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初等变换与逆矩阵


初等变换与逆矩阵

复习提问 逆矩阵的概念? 那些变换是初等变换? 那些矩阵是初等变换矩阵?

问题提出 前面,我们已经知道了如何从几何上求初等变换 矩阵的逆矩阵 对一般的矩阵,如何从几何上求出它的逆矩阵呢? , ?

实例分析
3 - 2 给定矩阵 M = - 1 4 , 它把平面上的一点变为

另一点 y

y

6 5 4 3 2 B 1 A
-2 -1O 1 2 3

B’ C

M

6 5 4 3 2 1

C’

x

-3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6

A’

x

点A(1,0)变成A’(3,-1); 点B(0,1)变成B’(-2,4); 点C(3,2)变成C’(5,5);

四边形AOBC变成 四边形A’OB’C’

如何从几何上求矩阵M的逆矩阵呢?
求矩阵M的逆矩阵,从几何上,就是确定一个矩阵变换,它把 点A’(3,-1)变回点A(1,0); 点B’(-2,4)变回点B(0,1); 点C’(5,5)变回点C(3,2);

y
6 5 4 3 2 B 1 A
-2 -1O 1 2 3

y
B’ C
6 5 4 3 2 1

C’

x

-3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6

A’

x

确定一个矩阵变换,使得A’(3,-1)变回到A(1,0).
可以通过两个初等变换实现把点A’变回到A 1 第一步,只需把点A’(3,-1)垂直向y轴方向压缩为 3 使A’变成A1(1,-1); 第二步,实施沿y轴正方向的切变即可把点A1(1,-1)变 y 到点A(1,0) 第一步
1 0 M1 = 3 0 1 1 0 M2 = 1 1
6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1O

A
12 3 4 5 6

第二步

A’

x

1 3 3 0 M 2 M1 OA' = M 2 M1 = M 2 3 1 0 1 1 1 1 0 1 1 = M2 = 1 1 1 1 = 0 = OA

连续实施M1,M2表示的变换即实施矩阵M2M1表示的 变换,可以把点A’变回点A.

点B’在M2M1的作用下
1 2 0 2 M 2 M1 OB' = M 2 M1 = M 2 3 4 4 0 1 2 2 2 1 0 3 = M2 3 = 1 1 3 = 10 = OB" 4 4 3

y
6 5 B’ 4 B” 3 2 1 -3 -2 -1O

2 10 点B’变成了点 B" , 3 3

12 3 4 5 6

x

要确定一个矩阵变换,将点B”变回到点B,但同时使点A保持不变

1 0 由于点A在x轴上,因此向x轴的垂直压伸变换 0 k (k > 0) 1 0 沿x轴切变 k 1 均能保证点A不变.

用这样的初等变换把点B”变回到B.
2 10 第三步 利用向x轴的垂直压缩变换把B" - , 的纵坐标变为1, 3 3 1 0 2 3 表示的变换,把B"变成B1 - ,1 即实施矩阵M 3 = 0 3 10
第四步 利用沿x轴正向的切变M 4 = 1 0 2 把点B 变成B(0,1) 3 1 1

2 2 1 0 2 3 10 3 = M 4 3 = 1 M 4 M 3 OB" = M 4 M 3 = M4 0 10 10 1 0 3 3 3 1 0 1 1 1 10 = M 4 M 4 M 3 OA = M 4 M 3 = M 4 0 0 0 0 3 2 1 1 1 = 3 = = OA 0 1 0 0

2 2 0 3 = = OB 3 1 1 1

y
6 5 B” 4 3 2B 1 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6

x

连续实施M1,M2表示的变换即实施矩阵M2M1表示的 变换,可以把点B”变回点B,而点A没变.

这样,我们找到了四个初等变换矩阵M1M2M3M4 依次连续实施这四个初等变换,把点A’(3,-1)及B’(-2,4),分 别变回点A(1,0),B(0,1)即矩阵N=M4M3M2M1,使得
1 1 N OA' = NM = = OA 0 0
3 1 0 OC = = 3 + 2 2 0 1

0 0 N OB' = NM = = OB 1 1
3 1 0 OC ' = M = 3 M + 2 M 2 0 1

3 1 0 1 0 3 N OC ' = NM = 3 NM + 2 NM = 3 + 2 = = OC 2 0 1 0 1 2

x 1 0 对于任意向量 = x + y y 0 1
1 1 NM = 0 0 x x NM = y y 0 0 NM = 1 1

思考交流 请同学们利用逆矩阵的定义验证矩阵
1 N = M 4 M 3 M 2 M1 = 0 2 1 0 1 0 1 0 3 3 3 0 1 1 0 1 1 10

3 - 2 是矩阵M = - 1 4 的逆矩阵

抽象概括
一般地, 任一可逆矩阵的逆矩阵, 总可以由一系列初等变换矩阵 0 1 k 0 1 0 1 k 1 0 如 1 0 , 0 1 , 0 k , 0 1 , k 1 等 的乘积表示.

求一般可逆矩阵M的逆矩阵的步骤

① ②

1 0 1 0 研究基向量A = 和B = 的像A' = M 和B' = M 0 1 0 1

确定一组初等变换矩阵 连续实施这一组初等变 , 换时 ,

把A'变回A,而B'变成B" 再 确定 一组初等 变换矩 ,连续实施 阵 这一 组初等变 时 换 , ③ 把B"变回B,而A保持不变

M的逆矩阵M-1就可以表示为这两组初等变换矩阵的乘积

一般地,任一可逆矩阵,一定可以分解为一系列初 等变换矩阵的乘积. 从几何上说,任一可逆矩阵表示的变换,总可以分 解为一系列初等变换(如反射变换、压伸变换、 ( 切变等)的合成.

小结
任一可逆矩阵及其逆矩阵可以由一系列初等变换矩阵 的乘积表示. 求一般可逆矩阵的逆矩阵的步骤

作业 课本第91页习题4-2A组 2,3


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