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1.1.2&1.1.3四种命题及其相互关系


§1.1.2四种命题及其相互关系

复习引入
一、命题的定义:一般地,我们把用语言、符号或式子表达 的,可以判断真假的陈述句叫做命题. 定义的要点:能判断 真假的陈述句. ? 判断为真的语句叫做真命题。 ? 判断为假的语句叫做假命题。 二、从构成来看,所有的命题都具由条件p和结论q两部分构成
?“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式,

也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有q”等形式。 ?其中p和q可以是命题也可以不是命题.

思考?

下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4) 的条件和结论之间分别有什么关系?

(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; (2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; (3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数; (4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数。

观察命题(1)与命题(2)的条件和结论之间 分别有什么关系?
1. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; p q 2. 若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数; q p
互逆命题:一个命题的条件和结论分别是另一个命题的 结论和条件,这两个命题叫做互逆命题。 原 命 题:其中一个命题叫做原命题。 逆 命 题:另一个命题叫做原命题的逆命题。 即 原命题:若p,则q 逆命题:若q,则p 例如,命题“同位角相等,两直线平行” 的逆命题是 两直线平行,同位角相等 “ ”。

命题(1)与命题(3)的条件和结论之间分别 有什么关系?
1. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;q p 3. 若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数. ┐p ┐q
原命题:若p,则q 否命题:若┐p,则┐q

例如,命题“同位角相等,两直线平行”的否命 题是“同位角不相等,两直线不平行”。

命题(1)与命题(4)的条件和结论之间分别 有什么关系?
1. 若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数; q p 4. 若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数. ┐q ┐p
原命题: 若p, 则q 逆否命题: 若┐q, 则┐p 例如,命题“同位角相等,两直线平行”的逆否 命题是“两直线不平行,同位角不相等”。

原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: ? 原命题: ? 逆命题: ? 否命题: ? 逆否命题: 若 p, 若 q, 若┐p, 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p

1:要写出一个命题的另外三个命题关键是分清命题的题设 和结论(即把原命题写成“若P则q”的形式)

注意:三种命题中最难写 的是否命题。
2:(1)“或”的否定为“且”,(2)“且”的否 定为“或”, (3)“都”的否定为“不都”。

练习
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题, 并判断真假: ⑴若a<b,则a2<b2; “<”的否 ⑵已知x ∈R,若x >1, 则x >2; 定是“≥” ⑶若a2 + b2=0,则a 、b都为0.

解: ⑴逆命题:若a2<b2,则a<b; 否命题:若a≥b,则a2≥b2; 逆否命题:若a2≥b2,则a≥b; 原命题为 假 ; 逆命题为 假 ; 否命题为 假 ; 逆否命题为 假 .

⑵已知x ∈R,若x >1, 则x >2; 析:“已知x ∈R”是大前提,保留不变 解: 逆命题:已知x ∈R,若x >2, 则x >1; 否命题:已知x ∈R,若x ≤1, 则x ≤2 ; 逆否命题:已知x ∈R,若x ≤2, 则x ≤1; 真 ; 原命题为 假 ; 逆命题为 否命题为 真 ; 逆否命题为 假 .

⑶若a2 + b2=0,则a 、b都为0. 解: 逆命题:若a 、 b都为0,则a2 +b2=0; 否命题:若a 2 +b2≠0,则a 、b不都为0; 逆否命题:若a 、b不都为0,则a 2+ b2 ≠0; 原命题为 真 否命题为 真 ; 逆命题为 真 ; ; 逆否命题为 真 .

“a 、b都为0”的否定是:a=0、b ≠0;a ≠0、b=0; a ≠0 、 b ≠0. 即a 、b不都为0

四种命题的相互关系
原命题:若p则q 互 否 否命题:若 p则 q 互逆 逆命题:若q则 p

互 否
逆否命题:若 q则 p

互逆

四种命题的真假性
原命题 逆命题 否命题 逆否命题


真 假 假


假 真 假


假 真 假


真 假 假

结论: (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的 真假性 ; (2)两个命题互为逆命题或否命题,它们的 真假性没有关系。

准确地作出反设 ( 即否定结论 ) 是非常重要的,下 面是一些常见的结论的否定形式.
原结论
是 都是 大于 小于

反设词
不是 不都是

原结论
至少有一个 至多有一个

反设词
一个也没有 至少有两个

至少有n个 至多有(n-1)个 不大于 大于或等于 至多有n个 至少有(n+1)个 存在某x, 成立

对所有x, 存在某x, 对任何x, 不成立 成立 不成立

注:(1)“或”的否定为“且”, (2)“且”的否定为“或”, (3)“都”的否定为“不都”。

练习
1.写出命题“若x+y≠5,则x≠2或y≠3.” 的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假. 解: 逆命题:若x≠2或y≠3 ,则x+y≠5; 否命题:若x+y=5,则x=2且y=3; 逆否命题:若x=2且y=3 ,则x+y=5;
原命题为 真 ; 逆命题为 假 ; 否命题为 假 ; 逆否命题为 真 .

结论:当原命题真假难辨时,可以判断它的 逆否命题的真假性。

2.证明:若a2 + b2 = c2,则a、b、c不可 能都是奇数。 分析:直接证明原命题为真比较困难,可 以考虑证明它的逆否命题为真。 证明:若a、b、c都是奇数,则a2、b2、c2 都为奇数,所以a2 + b2 为偶数,从而 a2 + b2 ≠ c2 这说明,原命题的逆否命题为真命题,故 原命题也为真命题。

小结
1、理解掌握四种命题的形式及其相互关系;
2、两个命题互为逆否命题,它们有相同的 真假性 ,但两个命题互为逆命题或否命题, 它们的真假性没有关系; 3、当原命题真假难辨时,可以判断 它的逆否命题的真假性。


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