式:
an ? a1q n ?1 ? a1 n q ? A ? B n ? a1 ? q ? 0, A ? B ? 0 ? ,首项: a1 ;公比: q q
an a ? q ? n?m n am am
an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? , q 称为公比 an?1

/>
推广: an ? am q n ? m ? q n ? m ? 3、等比中项:

(1)如果 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项,即: A2 ? ab 或

A ? ? ab
注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个( (2)数列 ?an ? 是等比数列 ? an 2 ? an?1 ? an?1 4、等比数列的前 n 项和 Sn 公式: (1)当 q ? 1 时, Sn ? na1 (2)当 q ? 1 时, Sn ?
?

a1 ?1 ? q n ? 1? q

?

a1 ? an q 1? q

a1 a ? 1 q n ? A ? A ? B n ? A ' B n ? A ' ( A, B, A ', B ' 为 1? q 1? q

常数) 5、等比数列的判定方法: (1) 用定义: 对任意的 n , 都有 an?1 ? qan或 为等比数列 (2)等比中项: an 2 ? an?1an?1 (an?1an?1 ? 0) ? {an } 为等比数列 (3)通项公式: an ? A ? Bn ? A ? B ? 0? ? {an } 为等比数列 6、等比数列的证明方法:
an?1 ? q(q为常数,an ? 0) ? {an } an

依据定义:若

an ? q ? q ? 0 ? ? n ? 2, 且n ? N * ? 或 an?1 ? qan ? {an } 为等比数列 an?1

7、等比数列的性质: (2)对任何 m, n ? N * ,在等比数列 {an } 中,有 an ? amqn?m 。 (3)若 m ? n ? s ? t (m, n, s, t ? N * ) ,则 an ? am ? as ? at 。特别的,当 m ? n ? 2k 时, 得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???

a k (4)数列 {an } ,{bn } 为等比数列,则数列 { } ,{k ? an } ,{an k } ,{k ? an ? bn } ,{ n } bn an

( k 为非零常数)均为等比数列。 (5)数列 {an } 为等比数列,每隔 k (k ? N * ) 项取出一项 (am , am?k , am?2k , am?3k , ???) 仍 为等比数列 (6)如果 {an } 是各项均为正数的等比数列,则数列 {log a an } 是等差数列 (7)若 {an } 为等比数列,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n , ??? ,成等比数列 (8) 若 {an } 为等比数列, 则数列 a1 ? a2 ????? an ,an?1 ? an?2 ????? a2n ,a2n?1 ? a2n?2 ??????a3n 成等比数列 (9)①当 q ? 1 时, a1 ? 0,则{an }为递减数列
a1 ? 0,则{ an }为递减数列 { ②当 0<q ? 1时, a1 ? 0,则{an }为递增数列

{a1 ?0,则{an }为递增数列

③当 q ? 1 时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列) ; ④当 q ? 0 时,该数列为摆动数列. (10)在等比数列 {an } 中,当项数为 2n(n ? N * ) 时, 二 例题解析 【例 1】 列{an}. ( 已知 Sn 是数列{an}的前 n 项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*),那么数 )

S奇 1 ? S偶 q

A.是等比数列 B.C.当 p≠0,p≠1 时是等比数列

B.当 p≠0 时是等比数列 D.不是等比数列

【例2】 已知等比数列 1,x1,x2,…,x2n,2,求 x1·x2·x3·…·x2n.

【例3】 等比数列{a n }中, (1) 已知a 2 = 4 ,a 5 =-

1 ,求通项公 2

式;(2)已知 a3·a4·a5=8,求 a2a3a4a5a6 的值. 【例 4】 求数列的通项公式: (1){an}中,a1=2,an+1=3an+2 (2){an}中,a1=2,a2=5,且 an+2-3an+1+2an=0

三、 考点分析 考点一:等比数列定义的应用
1 4 1、数列 ?an ? 满足 an ? ? an ?1 ? n ? 2 ? , a1 ? ,则 a4 ? _________. 3 3

2 、 在 数 列 ?an ? 中 , 若 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1? n ? 1? , 则 该 数 列 的 通 项

an ? ______________.
考点二:等比中项的应用 1、已知等差数列 ?an ? 的公差为 2 ,若 a1 , a3 , a4 成等比数列,则 a2 ? ( )

A . ?4 D. ?10

B . ?6

C . ?8

2、若 a 、 b 、 c 成等比数列,则函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 x 轴交点的个数为 ( A. 0 ) B. 1 C. 2 D.不确定

3、已知数列 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2 , a2 ? a4 ? 考点三:等比数列及其前 n 项和的基本运算 1、若公比为 A.3

20 ,求 ?an ? 的通项公式. 3

2 9 1 的等比数列的首项为 ,末项为 ,则这个数列的项数是( 3 8 3

) D. 6

B.4

C.5

2 、 已 知 等 比 数 列 ?an ? 中 , a3 ? 3 , a10 ? 384 , 则 该 数 列 的 通 项

an ? _________________.
3、若 ?an ? 为等比数列,且 2a4 ? a6 ? a5 ,则公比 q ? ________. 4、设 a1 , a2 , a3 , a4 成等比数列,其公比为 2 ,则 A.
1 4

2a1 ? a2 的值为( 2a3 ? a4



B.

1 2

C.

1 8

D. 1

5 、 等 比 数 列 {an} 中 , 公 比 q= +a100=______________.

1 且 a2+a4+ … +a100=30 , 则 a1+a2+ … 2

考点四:等比数列及其前 n 项和性质的应用 1、在等比数列 ?an ? 中,如果 a6 ? 6 , a9 ? 9 ,那么 a3 为( A. 4 B.
3 2

) D. 2

C.

16 9

2、如果 ?1 , a , b , c , ?9 成等比数列,那么( A. b ? 3 , ac ? 9 C. b ? 3 , ac ? ?9



B. b ? ?3 , ac ? 9 D. b ? ?3 , ac ? ?9 )

3、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a10 ? 3 ,则 a2a3a4a5a6a7 a8a9 等于( A. 81 B. 27 5 27 C. 3

D. 243

4、在等比数列 ?an ? 中,a9 ? a10 ? a ? a ? 0? ,a19 ? a20 ? b ,则 a99 ? a 1 0 0 等于(
b9 A. 8 a


10

?b? B. ? ? ?a?

9

b10 C. 9 a

?b? D. ? ? ?a?

5、在等比数列 ?an ? 中, a3 和 a5 是二次方程 x 2 ? kx ? 5 ? 0 的两个根,则 a2 a4a6 的 值为( A. 25 ) B. 5 5 C. ?5 5 D. ?5 5

6、若 ?an ? 是等比数列,且 an ? 0 ,若 a2a4 ? 2a3a5 ?a4a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的值等 于

? S , (n ? 1) 考点五:公式 an ? ? 1 的应用 ? Sn ? S n ?1 , (n ? 2)
1、若数列的前 n 项和 Sn=a1+a2+…+an,满足条件 log2Sn=n,那么{an}是( A.公比为 2 的等比数列 C.公差为 2 的等差数列 B.公比为
1 的等比数列 2

)

D.既不是等差数列也不是等比数列 )

2、等比数列前 n 项和 Sn=2n-1,则前 n 项的平方和为(

A.(2n-1)2

1 B. (2n-1)2 3

C.4n-1

1 D. (4n-1) 3

3、设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n+r,那么 r 的值为______________.

一、等差和等比数列比较:
等差数列 定义 递推公 式 通项公 式 中项
A?
a n ?1 ? a n ? d

等比数列
a n ?1 ? q ( q ? 0) an
a n ? a n ?1 q ; a n ? a m q n?m

a n ? a n ?1 ? d ; a n ? a m? n ? md

a n ? a1 ? (n ? 1)d

a n ? a1 q n?1 ( a1 , q ? 0 )

a n?k ? a n? k ( n, k ? N * , n ? k ? 0 ) 2

G ? ? an?k an?k (an?k an?k ? 0) ( n, k ? N * , n ? k ? 0 )

Sn ?

前 n 项和

n (a1 ? a n ) 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

?na1 (q ? 1) ? S n ? ? a1 1 ? q n a ?a q ? 1 n (q ? 2) ? 1? q ? 1? q

?

?

重要 性质

am ? an ? a p ? aq ( m, n , p , q ? N , m ? n ? p ? q )
*

am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q)

二、等差数列的定义与性质
定义: an?1 ? an ? d ( d 为常数) , 通项: an ? a1 ? ? n ?1? d

等差中项: x,A,y 成等差数列 ? 2 A ? x ? y 前 n 项和: Sn ?

? a1 ? an ? n ? na
2

1

?

n ? n ? 1? d 2

性质: ?an ? 是等差数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? ap ? aq; (2)数列 ?a2n?1 ?, ?a2n ?, ?a2n?1 ?仍为等差数列, Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等差 数列,公差为 n d ; (3)若 an,bn 是等差数列,且前 n 项和分别为 Sn,Tn ,则
am S2 m?1 ? bm T2 m?1

(4) ?an ? 为等差数列 ? Sn ? an2 ? bn ( a, b 为常数,是关于 n 的常数项为 0 的 二次函数,可能有最大值或最小值) (5)项数为偶数 2n 的等差数列 ?an ? , 有

S 2n ? n(a1 ? a2n ) ? n(a2 ? a2n?1 ) ? ? ? n(an ? an?1 )(an , an?1为中间两项 )

S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an . an?1
, 有

(6)项数为奇数 2n ? 1 的等差数列 ?an ?

S 2n?1 ? (2n ? 1)an (an为中间项) , S奇 ? S偶 ? an ,

S奇 S偶

?

n . n ?1

三、等比数列的定义与性质
定义:
an ?1 ,通项: an ? a1qn?1 . ? q ( q 为常数, q ? 0 ) an

等比中项: x、G、y 成等比数列 ? G2 ? xy ,或 G ? ? xy .
?na1 (q ? 1) ? 前 n 项和: S n ? ? a1 ?1 ? q n ? (要注意 q ! ) ( q ? 1) ? ? 1? q

性质: ?an ? 是等比数列 (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am · an ? a p · aq (2) Sn,S2n ? Sn,S3n ? S2n…… 仍为等比数列,公比为 q n .

四、数列求和的常用方法:
1 、裂项分组法:
1 1 1 1 ? ? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 ( n n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ?( ? )?( ? )?( ? )? ?( ? ) 1 2 2 3 3 4 n n ?1 1 1 n ? ? ? 1 n ?1 n ?1



1 1 1 1 1 , 2 ,3 , 4 , 的前n和是: 3 9 27 81 1 1 1 1 (+ 1 2+ 3+ 4+ )+ ( + + + ? ) 3 9 27 81
2、 错位相减法:凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法, 例 : 求 :

Sn =x ? 3x 2 ? 5x3 ?
解:
Sn =x ? 3x 2 ? 5x3 ?
xSn =x 2 ? 3x3 ? 5x 4

? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ? (2n-1)x n (x ? 1)

? (2n-5)x n-2 ? (2n-3)x n-1 ? (2n-1)x n (x ? 1)
? (2n-5)x n-1 ? (2n-3)x n ? (2n-1)x n+1 (x ? 1)

① ②

① 减 ② 得:

(1 ? x)Sn =x ? ? 2x 2 ? 2x 3 ? ?x?
从而求出 S n 。

? 2x n-1 ? 2x n ? ? ? 2n ? 1? x n+1

2x 2 ?1 ? x n-1 ? 1? x

? ? 2n ? 1? x n+1

错位相减法的步骤:(1)将要求和的杂数列前后各写出三项,列出①式;(2)将①式左右 两边都乘以公比 q,得到②式;(3)用① ? ②,错位相减;(4)化简计算。 3、倒序相加法:前两种方法不行时考虑倒序相加法 例:等差数列求和:

Sn =a1 ? a 2 ? a 3 ?
两式相加可得:

? a n ?2 ? a n ?1 ? a n ? a 3 ? a 2 ? a1

Sn =a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ?

2Sn = ? a1 ? a n ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a 3 ? a n ?2 ? ?
即 : 2Sn ? n ? a1 ? a n ?

? ? a 3 ? a n ?2 ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? a1 ? a n ?

所以

Sn ?

n ? a1 ? a n ? 2


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