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直线的倾斜角和斜率教案


2.5 等比数列的前 n 项和(第一课时)教案
一、内容及其解析 “直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修 2 第三章第一节的内容,是高中解 析几何内容的开始。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜 率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法,理解它的关键是在平面直角 坐标系中直线向上的方向与 X 轴正方向所成的角和角的正切值。之前学生已经学 过一次函数的

图像和平面中两点可以确定一条直线,这节内容就是刻画直线倾斜 程度的几何要素与代数表示,是平面直角坐标系内以坐标法(解析法)的方式来 研究直线及其几何性质(如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等)的基础。 通过该内容的学习,帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程, 渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线, 无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲 线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用。 二、目标及其解析 目标定位:1、正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 2、会求出直线的倾斜角和直线的斜率. 3、掌握过两点的直线的斜率公式. 目标解析: 1、正确理解直线的倾斜角是指理解平面直角坐标系中以 X 轴为基准,直线与 X 轴相交时,X 轴正方向与直线向上的方向的角;理解斜率概念是指直线的斜率就是 直线倾斜角的正切值。 2、会求出直线倾斜角是指已知直线的斜率求出其对应倾斜角,会求直线斜率
1

是指知道直线的倾斜角会求出其对应直线的斜率。 3、掌握过两点的直线的斜率公式就是要熟练应用经过 P1(x1,y1),P2(x2,y2) 两点的直线的斜率公式 k= 三、问题诊断与分析

y 2 ? y1 ( x1 ? x 2 ) 。 x2 ? x1

1、对于倾斜角概念:根据倾斜角的定义说清楚“基准”与“直线方向”学生
是容易掌握的,对于“是不是所有的直线都有倾斜角”这个问题绝大部分同学都 能够理解。而对于倾斜角的范围有些同学容易在 180 这里产生误解。 2、对于斜率,学生基本上能从斜坡的坡度中顺利迁移过来,当倾斜角为 90 及 0 时可以特殊认识,当倾斜角为钝角时(与斜坡稍有不同)斜率的求法应重点分析, 突出转化思想的同时,引导学生认识 P83 页的脚注,使学生对所有直线的斜率情 况有全面的认识。 3、让学生探究坐标系中两点与直线的斜率关系,因为直线和点都没有给定, 所以学生可能会出现多种情况,比如取的直线比较特殊(过原点) ,或者取那两点 比较特殊(在坐标轴上取) ,或者其他情况,学生容易以特殊情况取代一般情况, 或者出现考虑问题不全面,只考虑倾斜角为锐角,而忽略了倾斜角为钝角的时候, 在推出斜率公式之后对公式不加以考虑直接用而没有考虑公式的适用范围。 4、当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难,产生这两个问题的原因是对倾斜
。 角的概念理解不透彻和没有从定义上真正理解和对新公式 tan(180 ? ? ) ? ? tan ? 的
? ? ?

运用还不灵活。要解决这一困难,就要让学生从开始就认真的从定义上理解倾斜
。 。 角的概念和多用公式 tan(180 ? ? ) ? ? tan ? 。理解公式 tan(180 ? ? ) ? ? tan ? 的关键

是多用,该阶段只要求学生会用就行。 四、教学支持条件分析
2

本节课打算用多媒体进行教学,因为多媒体的教学更容易刻画直线在直线坐 标系中的位置,直观明了。使学生更容易理解,并且多媒体教学的课容量大,大 大提高了课堂的效率。

五、本节课的主线 通过日常生活中讨论斜面问题时,经常涉及“坡度”这一概念,引导学生把 坡度这个同样刻画直线倾斜程度的量与倾斜角联系起来,从而引入“斜率”这一 概念,进而把“上坡”和“下坡”中的上升和下降是一组具有相反意义的量进行 分析并推导斜率的公式。

六、教学设计: 课标要求 斜率的概念,用代数方法刻画直线的斜率的过程,过两点的直 线的斜率的计算公式 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念. 知识目标 (2)理解直线的倾斜角的唯一性. (3)理解直线的斜率的存在性. 技能目标 教 学 目 标 情感态度价值观
斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式.

1、通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾 斜角与斜率关系的揭示,培养学生观察、探索能力, 运用数学语言表达能力,数学交流与评价能力. 2、 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮 助学生进一步理解数形结合思想,培养学生形成严 谨的科学态度和求简的数学精神.

重点 难点

直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 斜率的概念和公式. 问题与情境及教师活动 学生活动

3

教学的 教学过程: 过程 1.让学生预习必修 2 第 82 页到第 85 页的内容 2.为了提高学生的兴趣,让一位学生上来演示一下“转 笔” 3.让学生思考: (1).笔在转动的过程中是否恒过一个定点? (2).过一点有多少条直线? (3).想把直线固定下来,只给一个定点可以吗?可以添 加什么条件? (再加一个点,因为两点可以确定一条直线) (4) .只有一个点可以再加一个什么条件可以把直线确定 下来?

找一个学生 演示“转 笔”目的是 引起他们的 兴趣进而提 问

4.通过教鞭的演示, 让学生知道教鞭靠墙要能放稳必须要 教师演示教 鞭过程中让 有一个倾斜角 学生通过回 答问题从而 让学生思考: 得出倾斜角 1.如何才能把教鞭放稳?竖直靠墙能放稳吗? 的模型 2.斜一点?怎么斜?(要与地面有个倾斜角度) 3.角

?

能刻画直线的倾斜程度吗?

通过对该数学模型转化到平面直角坐标系来

从而引入我们这节课的内容:直线的倾斜角和斜率

学生对问题 的回答有助 于帮助理解 倾斜角的定 义

由图让学生思考: 1.直线 l 与 x 轴有多少个交点? 2.经过这个点和一个角度能不能把直线固定? 3.x 轴将直线分为多少个部分?
4

通过展示让 学生知道确 定直线的条 件有两个

2.x 轴将直线分为多少个部分?

教 学 过 程 及 方 法

从而引入直线倾斜角的概念 学生活动 定义:当直线 l 与 x 轴相交时,我们取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜 通过对定义 角。 的阅读和教 师的讲解以 及多媒体的 展示,让学 生更进一步 理解定义 画一条直线 的倾斜角为 用多媒体展示 钝角的让学 并提出问题:是不是所有的直线与 x 轴都有交点? 生上去指出 在平面直角 引出规定:当直线与 x 轴平行或重合时, ? ? 0 ? 坐标系第一 并提出问题:倾斜角能不能刻画直线的倾斜程度? 象限画一点 通过教鞭演示让学生思考: P 然后通过 1.倾斜角的范围是什么? 点 P 转动教 规定:当直线 l 和 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜 鞭,让学生 找出倾斜角 角为 0? 的范围 并通过教鞭 的转动让学 生对倾斜角 进行分类 通过提问让 学生知道所 有的直线都 有倾斜角, 平行的两条 直线倾斜角 都会相等 让学生做练 习,让学生 加深对倾斜 角的理解, 特别是当倾 斜角为钝角 的时候

按角的大小直线的倾斜角可以怎么分类?

提问:

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提问:生活中有没有与倾斜程度有关的量? 通过多媒体展示图片

和 学 生 互 动,由学生 提出在他们 以及学生熟悉的挂榜岭天梯以及学校办公楼楼梯的图片 身边的一些 如何问学生哪一个会更累?为什么?从而引出陡缓以及 具体的例子 坡度比的概念 再通过多媒 体对图片的 展示,让学 生知道数学 就在我们的 身边,数学 与我们的生 活是息息相 关的

通过对身边 的事物的展 通过藤州中学办公楼的楼梯为例,告诉学生前进量,升高 示让学生知 量以及这两个量与坡度比也就是倾斜程度之间有什么关 道,其实数 系,从而引出斜率的定义: 学就在我们 的身边,走 楼梯的陡缓 与它的倾斜 度有关,从 而引出坡度 并提出问题: 这一说法, 1、我们研究坡度是放在什么三角形里研究的? 这为下面的 2、如果研究的图形里没有直角三角形你会怎么做? 讲解打下铺 3、斜率能否表示直线的倾斜程度? 垫 说明坡度实际上就是倾斜程度 通过藤州中 学办公楼楼 梯图片告诉 学生生活中 的坡度的计 算公式为后 面斜率的推 导做好铺垫
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练习:请找出直线 m 和 n 的倾斜角

通过练习引 入钝角的正 ? ? 并给出倾斜角的度数,一个是 30 ,另一个是 150 时直线的 切值的计算 有一个公式 斜率,前者学生求出来是没有问题的但是后者就不会了从 在 课 本 83 而引出规定: 页脚下面的 规定 教 学 过 程 及 方 法 比较这两个表你发现了什么? 通过下面两个表格的填写加深对公式的运用 通过两个表 让学生既看 出互补的两 个角正切值 之间的关 系,又可以 从这个表看 出锐(钝) 角的正切值 的正负 表中没有引 入 0 度和 90 度,因为这 两个度数在 后面公式讲 解的时候再 讲学生更容 易接受

全班 48 人分成 12 小组,每个小组 4 人,在只给出坐标系, 没给出直线和两个点的情况下,让学生自己画出直线,点
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出两个点,然后讨论直线的斜率公式,让他们相互交流 在两个点位置互换一下的时候做出适当的引导,让学生知 道,斜率公式与点的坐标是无关的 通过公式的讲解引出倾斜角为 0? 和 90? 时斜率是多少 探究出公式后

学生自己动 手探究调换 两个点的位 置斜率的公 式不变,并讲 解只要直线 的倾斜角不 变,则斜率就 不变

从而得到结论

让学生用事 先制作好的 表进行分析, 钝角的时候 其实与锐角 的时候推导 的原理是一 样的,只是这 里有一个下 降的量就升 高的负值该 如何去处理 而已

让学生做练习

投影学生的答案,把主动权交还给学生 谈谈我的收获(让学生谈收获并进行小结)

该题是源于 课本但又高 于课本的,有 两条直线是 无需计算可 以看出的,教 学生一定要 认真审题还 有 B,C 两点 的横坐标是 相同的,所以 不能用公式, 要提醒学生

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教 学 过 程 及 方 法

? 作业:课本第89页第二题和第四题

通过练习对 刚才所学的 公式进行运 用,出一个 倾斜角为零 度角的,一 个倾斜角为 九十度角的 还有一个倾 斜角是锐角 可以直接代 入公式的, 从多方面考 察直线的斜 率 让学生小结 本节课学了 什么内容 课后布置作 业巩固

板书设计
3.1.1 直线的倾斜角和斜率
1.倾斜角的定义 2.倾斜角的范围:

3.斜率的定义 4 规定

5.斜率公式

6.小结

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