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选修4-4 一、平面直角坐标系


选修4-4 坐标系与参数方程
考 纲 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩 坐标系与简 变换作用下平面图形的变化情况. 单曲线的极 2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐 坐标方程 标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、 过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程. 知识点

参数方 1.了解参数方程,了解参数的意义. 程 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆 锥曲线的参数方程.

一.平面直角坐标系的建立 坐标法
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系; 2.设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y) ; 3.写出适合条件 P 的几何点集: P ? ?M P ( M )? ; 4.将坐标代入条件 P( M ) ,列出方程 f ( x, y ) ? 0 ; 5.化简方程 f ( x, y ) ? 0 为最简形式; 6.证明(查漏除杂).

以上过程可以概括为一句话:建设现(限)代化. ... . .. . .

某信息中心接到位于正东、正西、正北 方向三个观测点的报告:正东、正西两个观 测点同时听到一声巨响,正东听到的巨响时 间比它们晚4秒.已知各观测点到中心的距离 都是1020m.试确定巨响发生的位置.(假定声 音传播的速度为340m/s,个观测点均在同一 个平面上.)

怎样建立直角坐标系才有利于我们解决这个问题?
y P C

B

信息中心

o

A

x

L Γ

以接报中心为原点O,以BA方向为x轴,建立 直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点, 则 A(1020,0), B(-1020,0), C(0,1020) 设P(x,y)为巨响发生点,由B、C同时听 到巨响声,得|PC|=|PB|,故P在BC的垂直平分 线PO上,PO的方程为y=-x,因A点比B点晚4s y 听到爆炸声,

故|PA|- |PB|=340×4=1360
B

P

C

|PA|- |PB|<|AB| |PA|> |PB|

o

A

x

由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
x y 双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左支上, a b a ? 680 , c ? 1020
? b ? c ? a ? 1020 ? 680 ? 5 ? 340
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

x y 故双曲线方程为 ? ? 1 ( x ? 0) 2 2 680 5 ? 340

用y=-x代入上式,得 x ? ?680 5, ∵|PA|>|PB|,

? x ? ?680 5 , y ? 680 5 , 即P ( ?680 5 ,680 5 ), 故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 450距中心 680 10 m 处.

例1.已知△ABC的三边a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上 的中线,建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。
解: 以△ABC的顶点A为原点O, 边AB所在的直线x轴,建立直角 y 坐标系,由已知,点A、B、F的 坐标分别为

C

c A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ). 2

E

O (A)

F

B

x

x y 设点C的坐标为(x,y),则点E的坐标为( ,). 2 2 由b2 ? c 2 ? 5a 2,可得到 | AC |2 ? | AB |2 ? 5 | BC |2 ,

即 x 2 ? y 2 ? c 2 ? 5[( x ? c)2 ? y 2 ].
整理得
因为

2 x ? 2 y ? 2c ? 5cx ? 0.
2 2 2

??? ? ? c x y ??? BE ? ( ? c, ), CF ? ( ? x, ? y ), 2 2 2

??? ??? ? ? x c y2 所以 BE ? ? ( ? c)( ? x) ? CF ? 0. 2 2 2

因此,BE与CF互相垂直.

你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这 个问题吗?你认为建立直角坐标时应该注意些什 么?
(1)如果图形有对称中心,可以选择对称中心为坐标原点; (2)如果图形有对称轴,可以选择对称轴为坐标轴; (3)使图形上的特殊点尽可能地在坐标轴上。

思考: (1)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=sin2x?
y

y=sin2x ?

2?
x

O

y=sinx

在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐
1 标不变,将横坐标x缩为原来的 ,就得到正弦 2

曲线y=sin2x.

上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,
即:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持 纵坐标不变,将横坐标x缩为原来 1 ,得到点 1 2 P'(x',y').坐标对应关系为: x'= 2 x 1 通常把?叫做平面 y'=y 直角坐标系中的一 个压缩变换。

(2)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sinx?写出其坐标变换。
设点P(x,y) 经变换得到 点为P'(x',y')
P

y
P'

y=3sinx

x'=x

2

O

? y=sinx

2?
x

y'=3y
伸长变换

(3)怎样由正弦曲线y=sinx得到曲 线y=3sin2x? 写出其坐标变换。
y=sin2x
y

y=3sin2x

y=sinx
设点P(x,y)
经变换得到 O

? x'=
1 2

2?
x

点为P'(x',y')
伸缩变换

x

3

y'=3y

定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中 任意一点,在变换
?x' ? ? x ? :? ? y' ? ? y (? ? 0) ( ? ? 0)

4

的作用下,点P(x,y)对应 P’(x’,y’).称 ?
?把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 可以用坐标伸缩变换得到; ?在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一 直角坐标系下进行伸缩变换。

练习:
1.在直角坐标系中,求下列方程所对 应的图形经过伸缩变换 x'=2x (1)2x+3y=0; y'=3y (2)x2+y2=1; 后的图形。

2.在同一直角坐标系下,求满足下列 图形的伸缩变换:曲线4x2+9y2=36变 为曲线x'2+y'2=1 3.在同一直角坐标系下,经过伸缩变 换 x'=3x 后, y'=y 曲线C变为x'2+9y'2 =1,求曲线C的方 程并画出图形。

思考:在伸缩 4 下,椭圆是否可以 变成圆?抛物线,双曲线变成什么曲 线?
2 2 (x ? 1) (x ? 1) 能把椭圆 ? ? 1变为中心在原点的单位圆吗? 9 4

课堂小结:
(1)体会坐标法的思想,应用坐标 法解决几何问题; (2)掌握平面直角坐标系中的伸缩 变换。 作业: P8 1, 2,4, 6

预习: 极坐标系(书本P9-P11)


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